高中数学教师说课稿范例点到直线的距离

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1、 2006年全国高中青年数学教师优秀课比赛点到直线的距离教案 【课题】 点到直线的距离【教材】 全日制普通高级中学教科书（必修）第二册（上）人民教育出版社【授课教师】杜晓雯一 教学目标1教材分析 教学内容点到直线的距离是全日制普通高级中学教科书（必修人民教育出版社）第二册（上），“73两条直线的位置关系”的第四节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用 地位与作用本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和

2、圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用 2学情分析高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法3教学目标依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标 知识技能 理解点到直线的距离公式的推导过程； 掌握点到直线的距离公式； 掌握点到直线的距离公式的应用 数学思考 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想； 通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力； 通过灵活应用公式

3、的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力 解决问题 通过问题获得数学知识，经历“发现问题提出问题解决问题”的过程； 由探索点到直线的距离，推广到探索点到直线的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法 情感态度结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣二 教学重点、难点1教学重点 点到直线的距离公式的推导思路分析； 点到直线的距离公式的应用 2教学难点点到直线的距离公式的推导思路和算法分析三教学过程教学环节教 师 活 动 学 生 活 动活 动说 明新课引入创设情境：以学生熟知的生活图片欣赏和一个具体实例：当火车在高速行驶时，周

4、围会产生负压，如果旅客离铁轨中心的距离小于2米5时，就可能被吸入车轮下发生危险让学生直观感受几何要素“点到直线的距离”，引发学习好奇心和研究兴趣现实模型： 地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离（图片欣赏）生活实例（flash动画演示）模 型直 观探 索 思 考探 索 思 考探 索 思 考回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”的定义是什么？1 点到直线的距离公式的推导过程（由特殊推广到一般、从具体推广到抽象）问题1 如何求点到直线的距离？教师：请同学们作出图象后，思考有哪些计算方法，结果是什么？方法利用三角函数解：过点作的垂线，垂足为教师：由于点和直线的位置比较特殊，直角三角形较为明显，并且

5、出现了特殊角，所以可以利用三角函数来解决问题但如果直线位置不具特殊性，三角运算将较为繁杂，故此法具有一定的局限性方法利用定义解：过点作的垂线，设垂足为方法利用函数的思想解：设直线上的点，则，当时，取得等号，即点教师：我们可将求点到直线的距离转化为两点之间的距离，再通过二次函数求最小值的方法解决本题强调：点在直线上，故满足直线方程；当等号成立时，指明此时点的坐标，并与方法得到的点的坐标进行比较方法利用直角三角形的面积公式教师：由于，所以我们还可以想到什么方法来计算呢？教师：应该如何构造三角形呢？如何添作辅助线是学生的一个思维难点，教师要强调：由垂直条件可以联想到三角形的高或直角三角形等知识，从而

6、得到辅助线的添作方式解：过点作的垂线，交点为点问题2如何求点到直线的距离？（类比问题1的四种解法，让学生独立思考问题2课堂上，只要求学生说明解题思路，而不要求解题过程）（以下有关例题2的解题过程仅供资料查阅，而不在课堂上讲解）方法利用三角函数方法利用函数的思想设点在直线上，则当时，取得等号，即点方法利用定义过点作的垂线，设垂足为方法利用直角三角形的面积公式过点作、轴的垂线，交点为点、探 索 思 考问题3 如何求点到直线的距离（）？教师：你能否类比问题1、2解决本问？教师：如果通过定义来计算，你的思路是什么？教师：对于的特殊情况，你可以怎样处理？ 方法 利用定义的算法思路得到点到的距离确定直线的

7、斜率求过点垂直于的直线的方程求与垂直的直线的斜率求与的交点求点与点的距离方法 利用直角三角形的面积公式的算法思路教师：如果类比问题1、2，通过面积构造法来计算，你应该如何添作辅助线？解题思路是什么？探 索 思 考教师：根据得到的算法思路，请同学们自学教材的证明方法方法 利用平面向量的算法思路教师：直线的斜率是什么？教师：若向量，你能表达的一个坐标吗？教师：设点是直线上任意一点，则的坐标是多少？教师：设的夹角为，则为多少？教师：结合图象，你能否表示出？探 索 思 考 问 题 解 决2点到直线的距离公式点到直线的距离（其中）教师：你能否利用点到直线的距离公式解决问题1和问题2？并比较计算结果3点到

