山东省高考数学一轮复习 试题选编27 空间角与空间距离 理 新人教A版

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1、山东省2014届理科数学一轮复习试题选编27：空间角与空间距离一、选择题 （2013山东高考数学（理）已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若为底面的中心,则与平面所成角的大小为（）ABCD【答案】B二、填空题 （山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为,那么等于_【答案】 【解析】要想是平面与正方体的12条棱所成的角相同,根据平行性可知,只要平面和同一个顶点的三条棱所成的角相同即可,如图可知即为棱与平面所成的角,设正方体的棱长为1,则,.所以. （山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）

2、试题）已知二面角为,为线段的中点,则直线与平面所成角的大小为_.【答案】 三、解答题 （山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）在如图的多面体中,平面,是的中点.() 求证:平面; () 求证:;() 求二面角的余弦值. 【答案】()证明:, . 又,是的中点, , 四边形是平行四边形, 平面,平面, 平面 () 解法1 解法2 平面,平面,平面, 又, 两两垂直 以点E为坐标原点,分别为轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得,(0,0,2),(2,0,0), (2,4,0),(0,3,0),(0,2,2), (2,2,0) （2013届山东省高考压轴卷理科数学）如图,在四棱锥P

3、-ABCD中,底面是边长为2 的菱形,且BAD=120,且PA平面ABCD,PA=2 ,M,N分别为PB,PD的中点.(1)证明:MN平面ABCD;(2) 过点A作AQPC,垂足为点Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值. 【答案】【解析】(1)连接BD.M,N分别为PB,PD的中点,在PBD中,MNBD. 又MN平面ABCD,MN平面ABCD. (2)如图建系:A(0,0,0),P(0,0,2 ),M,N(,0,),C(,3,0). 设Q(x,y,z),则C=(x-,y-3,z),C=(-,-3,2 ). C=C=(-,-3,2 ),Q(-,3-3,2 ). 由ACAC=0,得=.即:Q.

4、 对于平面AMN:设其法向量为n=(a,b,c). A=,A=(,0,). 则 n=. 同理对于平面QMN,得其法向量为v=. 记所求二面角A-MN-Q的平面角大小为,则cos=. 所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为. （山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）三棱锥,底面为边长为的正三角形,平面平面,为上一点,为底面三角形中心. ()求证面;()求证:;()设为中点,求二面角的余弦值.PDCBAO【答案】证明:()连结交于点,连结. 为正三角形的中心, PDCBAOEM且为中点.又, , 平面,平面 面 (),且为中点, , 又平面平面, 平面, 由()知, 平面, 连结,则

5、,又, 平面, ()由()()知,两两互相垂直,且为中点,所以分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图,则 设平面的法向量为,则, 令,则 由()知平面,为平面的法向量, 由图可知,二面角的余弦值为 （山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）如图在多面体ABCDEF中,ABCD为正方形,ED平面ABCD,FB/ED,且AD=DE=2BF=2.(I)求证:;(II)求二面角CEFD的大小;(III)设G为CD上一动点,试确定G的位置使得BG/平面CEF,并证明你的结论.【答案】 （山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知四棱锥的底面是直角梯形, ,是的中点(

6、1)证明:;(2)求二面角的大小.（第20题）【答案】证明:取的中点为连接 又 (2)建系:以DA,DB,DP分别为x轴、y轴、z轴, 则 令 x=1,则 又因为 二面角为 （2011年高考（山东理）在如图所示的几何体中,四边形为平行四边形, 平面,(1)若是线段的中点,求证:平面;(2)若,求二面角的大小.ABCDEFGM【答案】几何法: 证明:(),可知延长交于点,而, 则平面平面,即平面平面, 于是三线共点,若是线段的中点,而, 则,四边形为平行四边形,则,又平面, 所以平面; ()由平面,作,则平面,作,连接,则,于是为二面角的平面角. 若,设,则,为的中点, ,在中, 则,即二面角的

