二阶常微分方程解的稳定性研究毕业论文

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1、更多论文二阶常微分方程解的稳定性研究摘要 通过函数方法讨论形如的二阶微分方程零解的稳定性、渐近稳定性和不稳定性.关键词 二阶微分方程 函数法 零解的稳定性1.形如的二阶微分方程零解的稳定性定理、渐近稳定性定理和不稳定性定理对于微分方程组 (1)假设,且在的某领域(为正常数)内有连续的偏导数,因而方程组(1)的由初值条件所确定的解在域内存在且唯一.其中的范数定义为,满足在域的局部利普希茨条件.显然是其零解.将方程组的特解通过变换化为零解再进行零解稳定性态的讨论,可不必就各种特解讨论其稳定性态.驻定微分方程常用的特解是常数解,即方程右端函数等于零时的解.定义1 如果对任意给定的,存在（一般与和有关

2、）,使当任一满足时,方程组(1)的由初值条件确定的解,对一切均有，则称方程组(1)的零解为稳定的.如果方程组(1)的零解稳定，且存在这样的使得当时,满足初始条件的解均有,则称零解为渐近稳定的.当零解不是稳定时,称它是不稳定的.即是说:如果对给定的某个给定的不管怎样小,总有一个满足,使由初值条件所确定的的解,至少存在某个使得,则称方程组(1)的零解为不稳定的.定义2 设函数在中原点的某领域中有定义, 在连续可微,且满足.若除原点外即对所有有,则称为正定函数(负定函数);若对所有恒有,则称为半正定函数或常正函数(半负定函数或常负函数);若在中原点的任一领域内即可取正值,也可取负值,则称为变号函数.

3、引理 如果一阶线性微分方程组 (2)的特征根均不满足关系,则对任何负定(或正定)的对称矩阵,均有唯一的二次型使其通过方程组(2)的全导数有,且称对称矩阵满足关系式,这里分别表示的转置.定义3 假设函数关于所有变元的偏导数存在且连续,以方程组, (1)的解代入,然后对求导数, (3)这样求得的导数称为函数通过方程组(1)的全导数.定理1 若有原点的领域和一个正定(负定) 函数,使得通过其方程组的全导数是半负定(半正定)或恒等于零的,则方程组(1)的零解是稳定的;若使得是负定(正定)时,方程组(1)的零解时渐近稳定的.证 设函数正定,对任意给定的(不妨假设闭球在中),取,则当时,的点必全部位于原点

4、的领域内.由的连续性可知,必有,使得当时, .由于,当时,对一切有,所以当时, .这就说明了半负定时方程组(1)的零解是稳定的.当负定时, 方程组(1)的零解稳定,只要,即可证明方程组(1)的零解渐进稳定.利用反证法,设方程组(1)的零解不是渐进稳定的,则至少有一个从上述院的的领域内某点出发的解,使得.由于负定,故单调下降,从而由的正定性知必有,且时.由的连续性知,必存在,使得时.又由于是负定的,必有,在区域内, ,由(3)式得.对上式两边积分得.这表明,这与矛盾.故方程组(1)的零解渐进稳定.例1 讨论二阶线性微分方程零解的稳定性.解 经过变换,化为平面线性微分方程组其特征根为.满足条件.又

5、因为其系数矩阵,任一负定对称矩阵和,可构造二次型,并得三元线性代数方程组解此方程组得到,从而得二次型函数.显然此二次型函数是正定的,且其通过线性方程组的全导数为,它是负定函数,由定理1可知二阶线性微分方程的零解是渐近稳定的.例2 讨论二阶线性微分方程零解的稳定性.解 令,将该方程化为等价的微分方程组其特征根为.满足条件.又因为其系数矩阵,任一正定对称矩阵和,可构造二次型,并得三元线性代数方程组解此方程组得到,从而得二次型函数.显然此二次型函数是负定的,且其通过线性方程组的全导数为,它是正定函数,由定理1可知二阶线性微分方程的零解是渐近稳定的.定理2 设在原点的领域内存在正定函数,它沿着方程组(

