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1、第三讲 数 论真题模考1. 从1234567891011129899100中任意划去100个数字其他数字顺序不变剩下的数字组成的数，最大的是多少?最小的是多少?【分析】 为了保证剩下的数最大，最高位数字要尽可能地大，先从中划去个数字剩下；再从中划去个教字剩下个；再从中划去个数字剩下尽可能大的数，所以最大的数是 为了保证剩下的数最小，最高位数字要尽可能地小从中划去个数字剩下：再从中划去个数字，剩下个，最后从中划去个数字，剩下尽可能小的数，所以最小的数是解答：最大的是 最小的是2. 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数【分析】 平方数的末尾只能是，因为都
2、不是完全平方数，所以所求的数最小是位数考察可以知道，所以满足条件的最小正整数是解答：满足条件的最小正整教是3. 一次数学考试满分是100分，6位同学在这次考试中的平均分是91分，这6位同学的得分各不相同，其中有一位同学仅得了65分，那么得分排在第三名的同学至少得多少分?【分析】 第一 第二 所以 第三至少得4. 有四个不同的自然数，它们的和是，则它们的最大公约数最大是（ ）【分析】 ， 四个数分别 最大公约数为1015. 有一种商品，买个要角钱，买个要角钱，买个要角钱，小明和小红都有整数角钱，小明的钱最多能买这种商品个，要是他们的钱合在一起，则最多能买个这种商品，那么小红的钱最多能买这种商品（
3、 ）个【分析】 小明的钱数： （角） 两人一共有钱： （角）小红有钱： （角） 小红最多能买：6. 有两个两位数，它们的差是，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是（ ）（请写出所有可能的答案）【分析】 个位 只能 和 或 和 中 只有符合 中 只有 和符合 所以一共有三组答案7. 令，其中的数字是由依次写下正整数至得到的，则小数点右边第位数字是（ ）【分析】 第个三位数是 即的下一位是8. 连续个偶数的和是这个数中最大的一个偶数是多少?【分析】 这七个数分别是 最大是9. 一个三位数除以，商是a，余数是b （a、b都是正数)求a+b的最大值【分析
4、】 那么一个三位数为余数最大 这个数 最大值10. （1）把分成两个自然数的和，使它们的乘积最大，应该怎样分？（2）把分成若干个自然数的和，要是这几个数的乘积最大，应该怎样分？【分析】 和 考点拓展【例1】 如果一个正整数的十进制表示中，任何两个相邻数字的奇偶性不同，则称这个正整数为“交替数”，若正整数至少有一个倍数为“交替数”，则把称为“好数” 是“好数”吗？说明理由 证明：是“好数” 证明：所有与互质的正整数都是“好数”【分析】 （1）的任何倍数的十位和个位都是偶数（2），前两位都是偶数，用“改造”千位，万位和千位都是奇数，“改造”十万位和万位，满足条件（3）首先证明任意一个与互质的数都有
5、倍数可以写成“”的形式，证：设这个与“”互质的数是,取个不同的自然数，求被除所得的余数，根据抽屉原理，必有两个余数相等，将余数相等的两个被除数相减，则可得到“”，这个数能被整除，由于与互质，所以去掉末尾的后，剩下的仍是的倍数，设这个数由个构成，即写成，将这个数重复写两遍得到，它也是的倍数，将它除以，再乘以（能被整除），得到，这个数仍然是的倍数，并且是“交替数”，所以是“好数”【例2】 n为4位整数，且组成它的各位数码是从左到右呈降序排列连续数字则n除以37的所有可能的余数之和为 【分析】 可能为 它们的余数分别是余数之和【例3】 在一次马拉松长跑比赛中，有100位选手参加大会准备了100块标有
6、整数1到100的号码布，分发给每位选手选手们被要求在比赛结束时，将自己号码布上的数字与到达终点时的名次数相加，并将这个和数交上去问这交上来的100个数字的末2位数字是否可能都不相同?请回答可能或不可能，并清楚地说明理由注：没有同时到达终点的选手【分析】 (解一)不可能，因为从选出个加上从选出个，结果可能是，共 有种情况，一旦确定一个数，如，那么和就不能再出现，即确定一个数就减少两种情况，那么确定个数就需要种情况，本题只有种情况，所以不可能 （解二）不可能，末2位数字都不相同说明各有一个而，末2位数字为所有选手身上和号码布上的号码总和应该为：，末2位数字为00【例4】 已知是正整数，规定，令，则
7、整数除以的余数为（ ）【分析】 （解一） 余数是 余数是 余数是 余数是 余数是（解二） 能够整除，所以的余数是【例5】 一个分子是1的分数，化成小数后是一个混循环小数，且循环节为两位，不循环也有两位，那么这种分数共有多少个？【分析】 假设该混循环小数是，那么其中，且，所以不是和的倍数.令，则，那么，而所以是的约数，且不是和的倍数. 的约数中的倍数有，的约数中的倍数有个，的倍数有个，即是也是的倍数有个，显然对任意值，和都有以内的符合条件自然数解，所以符合条件的解有个，对应的也有个，即这样的分数有个，【例6】 有一个四位整数在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，所得结果是这个四位
8、数是（ ）【分析】 结果的小数点后有两位，说明这个小数要么是，要么是 所以只能是 课后练习1. 一个两位数被它的各个数字之和去除，余数最大是（ ）【分析】 数字和， 数字和，； 数字和，； ； 所以余数最大是2. 设与分别表示两个两位整数，并且满足方程，则（ ）【分析】 方程两边除以，得，即， 为偶数，被整除，又两位数除以两位数只能在之间， 或 经验证不符合题意，舍去， 所以3. 实验小学的礼堂一共有座位24排每排有座位30个，全校有650个学生在礼堂开会，那么至少育多少排座位上坐的学生人数同样多?【分析】 假设排座位上坐的人数都不一样多，那么最多只能坐人；假设有两排坐的人数同样多，最多可以坐人：假设由排坐的人数同样多最多可以坐.假设相同人数的座位有排最多能坐人，超过人的总人数所以至少有排座位上的人数相等解答：至少有排座位上的人数相等4. 两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到两个商的和是16，请写出这两个整数. 【分析】 1925=55711 两个商都是1925的约数，互质，而且和为16，所以这两个商分别1为5、11. 19255=385， 192511=175 这两个整数是385与175.
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