小学数学　解决应用问题 增长生活智慧

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1、解决应用问题 增长生活智慧 一道折扣练习题的答题结果分析与策略思考内容摘要：通过对一道应用性折扣练习题的答题分析，知道学生对题型、开放结论方面存在着不适应、对生活经验的积累存在着不足。从教师的层面了解发现，对题的理解出现分歧，直接影响着学生对题的理解与解题的方式、影响着研究问题的行为与程度，最终导致学生问题意识的缺乏与实际应用能力的薄弱。然而笔者发现从关注意义理解、分解难点强调逐步深入、融合计算统计图多元解题策略、沟通知识与运用等几方面入手进行教学，不仅将此题承载的思维方法、分析策略反映出来，把学生数学课堂知识的学习与生活实际应用沟通起来。有利于学生问题意识的增强、解决问题能力的提高，增长了生

2、活的智慧。关键词：折扣教学 应用意识 生活智慧 多元策略 在我们的数学教学活动中经常会碰到有趣的练习题。看似简单，如果进一步思考与解读，会给我们的教育教学活动带来一些启发。笔者正是在教学过程中碰到了这样一道折扣练习题，引发了一些思考。一、习题描述：由省教研室编写，配人教版教材使用的作业本P47页有这样一道开放题：小虹和妈妈去超市购物，发现相邻的两家超市同一品牌的商品原来的销售价格都相同，但现在各自出了一则公告：甲超市 乙超市凡在本超市购物满100元，送购物券25元。在本超市所有商品一律八五折。小虹应该建议妈妈去哪家超市购物？为什么？同样的题也出现在省编教材第11册P17页中，两次出现的情况比较

3、：出现单元出现形式编排顺序人 教 版11册第5单元作业本题在此前已学过分数乘除法应用题省编教材11册第1单元书本思考题在此前没有学过分数乘除法应用题虽然两次出现的单元、形式和知识储备各不相同，但是此题都是在学生学习了百分数解决问题中的“折扣”后出现的，它是以“折扣”为基础的解决问题的拓展题。为了进一步分析问题，我们有必要了解“折扣”教学的意义。“折扣”也叫折率，它要求用百分数知识解决实际问题，在生活实际中有着广泛的应用。学生通过学习，联系生活实际和百分数的意义能明确折扣的含义，能正确地解答有关折扣的实际问题，通过独立思考、自主探索、合作交流，丰富自身的解题策略；增强用数学知识解决实际问题的意识

4、。因此，这样的开放题是非常符合新课程理念，是非常注重检测学生的数学思考的能力。有一定的思维含量和教学价值。二、结果分析（一）生答题的状况在对我校某班55名学生的作业批改过程中，笔者对他们的答题情况做了一个全面的了解和分析，总体情况如下表：表一：根据解题的过程汇总情况算折扣有结论只有结论无从下手人数32194表二：根据思考的全面性汇总情况考虑到分段不考虑分段人数1243解题的正确率很低，只有个别学生考虑到可能与具体的价格有关，12个考虑分段的同学也只考虑了100元以上和100元以下两种情况，更多同学只是算了一下折扣，下了一个结论，其中有4人无从下手。这样的答题结果多少有点让人意外，值得去分析和思

5、考。原因一：对题型的不适应。学生习惯解决封闭的条件与问题的题目，对于提出建议型结论的题型不适应。但不写建议又等于没答题，于是就根据自己的想法写了一个结论上去。主要表现在那些只有结论而没有过程的学生身上。原因二：对开放结论的不适应。开放题本身具有不确定性，即条件的开放或答案的不唯一性，在做题中学生需要根据题目所给定的条件，联系所学的知识，通过合理的观察、分析、比较、猜想、类比，从而得出题目的结论。在小学的六年级时间里，学生在数学书上和作业本上所能碰到的开放题屈指可数。对六上数学书和作业本中出现的开放题统计如下：条件开放结论开放数学书P729 P871P5410作业本P574P143 P195 P

