高等数学1(上册)试题答案及复习要点汇总(完整版)

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1、蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆

2、莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀

3、膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅

4、莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿

5、芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃

6、蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇

7、芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄

8、膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿

9、莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃

10、节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇

11、蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁

12、芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆

13、膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀

14、莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇

15、膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁

16、蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅

17、芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀

18、腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄

19、莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇 承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上

20、处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。专业 班级 学号 学生签名： 高等数学上册试题答案及复习要点汇总（完整版）闭卷（） 题号一二三四五总分123456712分值10157777777998阅卷人(全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分100分，考试时间120分钟。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。得分评阅人年 一、填空题(每题2分，共10分) 得分评阅人二、选择题(每题 3分，共15分) 三、解答题(每题 7分，共49分)得分评阅人 解 得分评阅人 解 得分评阅人 解 两边取对数得 得分评阅人 解 得分评阅人 解 得分评阅人 解 得分评阅人 解 四、综

21、合题(每题 9分，共18分)得分评阅人 解 得分评阅人 解 得分评阅人 五、证明题(8分) 证 证 大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. .（A） （B）（C） （D）不可导.2. . （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小； （D）是比高阶的无穷小. 3. 若，其中在区间上二阶可导且，则（ ）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。4.（A） （B）（C） （D）.二、填空题（本大题有4小题，每

22、小题4分，共16分）5. .6. .7. .8. .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数由方程确定，求以及.10.11.12. 设函数连续，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.13. 求微分方程满足的解. 四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，

23、每小题4分，共8分）16. 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.17. 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. . 6.7. . 8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 解：方程两边求导 ，10. 解：11. 解：12. 解：由，知。 ，在处连续。13. 解： ，四、 解答题（本大题10分）14. 解：由已知且， 将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为

24、：五、解答题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16. 证明：故有： 证毕。17.证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且由题设，有，有，由积分中值定理，存在，使即综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在和，使及，即. 高等数学（上）试题及答案一、 单项选择题（每小题3分，本

25、题共15分）1、若函数，则（ ）A、0 B、 C、1 D、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）A. B. C. D. 3、满足方程的是函数的（ ） A极大值点 B极小值点 C驻点 D间断点4、下列无穷积分收敛的是（ ）A、 B、 C、 D、5、设空间三点的坐标分别为M（1，1，1）、A（2，2，1）、B（2，1，2）。则= A、 B、 C、 D、二、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、。2、当k 时，在处连续3、设,则4、曲线在点（0，1）处的切线方程是 5、若，为常数，则 。三、 计算题（每小题7分，本题共56分）1、求极限 。2、求极限 3、求极限 4、设，求5、设由已知，求6、

26、求不定积分 7、求不定积分 8、设， 求 四、 应用题（本题7分）求曲线与所围成图形的面积A以及A饶轴旋转所产生的旋转体的体积。五、 证明题（本题7分） 若在0,1上连续，在(0,1)内可导，且，证明：在(0,1)内至少有一点，使。参考答案一。填空题（每小题3分，本题共15分）1、 2、k =1 3、 4、 5、二单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、D 2、B 3、C 4、B 5、A三计算题（本题共56分，每小题7分）1.解： 7分2.解 ： 7分3、解： 7分4、解： .4分 .7分5、解： （4分） （7分）6、解： （7分）7、 解： .2分. .3分 5分 7分8、解： 2分 3

27、分 5分 6分 7分四 应用题（本题7分）解：曲线与的交点为（1，1）， 1分于是曲线与所围成图形的面积A为 4分A绕轴旋转所产生的旋转体的体积为： 7分五、证明题（本题7分） 证明： 设， . 2分显然在上连续，在内可导，且 ，.由零点定理知存在，使. . 4分由，在上应用罗尔定理知，至少存在一点，使，即 7分第一章 函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。1、 函 数一、 集合、常量与变量1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M

28、的一个元素，就记aM（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记aM或aM（读a不属于M）；集合有时也简称为集。注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。2：集合的表示方法： 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。 4：集合间的基本关系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有，必有，就称A为B的子集，记为,或(读B包含A)。 显然：. 若,同时,就称A、B相等,记为A=B。 5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：1,2,2,3=1,2,3。 6：不含任何元素的集

29、称为空集,记为,如：=,=,空集是任何集合的子集,即。 7：区间：所有大于a、小于b的实数组成一个集合,称之为开区间,记为(a,b),即(a,b)= 。 同理：a,b=为闭区间，和分别称为左闭右开、左开右闭的区间，统称为半开区间。以上均成为有限区间，a、b分别称为左、右端点。对无穷区间有：，在不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用I表示。 8：邻域：设a和为两个实数，且0.集合称为点a的邻域，记为,a为该邻域的中心，为该邻域的半径，事实上，。同理：我们称为a的去心邻域，或a的空心邻域。 9：集合的内容很多，其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。2、常量与变量：在自然科学中，我们会