8、直线的距离公式的应用例1 求点到下列直线的距离： 知 识 运 用分析：可能会有学生在代人公式计算时，忘掉绝对值符号教师要给予纠正，强调距离是一个非负数教材上的解法是结合图形直接得到点到直线的距离，也可能会有学生是直接代人公式计算，教师指出对于或的特殊情况，一般结合图形直接得到结论部分学生可能会对代入公式后计算得0这一结果感到困惑，教师要引导学生思考此时点与直线的位置关系，指出当点落在直线上时公式仍然成立在补充的问题中所给出的直线方程不是一般式，所以在代人公式计算前，学生必须将直线方程化为一般式，以便确定系数，从而达到强调公式运用前提的目的教师：使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成

9、一般式方程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便确定系数的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要例2 已知点到直线的距离为，求的值；已知点到直线的距离为，求的值教师：如何求实数的值？解：知 识 运 用教师：这两问直线方程中参数的几何意义是什么？教师：两个小问的几何意义是什么？（教师利用几何画板进行数学实验）例3 求平行线和的距离教师：这两条平行直线间的距离是否是固定的？教师：如何求这两条平行直线间的距离？教师：可以选择哪个点？解：在直线上任取一点，例如则到直线的距离就是两平行线间的距离因此教师：是否可以在直线上取一般的点来求距离？推广到一般结论：知 识 运 用例求

10、证：两平行直线的距离为证明：设点是直线上任一点，则点到直线的距离为两平行直线的距离公式：的距离为教师：两平行线的距离公式不要求记忆在求两条平行线间的距离时，一般仍利用化归思想转化为直线上一特殊点到另一直线的距离来处理课堂练习 求下列两条平行线的距离：学生：过点作的垂线，垂足为，垂线段的长度就是点到直线的距离点与直线上所有点的连线中，垂线段最短问题1 学生作图后，结合图象，分组讨论怎样计算方法 利用三角函数学生：由于点和直线的位置很特殊，可以利用三角函数来解决方法 利用定义（由于前面复习了点到直线的距离的定义，所以学生容易想到利用定义解决问题）学生：利用定义解决问题方法 利用函数的思想（在前面复

11、习中强调了垂线段最短，所以可以引导学生，利用二次函数求最小值的方法解决问题）学生：可以利用二次函数求最小值的方法解决问题学生的解答中，可能会忽略取得等号的条件，教师要引导学生思考，取得等号时点的坐标，并与前面两种方法所得答案进行对比方法 利用直角三角形的面积公式学生：三角形面积公式学生：过点作的垂线，构造 对于问题1的四种解法，学生可能回答不完全，教师要补充完整问题2方法 利用三角函数方法 利用函数的思想方法 利用定义方法 利用直角三角形的面积公式问题3学生讨论：前面四种证明方法的都可行，但利用三角函数和利用二次函数求最小值的方法，相对要复杂一些方法 利用定义的算法学生分析解题思路，整理出算法

12、框图 学生的回答可能会忽略这个条件限制，教师要给予纠正并强调直线的斜率是否存在，主要取决于分母是否为0，这也是对前面知识的巩固学生：对于的特殊情况，可以结合图象直接得出结论方法 利用直角三角形的面积公式的算法学生：先添作辅助线，过点作轴、轴的垂线交于点，再利用直角三角形的面积公式进行计算方法 利用平面向量的算法学生： 学生容易忽略的限制条件，教师给予纠正学生： 对于法向量的理解是一个难点，同时学生得到的答案可能不统一教师引导学生从向量共线的角度加以分析，从而帮助学生理解学生：学生：当时，以上公式仍然成立学生容易忽略距离是一个非负数，所以教师要强调应该加上绝对值符号师生共同总结：对于点到直线的距