6、475学生在整个学期中碰到条件开放的题只有3题，结论开放的有4题。更何况此题结论的开放还比较隐蔽，不容易觉察。原因三：生活体验的不足。虽然大多数同学在日常生活中有所了解“折扣”，也可能自己买过打折的东西。但学生的这种认识还只是凭借生活经验产生的感性认识，想到是便宜了，比原价少了，但问其所以然，能解释清楚的并不多。所以对折扣概念学生并未真正理解。另外，学生很少会将这种生活中的商业折扣与数学课本上的百分数知识相联系，欠缺知识间沟通互化的意识。根据满100元，送购物券25元求折扣，需要用“花同样多的钱哪一个超市购得的商品原价多”的思想去解答。而且，购物的价格不同，会引起折扣的变化，学生缺乏这方面知识

7、的积累。（二）征求教师的意见：1、身边的同事面对着学生解题策略的缺乏，笔者主动询问曾经教过六年级的几位同事，他们在指导学生解题时是怎样做的？结果得到的答案是：有6位教师就是让学生算一算折扣；1位教师是想让学生去分类讨论，反馈交流。2、来自网络的信息：在网上进行查询，搜索到十几篇相关资料，通过筛选，选取了一些具有代表性的观点，整理如下表：链接查询主要观点speede111：甲超市商品价格为8折 乙超市8.5折 当然去甲超市了；雪花and枫叶：甲满100送25等于75，乙1000.8585，到甲超市； 超过200，甲超市仍送25，当然乙超市便宜；zhangfei5025：甲乙超市相比甲超市只有在购

8、物价值在100到166.7元范围内，才比乙超市优惠。解题过程：设购物价值为X元时，甲超市比乙超市优惠， X100，X-250.85X 解得100X166.7yuge111：100元以内的商品去乙超，100元以外的去甲超；xiang071：99元及以下（乙） 100141（甲） 142（均可） 143199（乙） 200282（甲） 283（均可） 284299（乙） 300（甲） 300以上（甲）wxm72：应根据妈妈购物打算花多少钱来确定，可以分以下几种情况：1、不满100元的，去乙超市购物；2、购物正好是整百、整千元的，去甲超市购物；3、零头部分小于或等于66元的，去甲超市购物；4、零头部

9、分大于66元的，去乙超市购物。（1）理解甲超市的营销策略：买100元以下，不送；买100元及以上送25元券。（买200元，5000元甚至更多的钱都只送25元券。）（2）理解乙超市的营销策略：任何商品都打八五折。（3）选择去哪个超市跟商品的什么有关？（原价）（4）为解决此问题，商品的原价可分成几个阶段呢？张超群：设妈妈准备花元钱， 若100，则在甲超市只能买原价是元的商品，而在乙超市可以买得原价是85%1.18元的商品，应该选乙超市； 若=100，在甲超市可以购得原价是10020=125元的商品，而在乙超市只能购得原价为1.18100=118元的商品，应该选甲超市； 若100142，应该选甲超市

10、（这里通过解不等式组85%25 且100200得到的）；若142200，应该选乙超市；若200283，应该选甲超市（这里解不等式组85%50且200300，解得200283）； 若283300，则选乙超市；若300则选甲超市。以上所列8人观点认为“满100送25券”可以“以此类推”的有5人，不可以类推的有3人；认为结果是“多元结论”的有5人，只是分两段思考结论的有2人，不分段思考的有1人；有明确解题过程的有4人，描述性过程的有4人，解题方法上用到不等式的有2人，数形结合解题的有1人，只算折扣（包括描述性过程）的5人。其中结论有错误的有5人。原因分析：一部分教师认为没必要搞得那么复杂，因为孩子不

11、理解，更何况考试时不会出现这种题型，就让学生自己假设一个价格，算一算折扣，自圆其说得出的结论就可以了；另一部分教师承认当时自己也没有想得那么深入，就算了下折扣就好了。只有少数教师认为应该深入理解分析此题，与孩子在生活实际的应用沟通起来。可见，在教师的层面也出现了分歧，不同的理解与要求直接影响着学生对题的理解与解题的方式；进而影响着学生研究问题的行为与程度；最终会导致学生问题意识的缺乏与实际应用能力的薄弱。 甲超市凡在本超市购物满100元，送购物券25元。（三）笔者对该题的理解1、对题意的理解：该题明确指出“相邻的两家超市同一品牌的商品原来的销售价格都相同，现乙超市打八五折出售”，重点应该理解的

