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1、解决排列组合问题的常用技巧与策略解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：类与类必须互斥(不相容)，总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。 以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用
2、准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。 （一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 例1：这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？ 解法一：(元素优先)分两类：第一类，含，在个位有种，在十位有种；第二类，不含，有种。 故共有种。 注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。 解法二：(位置优先)分两类：第一类，在个位有种；第二类，不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有种。 故共有 （二）
3、总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减，例如在例中也可以用此法解答：个数字组成三位数的全排列为，排好后发现不能在首位，而且和不能排在末尾，这两种不合题意的排法要除去，故有个偶数（三）合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏例2：个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有解：由题意，可先安排甲，并按其进行分类讨论：（1）若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有种方法；（2）若甲在第三个或第四个位置上，则根据分布计
4、数原理不同的站法有种站法；再根据分类计数原理，不同的站法共有：种（四）相邻问题：捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。例3：个男生个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？ 解：先把个女生捆绑为一个整体再与其他个男生全排列。同时，个女生自身也应 全排列。由乘法原理共有种。 （五）不相邻问题用“插空法”对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的）.例4：个男生个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排
5、两头，共有几种排法？ 解：先排无限制条件的男生，女生插在个男生间的个空隙，由乘法原理共有种。 注意：分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素；数清可插的位置数；插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。 例5： 马路上有编号为的盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？ 解：由于问题中有盏亮盏暗，又两端不可暗，故可在盏亮的个间隙中插入个暗的即可，有种。 （六）顺序固定问题用“除法”或选位不排或先定后插对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这
6、几个元素之间的全排列数。或先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好顺序一定元素，再一一插入其它元素。 例6： 人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？ 解法一：先人全排有种，由于全排中有甲、乙的全排种数，而这里只有种是符合要求的，故要除以定序元素的全排列种，所以有种。 解法二：先在个位置中选个位置放定序元素(甲、乙)有种，再排列其它人有，由乘法原理得共有种。 解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有种方法，接着插入第二人有种方法，最后插入第三人有种方法。由乘法原理得共有种。 （七）“小团体”排列，先“团体”后整体对于某些排列
7、问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。 例7:四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？ 解：先从四名男歌手中选人排入两女歌手之间进行“组团”有种，把这个“女男男女”小团体视为人再与其余男进行排列有种，由乘法原理，共有种 （八）分排问题用“直排法”把个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理例8：个人坐两排座位，第一排坐人，第二排坐人，则有种排法解：个人，可以在前后两排随意就座，没有其他的限制条件，故两排可以看成一排来处理，所以不同的坐法有(九)逐
8、步试验法 如果题中附加条件增多,直接解决困难,用试验法寻找规律有时也是行之有效的方法例9：将数字填入标号为的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。解：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为复杂，可用试验法逐步解决第一方格内可填或或如填，则第二方格内可填或或若第二方格内填,则第三方格内只能填，第四方格内填若第二方格填，则第三方格应填，第四方格应填同理，若第二方格填，则第三、四方格应分别填，。因而第一方格填共有种方法。同理，第一格填或也各有种，所以一共有种方法。（十）探索规律法对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要仔细分析，探索出其中规律，再予以解
9、决。例10：从到的自然数中，每次取出不同的两个数，使他们的和大于，则不同的取法种数有种。解：此题的数字较多，情况也不一样，需要分析摸索其规律。为方便，两个加数中较小的为被加数，为被加数的有种；同理，为被加数的有种；为被加数的有种；为被加数的有种；为被加数的有种；但为被加数的只有种；为被加数的只有种；为被加数的只有种，故不同的区法有：种。（十一）“住店”问题解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。把不能重复的元素看着“客”，能重复的元素看着“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”。例11：名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是种。解：应同
10、一学生可同时夺得项冠军，故学生可重复排列，将名学生看着家“店”，五项冠军看着名“客”，每个客有种住宿方法，由分步计数原理得种。（十二）特征分析法有约束条件的排数问题，必须紧扣题中所提供的数字和结构特征，进行推理，分析求解。例12：由六个数可组成多少个无重复且是的倍数的五位数？解：分析数字的特征：的倍数的数既是的倍数，又是的倍数。其中的倍数又满足“各个数位上的数字之和是的倍数”的特征。而且是的倍数，从个数字中取个，使之和还是的倍数，则所去掉的数字只能是或。因而可以分两类讨论：第一类，所排的五位数不含，即由作数码；首先从三个中任选一个作个位数字有种，然后其余个数字在其他数位上的全排列有，所以；第二
11、类，所排的五位数不含，即由作数码，依上法有，故种。（十三）相同元素进盒，用档板分隔 例13：张参观公园的门票分给个班，每班至少张，有几种选法？ 解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把张票看成个相同的小球放入个不同的盒内，每盒至少球，可先把球排成一列，再在其中个间隔中选个位置插入块“档板”分成格(构成个盒子)有种方法。 注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。（十四）个数不少于盒子编号数，先填满再分隔例14：个相同的球放入编号为的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？ 解：先用个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把个球放入个盒内即可,可用块档板与个球一起排列(即为两类
12、元素的排列问题),有种。 （十五）不同元素进盒，先分堆再排列对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。 例15：个老师分配到个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？ 解：先把位老师分堆，有两类：分布有种和分布有种，再排列到个班里有种，故共有种。 注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒内的元素必须一次进入”。 （十六）两类元素的排列，用组合选位法例16：级楼梯，要求步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？ 解：由题意知，有步跨单级，步跨两级，所以只要在步中任意选步跨两级即可。故有种跨法。
13、 注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。 例17： 沿图中的网格线从顶点到顶点，最短的路线有几条？ 解：每一种最短走法，都要走三段“|”线和四段“”线，这是两类元素不分顺序的排列问题。故有或种走法。 例18： 从个班中选人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？ 解：这个问题与例有区别，虽仍可看成块“档板”将个球分成格(构成个盒子)，是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故块“档板”与个球一样也要参与排成一列而占位置，故有种选法。 注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。 以上介绍了排列组合应用题的几种常见求解策略，这些策略不是彼此孤立的,而是相互依存的，相互为用的。有时解决某一问题时要综合运用几种求解策略。 5
高二数学排列组合问题的解题策略：总结 计划 汇报 设计 纯word可编辑
