高考数学专题讲义： 求通项公式

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1、第六讲 求通项公式高考在考什么【考题回放】1. 已知数列 an 的前n项和为Sn，且Sn=2(an -1)，则a2等于( A )A. 4 B. 2 C. 1 D. -22在数列中，且，则 35 3在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_2 n+1-3_.4对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是2n+1-2 .5. (广东)已知数列的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 . 2n-10 ; 86. （江西）已知数列对于任意，有，若，则47. 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,

2、a3, a15成等比数列，求数列an的通项an .解析 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ， anan1=5 (n2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3 高考要考什么一、 根据数列an的前n项和求通项Sn= a1+ a2+ a3+ + an

3、已知数列前n项和Sn,相当于知道了n2时候an,但不可忽视n=1.二、由递推关系求数列的通项1. 利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代。2.一阶递推,我们通常将其化为看成bn的等比数列。3.利用换元思想（变形为前一项与后一项成等差等比关系，直接写出新数列通项化简得an）。4.对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题，注意化简时n的范围。 突 破 重 难 点【范例1】记（）求b1、b2、b3、b4的值；（）求数列的通项公式及数列的前n项和解析（I）整理得（）由所以【变式】数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式解：（I），

4、因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故（II）当时，由于，所以又，故当时，上式也成立，所以【范例2】设数列的首项（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数解：（1）由整理得又，所以是首项为，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故则又由（1）知且，故，因此为正整数方法二：由（1）可知，因为，所以由可得，即两边开平方得即为正整数【变式】已知数列中，对一切自然数，都有且求证：(1)； (2)若表示数列的前项之和，则解析： (1)由已知得，又因为，所以, 因此，即(2) 由结论(1)可知 ，即，于是，即【范例3】由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P1，再由P1引

5、此曲线的切线，切于P1以外的点P2），如此进行下去，得到点列 Pn.求：（）的关系式；（）数列的通项公式；（）（理）当时，的极限位置的坐 解析 （）由题得 过点P1（的切线为过原点 又过点Pn（的因为过点Pn-1（ 整理得 （）由（I）得 所以数列xn-a是以公比为的等比数列（） 的极限位置为（【点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推

6、公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。【变式】已知函数f (x)=，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f (x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）.求证：当n时，() x （）.解、 (I ) 证明：因为所以曲线在处的切线斜率即和两点的直线斜率是 以.（II）因为函数，当时单调递增，而，所以，即 因此又因为 令 则因为 所以因此 故第四讲 导数及其应用（理）高考在考什么【考题回放】1（福建）已知对任意实数，有，且时，则时（ B ）ABCD2（海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ）3（江西）设在内单调递增，则是

7、的（B）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件4（浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ）5（广东）函数的单调递增区间是6若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线，则a= ；高考要考什么1 导数的定义：2 导数的几何意义：（1） 函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；（2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度；3要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意：和。4求函数单调区间的步骤：1）、确定f(x)的定义域，2）、求导数y，3）、令y0(y0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y0

8、）.（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x1时，恒有xln2x2a ln x1.解：（）根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有【点晴】本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力【范例2】（湖北理）已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）

9、解：（）设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为（）设，则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，【点晴】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力变式：已知函数. （1）求函数y= f(x)的反函数的导数 （2）假设对任意成立，求实数m的取值范围.解：（1）；（2）令：所以都是增函数.因此当时，的最大值为的最小值为而不等式成立当且仅当即，于是得 解法二：由得设于是原不等式对于恒成立等价于 7分由，注意到故有，从而可均在上单调递增，因此不等式成立当且仅当即 【点晴】求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.