12、是甲超市的营销策略。根据题意可得如下结论：物品价格100元以下，不送购物券；满100元时送25元券，150元时还是只送25元券。但是题意没有给出：满200元是送25元券还是50元券。这是一个值得探讨的问题，因为这一问题是解决此题的核心问题。从字面来看：满100元送25元券，数值大于100就送25元券，似乎没有以此类推的意思。但是既然是一题生活实际应用的策略题，笔者认为也可以把它当作200元送50元券来思考。理由一：可以考虑把200元的物品拆分成两个100元付款，可以得两张25元券；理由二：现实中一般都是多买多送，以此类推。当然，也不排除只送25券的可能，所以笔者还是比较倾向于两种情况均进行讨论

13、。2、对解题策略的理解很显然，此题的基本思路是运用折扣来分析问题得出结论。但是它比较复杂，需要分2种情况，分段分析与思考。故在选择方法上要符合小学高段学生的认知特点和知识储备。避免用“不等式”的方法来解此题，可以用罗列计算法与统计（折线统计图）相结合的方法进行解答，便于发现规律与结论的得出。如下图所示：甲超市付的钱送券所得价值所得折扣80080100.0%1002512580.0%1302515583.9%1502517585.7%1992522488.8%2005025080.0%2805033084.8%2995034985.7%3007537580.0%3507542582.4%3997

14、547484.2%40010050080.0%3、对解题过程与结论的理解有人认为：学生还毕竟是孩子，他们考虑问题还不会想得那么细致、周到，所以学生只要有解决这种问题的意识，把大致的情况展示出来就可以了，不需要分析地如此透彻。笔者认为：正是因为学生考虑问题还不会想得那么细致、周到，所以我们才需要将此题承载的思维方法、分析策略通过教学反映出来，把学生数学课堂知识的学习与生活实际应用沟通起来。让他们在以后的学习生活中遇到类似的问题会以类似的方法进行分析与研究。有利于学生问题意识的增强、解决问题能力的提高。从这个层面考虑，笔者认为解题过程的展开的意义远远大于解题结论的得出。所以不能将它作为一个选做作业

15、让学生完成，因为这样做不能发挥它所承载的数学思想方法与解题策略；更不能只让学生自定一个价位算一下折扣作出一个结论，因为这样就错过了培养学生问题意识、深入思考、努力探究的机会；也不能向网上反映的教师那样，仅站在教师的角度，用教师的眼光，选择教师自己理解的方法来解答，那样势必造成学生的一知半解，失去数学知识与生活实际的沟通。三、策略思考如何才能在课堂上让这些有利的方面得到充分地体现，有利于学生在生活中运用？笔者以折扣教学为例，谈一谈策略思考。人教版教材关于折扣教学只安排了一节课的教学时间，在后续的练习二十三中有相关的练习题。笔者认为：折扣教学安排两课时进行，第一堂课主要了解折扣表示的意义，会求简单

16、的折扣相关的问题（包括求打折后的价格、便宜的价格、逆向求原价和求打几折的问题）；第二堂课重点要解决生活实际问题中有关折扣的策略问题。下面以第二堂课的几个步骤为例，谈谈如何增长学生的生活智慧：（一）关注意义的理解第一堂课中已经充分理解折扣表示现价是原价的百分之几，但是要解决实际应用的问题可能还不够，我们需要适当地进行补充。【教学片段1】1、提出下面几个问题：同样价格的商品，打三折便宜，还是打七折便宜?买一台笔记本电脑，发现同品牌、同型号的笔记本电脑在甲商场打九折出售，乙商场打八五折出售，哪个商场售价便宜?一个溜溜球和一台电视都打八折出售，它们有什么异同点?2、生独立思考后，再同桌讨论：3、反馈交

17、流：打三折的更便宜，你是怎么想的？生1：折扣表示现价是原价的百分之几，三折说明现价是30%，七折说明现价是70%，所以三折更便宜；生2：我可以举一个例子来说明，假设商品价格是100元，打三折现在只要付30元就够了，打七折就要付70元；生3：打三折便宜了70%，打七折只便宜了30%；你认为哪家商场便宜？为什么？生1：乙商场便宜，折扣比较低，只要付85%的钱；生2：也有可能是甲商场便宜，因为原价可能不一样；很显然，溜溜球和一台电视的价格是不同的，但它们有什么异同点呢？生1：它们都是打了八折，都只要付原来钱的80%；生2：我补充：都便宜了20%；生3：它们降价的钱数肯定不一样；师小结：打的折扣一样我