7、大小为. 坐标法:()证明:由四边形为平行四边形, ,平面,可得以点为坐标原点,所在直线分别为建立直角坐标系, 设,则,. 由可得, 由可得, ,则,而平面, 所以平面; ()()若,设,则, ,则, ,设分别为平面与平面的法向量. 则,令,则,; ,令,则,. 于是,则, 即二面角的大小为. （山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形BCD=60,AB=PB=PD=2,PC=,AC与BD交于O点,H为OC的中点.(1)求证PH平面ABCD;(2)求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的余弦值.【答案】 （山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理

8、科数学）如图所示,在棱锥中, 平面,底面为直角梯形,且/,()求证:()求与平面所成角的正弦值.【答案】解:()在直角梯形ABCD中,AC=, 取AB中点E,连接CE, 则四边形AECD为正方形, AE=CE=2,又BE=, 则为等腰直角三角形, , 又平面ABCD,平面, ,由得平面PAC, 平面PAC,所以 ()以A为坐标原点,AD,AB,AP分别为轴, 建立如图所示的坐标系.则,B(0,4,0), C(2,2,0), 由()知即为平面PAC的一个法向量, , 即PB与平面PAC所成角的正弦值为 （山东济南外国语学校20122013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科）如图,四棱锥P-

9、ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,点E在线段AD上,且CEAB.、求证:CE平面PAD;、若PA=AB=1,AD=3,CD=,CDA=45, 求四棱锥P-ABCD的体积.、在满足()的条件下求二面角B-PC-D的余弦值的绝对值.【答案】【解析】(1)证明:因为PA平面ABCD,CE平面ABCD,所以PACE, 因为ABAD,CEAB,所以CEAD,又PAAD=A,所以CE平面PAD (2)解:由(1)可知CEAD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD. 又因为AB=CE=1,ABCE,所以四边形ABCE为矩形,所以 =,又PA平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等

10、于 (3)建立以A为原点,AB,AD,AP为x,y,z轴的空间坐标系,取平面PBC的法向量为n1=(1,01),取平面PCD的法向量为n2=(1,1,3), 所以二面角的余弦值的绝对值是 （山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）如图,四边形ABCD为正方形,.(1)证明:平面; (2)求二面角的余弦值. 【答案】解:如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz. (1)依题意有, 则. 所以 即 故. 又所以平面 (2)依题意有. 设是平面PBC的法向量,则 因此可取. 设m是平面PBQ的法向量,则 可取所以. 故二面

11、角Q-BP-C的余弦值为 （山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）四棱锥底面是平行四边形,面面,分别为的中点.(1)求证: (2)求证:(3)求二面角的余弦值【答案】【解析】(1) ,所以 G (2) - 所以 - 由 可知, (3)取 的中点, 是二面角 的平面角 由 (2)知 N 即二面角的余弦值为 解法二 (1) 所以 zxy建系令 , 因为平面PAB的法向量 (2) (3) 设平面PAD的法向量为 , 令所以 平面PAB的法向量 ,即二面角的余弦值为 （山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）四棱柱ABCD-A1BlClD1的直观图和三视图如下图所示,其

12、正(主)视图、侧(左)视图为矩形,俯视图为直角梯形. (I)求证:BC平面A1AC;()若异面直线A1D与BC所成的角为60o,求二面角A-A1C-D的大小.【答案】 (2)由(1)知AD,AB,AA1两两垂直,分别以AD,AB,AA1为轴建立空间直角坐标系 由(1)知 由图可知二面角为锐角 所以二面角为. （山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）如图,ABCD为边长2的菱形,BAD=60,对角线交于点O,沿BD将BCD折起,使二面角CBDA为120,P为折起后AC上一点,且AP=2PC,Q为三角形ABD的中心.(1)求证:PQ平面BCD; (2)求证PQ平面ABD;(3)求

13、BP与平面BCD所成角的正弦值.【答案】 （山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知正三棱柱中,AB =2,点D为AC的中点,点E在线段上(I)当时,求证;()是否存在点E,使二面角D-BE-A等于若存在求AE的长;若不存在,请说明理由【答案】 （2010年高考（山东理）如图,在五棱锥PABCDE中,PA平面ABCDE,ABCD,ACED,AEBC, ABC=45,AB=2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.()求证:平面PCD平面PAC;()求直线PB与平面PCD所成角的大小;()求四棱锥PACDE的体积.【答案】【解析】()证明:因为ABC=45,AB=2,BC=4