30、遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量。注1：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。 2：常量一般用a,b,c等字母表示，变量用x,y,u,t等字母表示，常量a为一定值，在数轴上可用定点表示，变量x代表

31、该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：表示可代表中的任一个数。二、 函数的概念【例】正方形的边长与面积之间的关系为：，显然当确定了，也就确定了。这就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相互联系、相互约束着。定义：设和为两个变量，为一个给定的数集，如果对每一个，按照一定的法则变量总有确定的数值与之对应，就称为的函数，记为.数集称为该函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。 当取数值时，依法则的对应值称为函数在时的函数值。所有函数值组成的集合称为函数的值域。注 1：函数通常还可用等表示。 2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全

32、体。【例1】 的定义域为，值域为。【例2】 的定义域为，值域为。【例3】 的定义域为，值域为。【例4】 的定义域为，的定义域为，从而显然。 3、若对每一个，只有唯一的一个与之对应，就称函数为单值函数；若有不止一个与之对应，就称为多值函数。如：等。以后若不特别声明，只讨论单值函数。 4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：当自变量在上取值，其函数值为；当取0时，；当在上取值时，其函数值为。（这种函数称为分段函数，在以后经常遇见，希望注意！）尽管有几个不同的算式，但它们合起来只表示一个函数！ 5、对中任一

33、固定的，依照法则有一个数与之对应，以为横坐标，为纵坐标在坐标平面上就确定了一个点。当取遍中的每一数时，便得到一个点集，我们称之为函数的图形。换言之，当在中变动时，点的轨迹就是的图形。【例5】 书上的几个例子。（同学们自己看）【例6】 例3的图形如下图 三、 函数的几种特性1、 函数的有界性：设在上有定义，若对，使得：，就称在上有界，否则称为无界。注：1、若对，使得，就称在上有上(下)界。在上有界在上同时有上界和下界。2、在上无界也可这样说：对，总，使得。【例7】 上段例1、3、4中的函数是有界的；例2中的函数是无界的，但有下界。2、函数的单调性：设函数在区间上有定义，若对，当时总有：（1），就

34、称在上单调递增，特别当严格不等式成立时，就称在上严格单调递增。（2），就称在上单调递减，特别当严格不等式成立时，就称在上严格单调递减。注：1、此处的定义与书上有区别，希望注意！2、 2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。3、 3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。【例8】 符号函数和取整函数均为单增函数，但不严格单调。【例9】 在上是严格单减函数。【例10】 例3中的函数在定义域上不是单调的，但在上是严格单减的，在上是严格单增的。3、函数的奇偶性：设函数的定义域为对称于原点的数集，即若，有，(1) 若对，有恒成立，就称为偶函数。(2) 若对，有恒成立，就称为奇函数。【例11】

35、 ，,是偶函数，是奇函数。 ，是非奇非偶函数。【例11】 是奇函数。注：1、偶函数的图形是关于轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。2、若是奇函数，且，则必有。3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的积也为偶函数；一奇一偶的积为奇函数。4、周期性：设函数的定义域为，如果，使得对，有，且恒成立，就称为周期函数，称为的周期。【例12】 分别为周期为的周期函数，为周期为1的函数。注1：若为的周期，由定义知也都是的周期，故周期函数有无穷多个周期，通常说的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（为什么？）例如：，设有最小正周期。 2：周期函数在一每

36、个周期（为任意数，为任意常数）上，有相同的形状。四、 反函数 设的定义域为，值域为，因此，对，必，使得，这样的可能不止一个，若将当作自变量，当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数，称之为函数的反函数，而叫做直接函数。注1：反函数的定义域为，值域为； 2：由上讨论知，即使为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作研究； 3：在习惯上往往用表示自变量，表示因变量，因此将中的与对换一下，的反函数就变成，事实上函数与是表示同一函数的，因为，表示函数关系的字母没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。所以说：若的反函数为，那么也是的反函数，且后者较常用； 4：反函数的图形与直接函数的

37、图形是对称于（证明很简单，大家自己看书）； 5：有些书上，对反函数的定义与此不同，希加与之区别。【例13】 函数的反函数分别为：或分别为。1、2 初等函数一、 幂函数形如（为常数）的函数叫做幂函数。其定义域较为复杂，下作一些简单的讨论：（1） 当为非负整数时，定义域为；（2） 当为负整数时，定义域为；（3） 当为其它有理数时，要视情况而定。【例1】 的定义域为； 的定义域为； 的定义域为。（4） 当为无理数时，规定其定义域为，其图形也很复杂，但不论取何值，图形总过（1，1）点，当0时，还过（0，0）点。二、 指数函数与对数函数1、 指数函数：形如的函数称为指数函数，其定义域为，其图形总在轴上方

