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1、哈尔滨市第六中学校2015届第四次模拟考试文科数学考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀参考公式：柱体体积公式，其中为底面面积，为高；锥体体积公式，其中为底面面积，为高，球的表面积和体积公式，其中为球的半径，第卷（选择题
2、共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 若全集，则( ) A. B. C. D.2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点为（ ） 3. 已知角终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D.1 4. 将函数的图象向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是( )A. B. C. D. 5. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 6一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 A. 12 B. 4 C. D. 否 开始结束输出 是 7. 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不
3、合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 执行如图所示的程序框图，若输出，则框图中处可以填入 9. 双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（ ） A.2 B. C. D.4 10. 设的内角所对边的长分别为, 若 且的面积为2，则（ ） A. B. C. D.11. 设、是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，且轴，则（ ） A. B. C. D.12. 已知两条直线和，与函数的图像由左到右相交于点, 与函数的图像由左到右相交于点,记线段和在轴上的投影长度分别为，当变化时，的最小值是（ ） A.2 B.4 C.8 D.
4、16二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13. 设向量与的夹角为，若，则 14. 设实数满足约束条件 ，若，则的最小值是 15若圆锥的内切球和外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 16. 若函数（）的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。17. （本小题满分12分）已知是等差数列的前项和，已知，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值.18. （本小题满分12分）某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款（单位：元）0,50）50,100）100,150）150,
5、200）200,+）顾客人数m2030n10统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）（注：视频率为概率） （1）试确定的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；（2）为了迎接店庆，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：一次购物款（单位：元）0,50）50,100）100,150）150,200）返利百分比06%8%10% 估计该商场日均让利多少元？19. （本小题满分12分）如图
6、，直三棱柱的底面是边长为的正三角形，点M在边BC上，是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的高20. （本小题满分12分）过抛物线对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点P关于原点的对称点.（1）当直线方程为时，过A,B两点的圆与抛物线在点A处有共同的切线，求圆的方程（2）设, 证明：21. （本小题满分12分）已知函数（1）若，求函数的极值；（2）是否存在实数使得函数在区间上有两个零点，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图所示，已知O1与O2相交于A，B两点，过点A作O1的切线交O2于点C，过点B
7、作两圆的割线，分别交O1，O2于点D，E，DE与AC相交于点P.（1）求证：ADEC；（2）若AD是O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长.BEDO1O2APC23.（本小题满分10分）选修44：极坐标与参数方程 已知曲线C的极坐标方程 是=1，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数） （1）写出直线与曲线C的直角坐标方程； （2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的最小值.24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知 为正实数，且满足 （1）求的最小值（2）求证： 2015届文科数学四模试题答案一、选择题：CAAD B
8、BCC DBCD二、填空题：13. 14. 15. 16. 2三、解答题：17. 解：（1）由得 解得，故 （2），则 18. 解（1）100位顾客中购物款不低于100元的顾客有，； .该商场每日应准备纪念品的数量大约为 .（2）设购物款为元，当时，顾客有人，当时，顾客有人，当时，顾客有人，当时，顾客有人，所以估计日均让利为元19. 证明：（1）连接，交于点N，连接MN直三棱柱 平面,又平面， ,平面 ，故为的中点，而为的中点 则, 平面 (2)设三棱锥的高为平面，即 ，20解：(1)由解得点A,B的坐标分别是， 则AB的中点为，斜率为，故AB的垂直平分线方程为 由得，所以抛物线在点A处的切线
9、斜率为3 设圆的方程为，则 解得， 所以圆M的方程为 （2）设AB方程为， 由得， 由，得，又点，从而 所以21、解： (1) ， (2）， 当时，在上为增函数，在上为减函数，所以在区间，上各有一个零点，即在上有两个零点；当时，在上为增函数，在上为减函数，上为增函数，所以只在区间上有一个零点，故在上只有一个零点； 当时，在上为增函数，在上为减函数，上为增函数， 所以只在区间上有一个零点，故在上只有一个零点；故存在实数，当时，函数在区间上有两个零点。22(1)证明：连接AB，AC是O1的切线，BAC=D，又BAC=E，D=E。ADEC （2）设BP=x，PE=y，PA=6，PC=2，xy=12，ADEC， 由可得，或（舍去）DE=9+x+y=16，AD是O2的切线，AD2=DBDE=916，AD=12。23解：（1） （2）代入C得设椭圆的参数方程为参数）则则的最小值为-4。24（1）当 时， 的最小值为（2） 13
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