18、们就说降价幅度相同，但是因为原价不一样，降价的钱数就会不同。这几个问题较好地顺承了学生的认知，沟通折扣与原价(单位“1”)之间的联系。在学生具备了自主解答的基础后，笔者进一步提出以下问题：【教学片段2】1、算一算下面相当于打几折：买4支笔送1支笔买10个铅笔盒可以少付1个的钱满100元减20元存100元当200元用2、生独立算一算3、反馈交流：要算打几折，你是怎样去思考的？生1：用现价去除以原价生2：不对，12两题没有现价与原价。第5题100元是现价还是原价呢？师：是呀，在实际生活中，如果根据以前的为原价，后出现的为现价去判断往往要出错。我们可以用“实际付的钱得到的价值”来求打几折。说一说每一

19、题要付的钱是多少，得到的价值是多少，并列出算打几折的算式。结合学生的认知发展，正确把握学生的对现实生活的理解，不断地提出富有挑战性的问题，有效地激发学生的参与热情，很好地将折扣的意义与现实生活中算折扣的知识相沟通，培养了学生思维的灵活性和深刻性，为学生解决生活实际应用的问题作好铺垫。（二）强调逐步地深入根据问题的复杂程度，我们要将难点逐步分解，设置梯度问题，让学生步步深入。既能保证有思维层次，又能培养学生思维的深刻性与考虑问题的全面性。【教学片段3】1、出示情景问题：两家商店搞促销。甲商店一律八三折出售。乙商店满100元送20元购物券，200元送40元购物券，以此类推。哪家商店便宜？2、生思考

20、后反馈你认为哪家便宜？为什么？生1：我是算乙商店打几折的，100（10020）83.3%，甲商店便宜。生2：付100元甲商店能买到10083%120.5元的东西，比乙商店多。有没有可能乙商店的折扣率比甲商店大呢？生1：有可能，当送的券多的时候，折扣率肯定比甲商店大；生2：我偷偷算过了，不可能，假如满1000元送200元券，1000120083.3%如果不是整百整千的时候，它的折扣率还要小，如付180元只送20元券，那么这样的折扣率是18020090%了。师：办法很好，假设数据计算结果来说明问题。想想：为什么不是整百整千时，它的折扣率反而更小呢？生3：我想是因为付的钱多起来，而券又不送的缘故吧。

21、师：那么，乙商店什么时候的折扣率最大，什么时候的折扣率最小呢？生讨论后回答：折扣率最大是整百整千时（83.3%），折扣率最小是与整百整千数相差1元就又能拿20元券时。（后来教师发现这个结论也是有误的，最小折扣率是199（19920）90.9%，随着数据趋向于无穷大时，趋向于83.3%）师小结：通过刚才的讨论我们不仅明白了乙商店的折扣率是随着购物价格的变化而变化，通过假设数据计算验证后，知道整百整千送券时折扣率最低。在这个环节中，教师把后续要出现的难点折扣率随着购物价格的变化而变化、整百整千送券时折扣率最大、用假设数据计算验证的方法变成一个一个小台阶，把难点内容化整为零，搭桥铺路，减缓坡度，以便

22、于后续难点得以突破。（三）融合多元解题策略数学解题策略，是指为实现解题目标而采取的行动方针、方式和方法。根据比较两家商店的优惠程度和学生的思维特点，笔者选择化抽象为具体的解题策略来进行教学。【教学片段4】1、出示：小虹和妈妈去超市购物，发现相邻的两家超市同一品牌的商品原来的销售价格都相同，但现在各自出了一则公告：甲超市 乙超市凡在本超市购物满100元，送购物券25元。在本超市所有商品一律八五折。小虹应该建议妈妈去哪家超市购物？为什么？2、给足学生思考的时间，反馈交流建议去哪家超市购物？为什么？生1：应该去甲超市，因为甲超市送券，相当于打100（10025）80%八折，比乙超市便宜；生2：如果妈