13、离公式的理解 从运动的观点来看，点到直线的距离是直线上的点与直线上一点的连线的最短距离； 使用点到直线的距离公式的前提条件，是把直线的方程化成一般式方程如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式；若点在直线上，则点到直线的距离为零，距离公式仍然成立；若直线方程中系数的特殊情况，距离公式仍然成立，但一般情况下可以结合图形直接得到距离师生共同讨论例1 解：根据点到直线的距离公式，得解法 因直线平行于轴，所以解法 根据点到直线的距离公式，得另解：根据点到直线的距离公式，得根据点到直线的距离公式，例2 由学生分析解题思路，并按要求用数学语言表述过程学生：中表示直线的斜率；中表示直线在轴上的

14、截距学生：这两个小问的几何意义分别是点到两条直线的距离相等，所以点在两条直线所成角的角平分线上；所得的两条直线互相平行且距离为2例3学生：两条平行直线间的距离处处相等；学生：将两平行直线之间的距离转化为一直线上一点到另一条直线的距离；学生：选择点学生：可以选择一般的点解：设直线上一点例4 师生共同总结： 应用公式的前提是应先将两直线方程化为一般形式，使对应系数化为相等（两直线平行），再代人公式计算； 两平行线间的距离可转化为其中一条直线上的一个特殊点到另一条直线的距离课堂练习学生独立完成解： 学生容易解错：请其他同学分析错误原因在复习旧知的基础上引人新课由于教材上对于点到直线的距离公式的证明比

15、较抽象，所以补充了两个由浅人深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫补充的问题1，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，教师要鼓励学生利用多种方法解决问题1方法利用了类比化归的思想，为后面将两平行直线间的距离，转化为点到直线的距离奠定基础强调数形结合的思想改变问题1中几何元素：点、直线的位置，引出问题2类比问题1，让学生独立思考问题2的不同法课堂上只要求学生说明解题思路，而不要求解题过程在点到直线的距离公式的推导过程中，渗透算法的思想对于方法，教材上只说明了算法步骤，而省略了繁琐的证明过程，所以只要求学生理清算法思路、给出框图，不要求证明过程对于方法，引导学生理清算法思路，再根据算法

16、框图，指导学生自学教材的证明过程，培养学生的数学阅读能力和获取信息的能力补充的方法，建立在学生已有的平面向量知识的基础上课堂上只要求学生理清算法思路，而对于这种方法的具体解决过程，可作为课后思考作业补充的方法为今后在立体几何中，利用这种算法思路得到点到平面的距离公式设下伏笔前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性例1中、两个问题是补充的内容，目的是强化点到直线的距离公式的应用前提条件例1主要是通过直接将已知点的坐标代人公式计算，强调公式的形式记忆和前提条件在此基础上，由浅入深，补充的例2中直线方程含有参数，进一步提高思维难度在例2中，由于直线方程中的参数都具有明显的几何意义，所以在解出参数的值

17、后，要引导学生思考其几何意义补充的例题2既考察了学生对公式的掌握情况，又为下节课研究对称问题和直线系问题设下伏笔由例2的几何意义可以引出教材的例题3例3采用了类比化归的思想方法，同时引出例4例4教材中是以习题的形式出现的（教材）补充的课堂练习的目的是，强调运用公式的前提条件课 堂 小 结教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容课后作业1 利用向量的方法证明点到直线的距离公式； 教材 13、14、16（通过小结，使学生将本节课所学的知识系统化，使学生再次巩固知识，明确方法）学生归纳总结本课主要学习了以下内容： 点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的

18、算法、利用平面向量的算法； 点到直线的距离公式：点到直线（其中）的距离说明：对于的特殊情况时公式仍然适用 应用点到直线的距离公式的前提条件板书设计：4典型例题例1例2例3例45课堂练习6课堂小结7课后作业课题：点到直线的距离1 问题1 如何求点到直线的距离？方法 方法 方法 方法2 问题2 如何求点到直线的距离？3 问题3 如何求点到直线的距离（）？方法 利用定义的算法框图方法 利用直角三角形的面积公式的算法框图方法 利用平面向量的算法框图设计说明：1对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的培养；另一种是