6、1)轨线的全导数是半负定的,如果集合内除原点外,不再包含方程组的其他轨线,则方程组(1)的零解渐进稳定.证 由定理1可知,在定理2的条件下的零解是渐近稳定的.于是对给定的(不妨假定闭球含在内),可以找到,使得当时,方程组(1)满足的解;当时满足,且由易见是的单调非增有界函数,故必有极限,令.由于的正半轨有界,故它的极限集非空,若,则有.这表明,从而有.由于是由方程组(1)的整条轨线组成,而在中除外不再包含方程组(1)的其它轨线,故有.于是有.零解的渐近稳定性得证.例3 讨论二阶非线性微分方程零解的稳定性.其中都是连续函数,且满足下列条件(1) (2) .解 选取,由条件(1)知,是正定函数.计

7、算沿着该方程组轨线的全导数得.由条件(2)知是半负定的.又因为集合.由该方程组可知时,满足方程组的解必有,从而集合内除外不再包含该方程组的其它轨线,所以该方程组零解是渐近稳定的.例4 给定二阶微分方程,其中,而当时.是将其化为平面微分方程组,并用形如的李雅普诺夫函数讨论方程组零解的稳定性.解 令,将该方程化为等价的平面微分方程组由条件,而当时可知, 是正定函数. 计算沿着该方程组轨线的全导数得.由定理1可知该方程组的零解是稳定的.定理3 设在原点的领域内有函数,它沿着方程组(1)轨线的全导数是正定(负定)的,而本身不是半负定(半正定)的,则方程组(1)的零解是不稳定的.证 该定理的直观含义是沿

8、着方程组(1)的任一条解曲线, 必定增加,而在原点的任一领域内必有使的点,所以从出发的解曲线随着增加必向增加的方向跑,故导致了零解的不稳定性.证明时用反证法.设方程组(1)的零解是稳定的,则,使当时，。由于正定，所以随着单调递增，又因不是半负定，故可以找到，使，于是有.由于连续,故必有,使得.再由的正定性可知,存在,在区域中.利用这一不等式对积分得.由上式可知, ,这与和的连续性矛盾.所以方程组(1)的零解是不稳定的.例5 讨论二阶微分方程零解的稳定性.解 令,将该方程化为等价的平面微分方程组.取,计算得.显然可以看出,在原点足够小的领域内都是正定函数,所以由定理3可知该方程组的零解是不稳定的

9、.2.二阶微分方程零解稳定性的应用将下列二阶微分方程(1).(2).化成微分方程组,然后对方程组求二次型函数,使其通过方程组的全导数,并讨论该方程组零解的稳定性.(1)解 令,将该方程化为等价的平面微分方程组.其特征根为.满足条件.又因为其系数矩阵,任一正定对称矩阵和,可构造二次型,并得三元线性代数方程组解此方程组得到,从而得二次型函数.显然此二次型函数是负定的,且其通过线性方程组的全导数为,它是正定函数,由定理1可知二阶线性微分方程的零解是渐近稳定的.(2)解 令,将该方程化为等价的平面微分方程组.取正定二次型函数.计算其全导数为,它是正定函数,由定理3可知二阶线性微分方程的零解是不稳定的.参考文献1 马知恩 周义仓,常微分方程定性和稳定性方法,第三章第一节稳定性的定义和例子J.北京:科学出版社,2001.82 马知恩 周义仓,常微分方程定性和稳定性方法,第三章第二节自治系统零解的稳定性J.北京:科学出版社,2001.83 王高雄 周之铭等,常微分方程,第六章第二节V函数方法,J.北京:高等教育出版社,2006.74 廖晓昕,稳定性的数学理论及应用,第三章Lyapunov直接法的基本理论,J.武汉:华中大学出版社,2006.55 阿阿玛尔德纽克 孙振绮,应用稳定性及应用,第二章实用稳定性问题中的李雅普诺夫函数方法,J.北京:科学出版社,2004