38、，且过（0，1）点，（1） 当时，是单调增加的；（2） 当时，是单调减少的；以后我们经常遇到这样一个指数函数的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特别地，与关于轴对称。2、对数函数：指数函数的反函数，记为为常数，,称为对数函数，其定义域为，由前面反函数的概念知：的图形和的图形是关于对称的，从此，不难得的图形，的图形总在轴右方，且过（1，0）点（1） 当时，单调递增，且在（0，1）为负，上为正；（2） 当1时，单调递减，且在（0，1）为正， 上为负；特别当取时，函数记为，称为自然对数函数。三、 三角函数与反三角函数1、 三角函数三角函数主要是：正弦函数：余弦函数：正切函数：余切函数：正弦函数和余弦

39、函数均为周期为的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个：正割和余割，其图形在此不做讨论了。2、 反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：反正弦函数：反余弦函数：反正切函数：反余切函数：显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下：将限制在上，得一单值函数，记为，它就是所取主值函数，叫做主值区间，显然，同理：将限制在上，得将限制在上，得将限制在上，得从图中不难看出和是单调递增的，和是单调递减的。四、 复合函数和初等函数设，定义域为，定义域为，值域为，且，这样对于，由可算出

40、函数值，所以，由又可算出其函数值，因此对于，有确定的值与之对应，从而得一个以为自变量，为因变量的函数，我们称之为以为外函数，为内函数复合成的复合函数，记为，其中为中间变量。【例1】 就是和复合而成； 就是和复合而成。注1：并非任何两函数都可以复合的，例如：和不能复合； 和也不能复合。 2：复合可推广到三个或更多的函数上去，如：就是复合成的。3：在函数复合中，未必都有、的形式，一般为和，这时候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有和之分。2、初等函数 我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能

41、用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。【例2】 等都是初等函数。 本教材讨论的主要都是初等函数。五、 双曲函数和反双曲函数双曲正弦： 双曲余弦： 双曲正切： 反双曲正弦： 反双曲余弦： （多值函数取“+”号为主值） 反双曲正切：由于这类以后用得较少，只要掌握上面的内容就行了，其它的此外不细讲了。 1、3 数列的极限所谓的数列，通俗地讲，就是将一系列的数排成一列（排）。在数学中，我们可用这样的话来定义：定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为，由于全体自然数可以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：，这就是最常见的数列表现形式了，有时也简记为或数列。数列中的每一数称为数列的项，第项

42、称为一般项或通项。【例1】 书上用圆内接正边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列 （多边形的面积数列）【例2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构成一数列： ，通项为。【例3】 都是数列，其通项分别为。注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将依次在数轴上描出点的位置，我们能否发现点的位置的变化趋势呢？显然，是无限接近于0的；是无限增大的；的项是在1与两点跳动的，不接近于某一常数；无限接近常数1。对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题。我们来观察的情况。从图中不难发现随着的增大，无限制地接

43、近1，亦即充分大时，与1可以任意地接近，即可以任意地小，换言之，当充分大时可以小于预先给定的无论多么小的正数。例如，取，由，即从第101项开始，以后的项都满足不等式，或者说，当时，有。同理，若取，由，即从第10001项开始，以后的项都满足不等式，或说，当时，有。一般地，不论给定的正数多么小，总存在一个正整数，当时，有。这就充分体现了当越来越大时，无限接近1这一事实。这个数“1”称为当时，的极限。定义：若对（不论多么小），总自然数，使得当时都有成立，这是就称常数是数列的极限，或称数列收敛于，记为，或（）。如果数列没有极限，就说数列是发散的。【例4】证明数列收敛于1。证明：对，要使得，只须，所以取

44、，当时，有，所以。注1：是衡量与的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管具有任意性，但一经给出，就应视为不变。（另外，具有任意性，那么等也具有任意性，它们也可代替） 2：是随的变小而变大的，是的函数，即是依赖于的。在解题中，等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个，使得当时，有就行了，而不必求最小的。【例5】证明。证明：对，因为,因为 （此处不妨设，若，显然有）所以要使得，只须就行了。 即有. 所以取 ，当时，因为有 ，所以。注3：有时找比较困难，这时我们可把适当地变形、放大（千万不可缩小！），若放大后小于，那么必有。【例3】 设，证明的极限为0，即。证明：若，结论是显然