19、本课所体现的方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；2由于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽象如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路势必会缺乏连贯性，所以本课重点分析了三种算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法让学生在明晰算法步骤的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读；3由于平面向量是一种重要的运算工具，同时根据我校学生能力较强、数学思维较活跃的学情特点，本课补充了利用向量的数量积证明点到直线的距离公式的方法实际上，在以后立体几何的学习中，将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式但由于这种方法有一定思维难度，所

20、以可以根据学生的实际情况，提出分层要求：基本要求是理解教材所给出的证明方法并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法证明点到直线的距离公式；4现代数学认为“几何是可视逻辑”，所以应该重视在补充的例题中，突出几何直观和数形结合的思想方法；5学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的棱柱的体积教材 上海教育出版社高中二年级第二学期（试验本）授课教师 教学目标（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；（2）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思

21、想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱柱的体积公式，并会利用棱柱的体积公式解决实际问题；（4）通过介绍我国古代数学家和西方数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.教学重点祖暅原理和棱柱体积公式的推导.教学难点祖暅原理的含义.教学过程一、实际问题引入，说明研究棱柱体积的必要性：引例：青藏铁路是西部大开发标志性工程，计划投资约262亿元，铁路全长1142公里，是世界上海拔最高，线路最长，穿越冻土里程最长的高原铁路

22、针对不同情况的多年冻土，有不同的解决办法与技术比如埋设热棒或通风管，就是在路堤中埋设直径30厘米左右的金属或混凝土横向通风管，可以有效降低路基温度；也可以采用抛石路基，即用碎块石填筑路基，利用填石路基的通风透气性，隔阻热空气下移，同时吸入冷量，起到保护冻土的作用；在少数极不稳定冻土地段修建低架旱桥，工程效果有保证，但造价高假设在青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫已知路基的形状尺寸如图所示（单位：米），问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米？说明：在生产实际中，经常遇到体积的计算问题，如兴修水利、修建道路需要计算土方，修建粮仓、水池需要计算建材数量和容积因此有必要研究几何体的体积计算上例就是一个直四

23、棱柱的体积计算问题提出问题：棱柱的体积如何计算？二、探究棱柱体积公式1从已知到未知，从特殊到一般：首先想到已经学过的正方体、长方体的体积公式，然后探究一般棱柱的体积公式（1）（棱长）；（2）长方体（长，宽，高，底面积）2进一步考虑正方体、长方体的体积公式的来龙去脉：（1）请学生谈谈对体积的理解，并小结：几何体占空间部分的大小叫做它的体积（2） 提问：体积是如何度量的？(类比长度的度量和面积的度量)学生讨论后小结：1）我们在度量长度时，有一个标准，比如说，1米，1厘米等；将一段线段用1厘米来截，看这个线段是1厘米的多少个倍数，就是这个线段有多少厘米5倍就是5厘米，1.5倍就是1.5厘米2）在度量

24、面积时，也有一个标准，比如说1平方米即边长为1米的正方形作为1个单位面积，去度量平面图形的面积因此，我们容易得到正方形的面积等于棱长的平方，长方形的面积等于底乘以高因为任意多边形都可以分割成若干个三角形，三角形可以补成平行四边形，平行四边形可以割补成长方形，所以任意平面多边形的面积都可以度量（直边形）3）在体积中，我们也要先选定一个单位，用来度量体积，然后求出几何体是单位体积的多少倍，多少个倍数就是几何体的体积数值通常把棱长等于单位长度的正方体所占空间的大小作为一个体积单位只要直接把单位正方体尽可能地堆在所量的几何体内，来确定所量几何体的体积的量数因此我们容易得到正方体和长方体的体积公式，但是

25、不容易得到一般棱柱的体积公式（可以先把一般棱柱分割成三棱柱，三棱柱补成平行六面体，平行六面体割补成长方体）4）如何找到长方体的体积和一般棱柱的体积之间的关系？3从平面到空间的类比猜想：（利用几何画板的动态演示）（1）等底等高的长方形和平行四边形的面积有何关系？（2）等底等高的三角形的面积有何关系？（3）等底等高的梯形的面积有何关系？结论：根据面积公式我们可以得到面积均相等初中我们学过的面积公式的推导是因为任意平面多边形（直边形）都可以用割补的方法转化为长方形的面积得到在利用几何画板动态演示的过程中，我们发现，用平行于底边的任意直线截两个平面图形得到的截线长度总相等启发思考：这是否可以成为两个平