14、,所以在中,由余弦定理得:,解得, 所以,即,又PA平面ABCDE,所以PA, 又PA,所以,又ABCD,所以,又因为 ,所以平面PCD平面PAC; ()由()知平面PCD平面PAC,所以在平面PAC内,过点A作于H,则 ,又ABCD,AB平面内,所以AB平行于平面,所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离,过点B作BO平面于点O,则为所求角,且,又容易求得,所以,即=,所以直线PB与平面PCD所成角的大小为; ()由()知,所以,又ACED,所以四边形ACDE是直角梯形,又容易求得,AC=,所以四边形ACDE的面积为,所以 四棱锥PACDE的体积为=. 命题意图:本题考查了空间几何体的线面与

15、面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积计算问题,考查了同学们的空间想象能力以衣空间思维能力. （山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD.底面ABCD为直角梯形,点E在棱PA上,且PE=2EA.(I)求证:平面PBD; (II)求二面角ABED的余弦值.【答案】 （2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图,四边形ABCD为矩形,PD平面ABCD,PD/QA,QA=AD=PD(I)求证:平面PQC平面DCQ;()若二面角Q-BP-C的余弦值为,求的值【答案】 （山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）(本小题满分12分)如

16、图所示的几何体中,ABCD是等腰梯形,AB/CD,ACFE是矩形,平面ACFE平面ABCD,AD=DC=CB=CF=a,ACB=.(1)若/平面BDF,求EM的长度;(2)求二面角BEFC的平面角的大小.【答案】 （山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）如图,正方形ABCD的边长为2,将四条边对应的第腰三角形折起构成一个正四棱锥P-ABCD.(1)当Q为PC为中点时,证明PA/平面BDQ;(2)当等腰三角形的腰长为多少时,异面直线PA与BC所成的角为60o;(3)当侧棱与底面所成的角为60o时,求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值.【答案】 （山东省青岛市2013届高三第一次模

17、拟考试理科数学）如图,几何体中,四边形为菱形,面面,、都垂直于面,且,为的中点,为的中点.()求证:为等腰直角三角形;()求二面角的余弦值.【答案】解:(I)连接,交于,因为四边形为菱形,所以 因为、都垂直于面,又面面, 所以四边形为平行四边形 ,则 因为、都垂直于面,则 所以 所以为等腰直角三角形 (II)取的中点,因为分别为的中点,所以,以分别为轴建立坐标系 则 所以 设面的法向量为, 则,即且 令,则 设面的法向量为, 则即且 令,则 则,则二面角的余弦值为 （山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科）如图1,在梯形中,将四边形沿折起,使平面垂直平面,如图2,连结.()若为中点,求

18、证:平面;()若,且与平面所成角的正弦值为,试确定点的位置.【答案】证明:()取中点,连接, 分别是的中点, 且 又且 且四边形为平行四边形 ,又平面平面平面 ()平面平面且交于 平面 由已知,分别以所在直线 为轴,建立空间直角坐标系 则 设平面的一个法向量为, 则令, 则可得 与平面所成角的正弦值 为,所以 设,由得 , ,整理得, 解得或, 所以点位于的中点或位于靠近的六等分点上 （山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）如图,在三棱锥PABC中, APB=90,PAB=60, AB=BC=CA=PC.()求证:平面APB平面ABC;()求二面角BAPC的余弦值.BACP【答案

19、】解()过P作POAB,垂足为O,连结OC. 设AB=2,则 , 在AOC中, 由余弦定理得 在POC中, 则, POOC. 又,PO平面ABC 又平面APB, 平面APB平面ABC. OBPxzyAC ()以O为坐标原点,OB、OP所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直线坐标系,则 . 设平面APC的一个法向量为则 令则. 而平面APB的一个法向量为 设二面角B-AP-C的平面角为,易知为锐角, 则. 即二面角B-AP-C的余弦值为. （山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）(本小题满分1 )如图,四边形ABCD中,ADBC,AD =6,BC =4,AB =2,点E,F分别在B