23、妈购物的钱小于100元，甲超市就不送券了，一点优惠都没有，乙超市还能打八五折呢；生3：看来，有时要到甲超市便宜，有时要到乙超市便宜，跟妈妈用的钱有关，无法确定；师：刚才同学们的意见都很好，的确跟小虹妈妈购物的价值有关。但乙超市一律打八五折，已经不变。但甲超市的折扣率随着购物价的变化而发生变化，我们只要根据购物价格确定甲超市打几折，两者一比较就能确定谁便宜了。（师边小结，边板书：100元，去乙超市 100元，甲超市八折，去甲超市）生4：我发现购物价在125元时，还是甲超市合算，12515083%八三折；（师对齐100元板书：125元，甲超市八三折，去甲超市，便于学生观察）生5：我计算了150元时

24、，甲超市打的折相当于15017586%八六折，反而又是乙超市便宜，它打的折数呈上升趋势；师边板书边小结：由于购物价格上升，而送的券没有增加，导致打的折数变大，呈上升趋势，那么我们可以用什么方式来反映出这种上升趋势呢？生一起回答：折线统计图。（师出示Excel表格，左边是输入数据区域，右边是自动作图区域。输入刚才学生计算过的数据，图中出现三个点。）师：这种上升趋势会一直这样下去吗？生6：到200元可以送50元券时，又回到八折开始上升。生相互质疑，题意有没有给出以此类推的条件，最后统一观点两种都分析。师：如果只是送25元券的话，随着购物价的上升打的折数也变大，呈一条怎样的趋势线？（通过学生不断地假

25、设描出各点，无限趋近于100%） 100元师：你看到了什么？生7：在水平线以下的部分，表示比八五折便宜，在水平线以上的部分，表示比八五折贵；师：两线相交的点又是什么意思呢？生8：这个点表示的价格是两家一样便宜。师：这个点表示的价格是多少呢？想办法算一算。反馈方法：根据上面计算法接近于150，用罗列计算法得出；用方程法，设这个价位是元，0.85（25），解得141.67叶圣陶先生曾经说过这样一句话：“当教师像是帮助小孩走路，扶他一把，要随时准备放，能放手就放手。由于学生已经有了一定的知识储备，下面的环节我就放手让学生自己试着去猜想。”这样给了学生很大的探索空间去经历知识形成的过程，让学生真正成为

26、学习的主人师：我们刚才一起研究了只送25元券的问题，如果商店以此类推，多买多送的话，又会是怎样呢？请4人小组合作，假设价格，通过计算并简单描出趋势。生小组合作，师巡视。反馈交流：小组1：我们发现这样打的折数的趋势显示断断续续，到整百时都在八折。小组2：好象有两次与水平线相交，汇报数据，最终形成下图，求出两次相交的点141.67和283.3。师：超过300元后，甲超市的折扣百分数会超过85%吗？为什么？爱因斯坦说过，“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”新课标也指出让学生“初步学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会”。在这个环节我放手培养学生自己研究问题的能力，提高学生的数学意识和数学素养

27、。引导学生获取数学信息，获得有价值的数学体验。师小结：在选择商场时，我们除了比较折扣高低外，我们还要比较其他的众多因素。如：购物券能不能当场用、用购物券能不能找零只要你细心观察，认真分析，总能发现对自己有利的地方。除了要培养学生思考问题的全面性和深刻性外，还要防止思维的定势。事物往往包含两面性，促销的背后同时也包含着正常的商业竞争与虚假欺骗的两种情况，使学生在理解其实际意义的同时，学会多角度地分析问题。（四）沟通知识与运用设计商家折扣的广告语能把数学知识与日常生活紧密联系起来，让学生去感受数学、学习数学、应用数学，丰富学生的解题策略。【教学片段5】1、出示策划题：冬天到了，空调市场开始进入“淡

28、季”。为了促销，某电器商城准备将原价4000元一台的某品牌空调以每台3200元的价格出售。请你为这家电器商城设计一张广告（简洁明了）。看哪个小组设计的广告既符合公司的要求，又能吸引顾客。2、生设计后反馈交流。3、展示各种广告：满4000元减800元打八折处理满1000元送200元购物券，以此类推通过这一环节的活动，让学生进一步感受到生活中处处有数学，培养学生自觉应用数学的意识。总之，让数学与生活结伴同行，联系生活学数学是课标的基本理念，也是数学教学的重要途径。笔者通过案例来描述，目的就是说明学习数学还要在生活中将它用起来，使数学知识与学生的生活实际密切联系起来，使生活问题数学化、数学教学生活化。只有这样，才能使教材再现生机与活力，才能使课堂充满个性与灵气，让数学因生活而精彩！12