26、面图形面积相等的条件呢？继续探究：线是由无穷多个点构成的，面是由无穷多条线构成的，立体是由无穷多个平面构成的因此我们可以得到：夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任意直线所截，如果所得的两条截线长度相等，那么，这两个平面图形的面积相等猜想：类比到两个空间图形体积相等的条件有什么相似的结论呢？用平行于底面的任意平面截两个空间图形得到的截面面积总相等，则这两个空间图形的体积相等 4祖暅原理的引入利用“小试验”验证以上猜想：（1）取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状启发思考：1) 推斜以后体积变化了吗？（几何体所占空间的大小不变）2) 推斜前后的两个几

27、何体（前为长方体，后为平行六面体）还有什么共同之处？（高度没有改变，每页纸张的顺序和面积也没有改变）3) 这种共同之处是不是就是两个几何体体积相等的条件呢？（2）用一摞不同的书，推移成各种形状，继续探讨结论是否正确（不一定是棱柱）（3）由学生总结归纳出祖暅原理的大致内容5祖暅原理：“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”（1）内容解释：这里的“幂”是指水平截面的面积，“势”是指高即体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等还可表达为：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面

28、的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等（我国古代数学家祖暅在实践的基础上，明确肯定了这一点）（2）由“面积都相等”推出“体积相等”，体会辩证法的思想（3）祖暅原理实际上是一个定理，但证明它需要用到高等数学的相关知识，中学阶段不能证明它只能判定两个几何体是否等积，不能用它具体求出某几何体的体积要想完成求体积的任务，还必须已知一个几何体的体积作为基础（4）几何画板动态演示任意一个平面截两个几何体所得截面的各种位置6 利用祖暅原理推导棱柱体积公式：（1）利用祖暅原理推导棱柱体积，需要构造一个几何体，此几何体必须符合两个条件：它的计算公式是已知的；它符合祖暅原理的条件，即该几何体与棱柱能夹在两个平行

29、平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，截得的截面面积总相等（2）方法：如果一个棱柱与一个长方体的高相同（都为）且底面面积相等（都为），那么当我们用一个与底面平行的平面去截它们时，可以证明截面的面积都等于各自底面的面积，根据祖暅原理可知，棱柱的体积与长方体的体积相等，即，其中表示棱柱的体积，表示棱柱底面的面积，表示棱柱的高7 介绍祖冲之父子及我国古代数学家和西方数学家对几何体体积的研究：中国古代数学，在魏晋南北朝达到新的高峰这一时期的代表人物是刘徽（公元263年左右）、祖冲之（429500）和他的儿子祖暅刘徽为九章算术作注，祖冲之父子在此基础上撰写了缀术等著作祖冲之精确地计算圆

30、周率，提出约率和密率，是世界数学史上的重大成就他们三人还先后研究并最终给出了球的体积公式在这过程中，他们利用了“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”的原理，唐朝的李淳风在为九章算术作注时称求球体体积公式的方法是“祖暅之开立园术”，祖暅之即祖暅，因此我国称之为祖暅原理意大利数学家卡瓦列里1635年提出了相同的原理，西方称之为卡瓦列里原理，为微积分学创立作了准备8祖暅原理的简单应用：（1） 底面积和高都相等的圆柱和长方体的体积相等吗？（2） 底面积和高都相等的斜六棱柱和三棱锥的体积相等吗？三、巩固与应用1引例的解答：这是一个底面是梯形的直四棱柱的体积问题2例2已知三棱柱的底面为直角三角形，两直角

31、边和的长分别为和，侧棱的长为，求满足下列条件的三棱柱的体积：（1） 侧棱垂直于底面；（2） 侧棱与底面所成的角为解：（1）因为侧棱底面，所以三棱柱的高等于侧棱的长，而底面三角形的面积，于是三棱柱的体积（2）如图所示，过作平面的垂线，垂足为，于是为三棱柱的高因为侧棱与底面所成的角为，所以,可计算得又由（1）可知底面三角形的面积，故三棱柱的体积3 例3一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土？（钢筋体积略去不计，精确到立方米）解：将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱（平方米），（立方米）答：略说明：在实际问题中，可能需要将