20、C,AD上,且E为BC中点,EFAB.现将四边形ABEF沿EF折起,使二面角等于.( I )设这P为AD的中点,求证:CP平面ABEF;()求直线AF与平面ACD所成角的正弦值.【答案】()取的中点,连、, 则,又, 所以,即四边形为平行四边形, 所以,又平面, 故平面. ()由题知折叠后仍有,则, 为二面角的平面角, 即, 过作, 作交于,则, 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系, 在中,则, , 设平面的一个法向量则, 令 则, 直线与平面所成角的正弦值为 （山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知四棱锥的底面是等腰梯形,且分别是的中点.(1)求证:; (2)求二面角的余弦值

21、. 第18题图【答案】证明:(1)分别是的中点. 是的中位线,- 由已知可知 -5分 (2)以所在直线为x轴,y轴,z轴,建系 由题设, 设平面的法向量为 可得, 平面的法向量为 设二面角为, （山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）如图,在四棱锥中,底面为直角,分别为的中点.()求证:平面;()设,且二面角的大小为,求此时的值.【答案】 （山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,AB/EF,平面.(1)求证:.(2)求钝二面角B-FC-D的大小.【答案】解:(1) (2)分别以AD,AB,AE所

22、在直线为x轴,y轴,z轴, 建立的空间直角坐标系, 则A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、F(0,1,1) （山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）如图,在直角梯形ABCD中,AP/BC,是AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将沿折起,使得平面ABCD.(I)求证:AP/平面EFG;(II)求二面角G-EF-D的大小.【答案】解:() 证明: 由题知,直线两两垂直,以为原点,以 为方向向量建立空间直角坐标系,如图所示. 则. 所以 设平面的法向量为, 取 , 又平面, /平面 ()由已知底面ABCD是正方

23、形,.又面ABCD, .又, 平面PCD,向量是平面PCD的一个法向量, = 又由()知平面EFG的法向量为, 结合图知二面角的平面角为 （山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）如图1, 在直角梯形中, , ,为线段的中点. 将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值. 【答案】解析:(1)在图1中, 可得, 从而, 故. 取中点连结, 则, 又面面, 面面, 面, 从而平面. ,又, . 平面. (2)建立空间直角坐标系如图所示, 则, , , . 设为面的法向量,则即, 解得. 令, 可得. 又为面的一个法向量,. 二面角的余弦值为

24、. (法二)如图,取的中点,的中点,连结. 易知,又,又,. 又为的中位线,因,且都在面内,故,故即为二面角的平面角. 在中,易知; 在中,易知,. 在中. 故. 二面角的余弦值为. （山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）一多面体的三视图和直观图如下图所示,它的正视图为直角三角形,侧视图为矩形,俯视图为直角梯形(尺寸如图所示).(1)求证:平面;(2)当时,求二面角的余弦值.【答案】 （山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模）如图,在直角梯形ABCP中,AP/BC,APAB,AB=BC=AP=2,D是AP的中点,E,F,G分别为PC、PD、

25、CB的中点,将PCD沿CD折起,使得PD平面ABCD. (1) 求证:平面PCD平面PAD;(2) 求二面角G-EF-D的大小;(3) 求三棱椎D-PAB的体积.【答案】解 (1) 证明:方法一: PD平面ABCD PDCD CDAD CD平面PAD CD平面PCD 平面PCD平面PAD 方法二:略(向量法) (2) 如图以D为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz. 则有关点及向量的坐标为: G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1) =(0,-1,0),=(1,1,-1) 设平面EFG的法向量为=(x,y,z) 第19题图 取=(1,0,1) 平面PCD的一个法向量, =

26、(1,0,0) cos 结合图知二面角G-EF-D的平面角为45 PD= （山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理）如图,在多面体中,平面平面, 平面,.且 , .()求证:平面;()求证:平面;()求二面角的余弦值.ABCDEGF【答案】解:()平面平面,平面平面,平面平面, 又四边形为平行四边形, 面平面 ()设的中点为,连接,则, ,四边形是平行四边形 ,由()知,为平行四边形, 四边形是平行四边形, 即,又平面,故 平面; ()由已知,两两垂直,建立如图的空间坐标系,则 设平面的法向量为, 则, 令,则, 而平面的法向量 = 由图形可知,二面角的余弦值- （山东省泰安市20

27、13届高三第二次模拟考试数学（理）试题）在如图的多面体中,平面ABE, (I)求证:BE/平面ACF;(II)求证:;(III)求二面角CDFE的余弦值.【答案】 （山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）已知平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是线段AD的中点.沿BD将BCD翻折到,使得平面平面ABD.()求证:平面ABD;()求直线与平面所成角的正弦值;()求二面角的余弦值.ABDEC【答案】ABDEC 证明:()平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8, 沿直线BD将BCD翻折成 可知CD=6,BC=BC=10,BD=8, 即, 故

28、平面平面,平面平面=,平面, 平面 ()由()知平面ABD,且, 如图,以D为原点,建立空间直角坐标系. ABDECxyz 则,. E是线段AD的中点, ,. 在平面中, 设平面法向量为, ,即, 令,得,故 设直线与平面所成角为,则 直线与平面所成角的正弦值为 ()由()知平面的法向量为, 而平面的法向量为, , 因为二面角为锐角, 所以二面角的余弦值为. （山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）如图5,O的直径AB=4,点C、D为O上两点,且CA B=45o,DAB=60o,F为的中点.沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图6).(1)求证:OF/平面ACD;(2)

29、求二面角C- AD-B的余弦值;(3)在上是找一点G,使得FG平面ACD,试指出点G的位置,并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值.【答案】(法一):证明:(1)如右图,连接, , 又为的中点, . 平面,平面, 平面 解:(2)过作于,连. ,平面平面. 平面. 又平面, , 平面, 则是二面角的平面角 , . 由平面,平面,得为直角三角形, ,. = (3)设在上存在点,使得/平面, 平面, 平面平面, ,. 因此,在上存在点,使得/平面,且点为的中点 连,设与平面所成角为,点到平面的距离为. =,=, 由=,得=,得 在中,由余弦定理得=,13分 = (法二):证明:(1)如图,以所在的

30、直线为轴,以所在的直线为轴,以为原点,作空间直角坐标系,则,. , 点为的中点,点的坐标为,. ,即. 平面,平面, 平面 解:(2),点的坐标,. 设二面角的大小为,为平面的一个法向量. 由 有 即 取,解得,. = 取平面的一个法向量=, (3)设在上存在点,使得/平面, 平面, 平面平面,则有. 设,. 又,解得(舍去). ,则为的中点. 因此,在上存在点,使得/平面,且点为的中点 设直线与平面所成角为, , 根据(2)的计算为平面的一个法向量, . 因此,直线与平面所成角的正弦值为 （山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理）如图,五面体中,四边形ABCD是矩形,DA面ABEF

31、,且DA=1,AB/EF,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点.(I)求证:PQ/平面BCE; (II)求证:AM平面ADF;(III)求二面角,ADFE的余弦值.【答案】 （山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）如图1,平面四边形ABCD关于直线AC对称,折起(如图2),使二面角A-BD-C的余弦值等于.对于图2,完成以下各小题:(1)求A,C两点间的距离;(2)证明:AC平面BCD;(3)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.【答案】 （山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知四边形是菱形,四边形是矩形 ,平面平面,分别是的中点.(1)求证

32、: 平面平面(2)若平面与平面所成的角为,求直线与平面所成的角的正弦值20题图【答案】解: (1)分别是的中点 所以- 连接与交与 ,因为四边形是菱形,所以是的中点 连,是三角形的中位线 - -3 分 由知,平面平面 (2)平面平面,所以平面 取的中点,平面, 建系 设, 则 设平面的法向量为 ,所以 平面的法向量 ,所以 所以,设直线与平面所成的角为 （山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）如图,已知矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD的中点,沿AO将三角形AOD折起,使.()求证:平面AODABCO;()求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.DCABOABCDO第20题图【

33、答案】()在矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD中点, AOD,BOC为等腰直角三角形, AOB=90,即OBOA. 取AO中点H,连结DH,BH,则OH=DH=, 在RtBOH中,BH2=BO2+OH2=, 在BHD中,DH2+BH2=又DB2=3, DH2+BH2=DB2,DHBH. 又DHOA, OABH=H DH面ABCO, 而DH平面AOD, 平面AOD平面ABCO. ()解:分别以直线OA,OB为x轴和y轴,O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,. HABCDOyxz设平面ABD的一个法向量为 由得 即令则, 取 设为直线BC与平面ABD所成的角, 则 即直线BC与