32、几何体割、补成棱柱，然后计算其体积，本题意在提高学生这方面的能力四、课堂小结：1学生小结：2老师小结：（1）本节课的主要内容有两个：一是棱柱体积公式的推导所采用的方法是利用祖暅原理，根据长方体的体积公式推导出棱柱的体积公式应用祖暅原理可以根据已知几何体的体积求未知几何体的体积，这是一种求体积的办法，但要注意是否满足祖暅原理的条件二是应用棱柱体积公式解决实际问题在具体问题中要结合直观图，认真分析棱柱的底面积和高从而得到体积（2）本节课的数学思想方法主要体现在：由特殊棱柱长方体的体积推导一般棱柱的体积，再根据一般棱柱的体积公式去解决具体问题中的特殊棱柱的体积，这种从特殊到一般，再从一般到特殊的归纳

33、演绎的数学思想方法常常是学习数学概念的方法从两个平面图形面积相等的条件类比猜想到两个空间图形体积相等的条件，然后在实践中理解论证，这种归纳、猜想、论证的数学思想方法经常用在发现数学原理和规律的过程中在祖暅原理的理解中，体会由“截线都相等”推出“面积相等”，由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想，实际上就是微积分的思想（3）若用割补的办法把一般棱柱转化为长方体也是可以的，但是由于课堂时间有限，留给同学们课后研究教学设计说明体积的计算在现实中大量存在，学生对它们已有一定的感性认识本节课用一个需要利用棱柱体积公式才能解决的实际问题引入，说明研究棱柱体积公式的必要性这个实例是学生熟知的青藏铁路

34、的冻土解决方案，具有很强的现实意义，本节课的重点是棱柱体积公式的推导首先启发学生思考体积是如何度量的从长度的度量、面积的度量都是必须先找一个度量单位，类比得出体积的度量也是必须先找一个度量单位即单位正方体所占空间的大小然后得到正方体和长方体的体积公式，但是一般棱柱体积的公式不容易得到通过几何画板的动态演示，把平面上等底等高的平行四边形面积相等、等底等高的三角形面积相等的本质揭示出来，即若用平行于底边的任意直线截两个平面图形得到的截线长度总相等，则两个平面图形面积相等然后由学生从平面到空间类比猜想得出祖暅原理的基本内容，并且利用实物道具的“小试验”验证猜想首先讨论推斜前后的两叠裁切相同的纸的体积

35、是否相等，主要把握整叠纸张的大小、顺序和厚度不变三个共同特点在祖暅原理内容的理解中，使学生体会从“面积都相等”得到“体积相等”的辩证法的思想然后，把“小试验”中的裁切相同的纸换成一摞不同的书，让学生继续讨论这摞书经过推斜后是否体积相等，从棱柱到非棱柱，进一步理解祖暅原理的含义因为祖暅原理的发现是从实践中得来的，因此设置一些从简单到复杂，从特殊到一般的“小试验”，让学生观察试验、发现规律、总结规律通过设置试验和启发引导，呈现原理的发现过程用几何画板动态演示“任意一个平面截两个几何体所得截面的各种位置”，帮助学生理解祖暅原理中的“任意”和“总相等”，有效地突破教学难点最后说明祖暅原理实际上是一个定理，但证明它需要用到高等数学的相关知识，中学阶段不能证明它只能判定两个几何体是否体积相等，不能用它具体求出某几何体的体积要想完成求体积的任务，还必须已知一个几何体的体积作为基础接下来，学生利用长方体的体积公式和祖暅原理很容易就可以推导出棱柱体积公式这个过程体现了从已知到未知、从特殊到一般的学习数学概念的基本方法最后，通过介绍祖冲之父子及我国古代数学家和西方数学家对几何体体积的研究，揭示数学发展过程，体现数学的人文精神，激发学生学习数学的热情巩固和应用中的例题的选取尽量体现在实际生活中的运用，以激发学生学习的兴趣，增强数学的应用意识.21