34、平面ABD所成角的正弦值为 （山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB=60,FC平面ABCD,AEBD,CB=CD=CF.(1)求证:BD平面AED;(2)求二面角F-BD-C的余弦值.【答案】(2012山东高考理18) 解析: (1)在等腰梯形ABCD中,ABCD,DAB=60, 又CB=CD, ,即: BDAD 又BD AE,平面AED,且, 故BD平面AED (2)法:由(1)可知BDAD ,则,建立如图所示的空间直角坐标系, 设,则, , 设向量为平面的法向量,则,即, 取,则,则为平面的一个法向量 易见

35、向量为平面的一个法向量 , 而二面角F-BD-C的平面角为锐角,则二面角F-BD-C的余弦值为.12分 法:取BD的中点G,连CG,FG,可证为二面角F-BD-C的平面角,在RTFCG中求解即可. （山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）在四棱锥pABCD中,AB/CD,ABAD,AB=4,AD=,CD=2,PA平面ABCD,PA=4.(I)求BD平面PAC;()求二面角A-PC-B的余弦值;(III)设点Q为线段PB上一点,且直线QC于平面PAC所成角的正弦值为,求的值.【答案】 （山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）在如图所示的几何体中,是边长

36、为2的正三角形,平面ABC,平面平面ABC,BD=CD,且(I)若AE=2,求证:AC、平面BDE;(II)若二面角ADEB为60,求AE的长.【答案】解: ()分别取 的中点,连接, BEDCAMNP 则,且 因为,为的中点, 所以, 又因为平面平面, 所以平面 又平面, 所以 所以,且,因此四边形为平行四边形, 所以,所以,又平面,平面, 所以平面 (或者建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,计算即证) MBEDCAN ()解法一: 过作的延长线于,连接. 因为, 所以平面,平面 则有. 所以平面,平面, 所以. 所以为二面角的平面角, 即 在中,则 ,. 在中,. 设,则,所以,又 在中

37、,即= 解得,所以 解法二: BEDCAMxyz 由()知平面, 建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则, , ,. 设平面的法向量 则 所以 令, 所以 又平面的法向量 所以 解得, 即 （山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）如图1,的直径AB=4,点C、D为上两点,且CAB=45,DAB=60,F为弧BC的中点.沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直,如图2.(I)求证:OF平面ACD;()求二面角CADB的余弦值;()在弧BD上是否存在点G,使得FG平面ACD?若存在,试指出点G的位置;若不存在,请说明理由.【答案】(方法一):证明:()如右图,连接, , 又为弧的中

38、点,. 平面,平面, 平面. 解:()过作于,连. ,平面平面. 平面.又平面, , 平面,则是二面角的平面角., . 由平面,平面,得为直角三角形,= ()取弧的中点,连结、,则 平面,平面平面/平面. 因此,在弧上存在点,使得/平面,且点为弧的中点 (方法二):证明:()如图,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,以为原点,建立空间直角坐标系 则 , 点为弧的中点,点的坐标为,. 解:(),点的坐标,. 设二面角的大小为,为平面的一个法向量. 由 有 即 取,解得,. = 取平面的一个法向量=, ()设在弧上存在点, ,由()知平面的一个法向量为=. = 又因为 由两式联立解得, ,因为,所

39、以,则为弧的中点,因此,在弧上存在点,使得/平面,且点为弧的中点 （山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE/CF,BCCF,EF=2,BE=3,CF=4.(1)求证:EF平面DCE;(2)当AB的长为何值时,二面角的平面角的大小为.【答案】【解析】 (1)由题易知在BCE中,BE=3, 所以, 又在FCE中,所以 EFCE, 因为平面ABCD平面EFCB,DCBC,所以DC平面EFCB, 又EF平面EFCB,所以DCEE, 又DCEC=C,所以EF平面DCE. (2) 法一过点B作BHEF交FE的延长线于点H,连接AH. 由平面AB

40、CD平面BEFC, 又平面ABCD平面BEFC=BC,ABBC, 所以AB平面BEFC,从而ABEF, 又因为BHEF,BHAB=B,所以EF平面ABH. 又AH平面ABH,所以EFAH, 所以AHB为二面角的平面角. 在RtCEF中,因为EF=2,CF=4, 所以CFE=,因为BECF,所以BEH=CFE=. 又在RtBHE中,BE=3,所以, 由二面角的平面角的大小为,得AHB=, 在RtABH中,解得. 所以当时,二面角的平面角的大小为. (2)法二 由题知,平面ABCD平面BEFC,又平面ABCD平面BEFC=BC,DCBC, 则DC平面BEFC.又CFBC,则BC,CD,CF两两垂直

41、,以点C为坐标原点,CB,CF和CD所在直线分别作为轴,轴和轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则, 从而,. 设平面AEF的法向量为, 由,0得, 取,则, 即平面AEF的二个法向量为. 不妨设平面EFCB的法向量为, 由条件,得,解得. 所以当时,二面角的平面角的大小为. （2013山东高考数学（理）如图所示,在三棱锥中,平面, 分别是的中点,与交于点,与交于点,连接.()求证:; ()求二面角的余弦值.【答案】解:()证明:因为 分别是的中点, 所以,所以, 又平面,平面, 所以平面, 又平面,平面平面, 所以, 又, 所以. ()解法一:在中, , 所以,即,因为平面,所以, 又,

42、所以平面,由()知, 所以平面,又平面,所以,同理可得, 所以为二面角的平面角,设,连接, 在中,由勾股定理得, 在中,由勾股定理得, 又为的重心,所以 同理 , 在中,由余弦定理得, 即二面角的余弦值为. 解法二:在中, 所以,又平面,所以两两垂直, 以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,所以, 设平面的一个法向量为, 由, 得 取,得. 设平面的一个法向量为 由, 得 取,得.所以 因为二面角为钝角,所以二面角的余弦值为. （山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）如图,已知多面体ABCDE中,AB平面ACD,DE平面ACD,AC=A

43、D=CD=DE=2,AB=1,F为CD的中点.()求证:AF平面CDE;()求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小.【答案】解:()DE平面ACD,AF平面ACD,DEAF. 又AC=AD,F为CD中点,AFCD, 因CDDE=D,AF平面CDE ()取CE的中点Q,连接FQ,因为F为CD的中点,则FQDE,故DE平面ACD,FQ平面ACD,又由()可知FD,FQ,FA两两垂直,以O为坐标原点,建立如图坐标系, 则F(0,0,0),C(,0,0),A(0,0,),B(0,1,),E(1,2,0). 设面BCE的法向量,则, 即,取 又平面ACD的一个法向量为,则 面ACD和面BCE所成锐二面角

44、的大小为45 （山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）如图,在梯形ABCD中,ABCD,AD=DC=CB=1,ABC=60o,四边形ACFE为矩形,平面ACFE平面ABCD,CF=1.(1)求证:BC平面ACFE; (2)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为90o),试求cos的取值范围.【答案】 （山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知在四棱锥中,底面是矩形,且,平面,、分别是线段、的中点.(1)证明:;(2)判断并说明上是否存在点,使得平面;(3)若与平面所成的角为,求二面角的余弦值.【答案】解:() 平面, ,建立如图

45、所示的空间直角坐标系, 则 不妨令, , 即 ()设平面的法向量为, 由,得,令,解得:. 设点坐标为,则, 要使平面,只需,即, 得,从而满足的点即为所求 (),是平面的法向量,易得, 又平面,是与平面所成的角, 得,平面的法向量为 , 故所求二面角的余弦值为 （山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,(1)当=时,求证AB1丄平面A1BD;(2)当二面角AA1DB的大小为时,求实数的值.【答案】解:()取的中点为,连结 在正三棱柱中面面,为正三角形,所以, 故平面. 以为坐标原点建立如图空间直角坐标系,2分 则,. 所以, 因为, 所以,又, 所以平面. ()由得,所以, 设平面的法向量,平面的法向量, 由得平面的一个法向量为, 同理可得平面的一个法向量, 由,解得,为所求.12分 59