45、的，现设，对，（因为越小越好，不妨设），要使得，即，只须两边放对数后，成立就行了。因为，所以，所以 。 取，所以当时，有成立。收敛数列的有关性质：定理1：（唯一性）数列不能收敛于两个不同的极限。证明：设和为的任意两个极限，下证。 由极限的定义，对，必分别自然数，当时，有(1) 当时，有(2)令，当时，（1），（2）同时成立。现考虑： 由于均为常数，所以的极限只能有一个。注：本定理的证明方法很多，书上的证明自己看。【例4】证明数列是发散的。证明：（反证法）假设收敛，由唯一性，设，按定义，对自然数，当 时，考虑，而，总是一个“1”，一个“”，所以,所以矛盾， 所以 发散。定理2. （有界性）若数列

46、收敛，那么它一定有界，即：对于数列 ，若正数，对一切，有。证明：设，由定义对自然数当时，所以当时，令，显然对一切，。注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列是有界的（），但函数收敛。此点希望注意！1、4 函数的极限由上节知，数列是自变量取自然数时的函数，因此，数列是函数的一种特性情况。此处讲的是函数的极限，就是数列极限意义的。它主要表现在两个方面：一、 自变量任意接近于有限值，或讲趋向（于）（记）时，相应的函数值的变化情况。二、当自变量的绝对值无限增大，或讲趋向无穷大（记）时，相应的函数值的变化情况。一、 自变量趋向有限值时函数的极限与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值时的函数极限

47、可理解为：当时，（为某常数），即当时，与无限地接近，或说可任意小，亦即对于预先任意给定的正整数（不论多么小），当与充分接近时，可使得小于。用数学的语言说，即定义1：如果对（不论它多么小），总，使得对于适合不等式 的一切所对应的函数值满足：，就称常数为函数当时的极限，记为 ，或 （当时）注1：“与充分接近”在定义中表现为：，有，即。显然越小，与接近就越好，此与数列极限中的所起的作用是一样的，它也依赖于。一般地，越小，相应地也小一些。 2：定义中表示，这说明当时，有无限与在点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与值也无关）。 3：几何解释：对，作两条平行直线。由定义，对此。当，且时，有。

48、即函数的图形夹在直线之间（可能除外）。换言之：当时，。从图中也可见不唯一！【例1】 证明 （为一常数）证明：对，可取任一正数，当时，所以。【例2】 证明证明：对，要使得，只须， 所以取显然当时，有。【例3】 证明 。证明：对，因为所以 此处，即考虑附近的情况，故不妨限制为，即，。因为，要使,只须 ，即。取（从图形中解释），当时，有。定理1：（保号性）设，（i） 若，则，当时，。（ii） 若，必有。证明：（i）先证的情形。取，由定义，对此，当时，即。 当时，取，同理得证。 （ii）(反证法)若，由(i) 矛盾，所以。 当时，类似可证。注：(i)中的“”，“”不能改为“”，“”。 在(ii)中，若

49、，未必有。在函数极限的定义中，是既从的左边（即从小于的方向）趋于，也从的右边（即从大于的方向）趋于。但有时只能或需要从的某一侧趋于的极限。如分段函数及在区间的端点处等等。这样，就有必要引进单侧极限的定义：定义2：对，当时，当时，有.这时就称为当时的左右极限，记为或。 或。定理2：。【例4】，因为，所以不存在。【例5】设，求。 解：显然 因为，所以。二、自变量趋向无穷大时函数的极限定义3：设当时是有定义的，若对，当时，有，就称为当时的极限，记为或（当时）。注1：设在上有定义，若对，当时，有，就称为当时的极限，记为，或（当）（，或（当）。 2：。 3：若，就称为的图形的水平渐近线（若或，有类似的渐

50、近线）。【例6】 证明。证明：对，因为，所以要使得，只须，故取，所以当时，有，所以。 1、5 无穷小与无穷大一、无穷小 若当或时的极限为零，就称为当或时的无穷小，即有定义1：对若，使得当时，有成立，就称为当时的无穷小，记为。注1：除上两种之外，还有的情形。2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数。【例1】 因为，所以当时为无穷小；同理：，所以当时为无穷小，而，所以当时不是无穷小。定理1：当自变量在同一变化过程（或）中时：（i）具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即：为的极限

51、为无穷小。（ii）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限（证明在下一节）。二、无穷大 若当或时，就称为当或时的无穷大。定义2：若对，使得当时，有，就称当时的无穷大，记作:。注1：同理还有时的定义。 2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。 3：若或，按通常意义将，的极限不存在。【例2】 可证明，所以当时为无穷大。定理2：当自变量在同一变化过程中时，（i）若为无穷大，则为无穷小。（ii）若为无穷小，且，则为无穷大。（证明自己看） 1、6 极限运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设（证明在后

52、面）。注1：与都表示函数与，而不是常数。 2： “”下放没标自变量的变化过程，这说明对及均成立，但须同一过程。定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设有界，。证明：证明时的情况，设函数在的某邻域内有界，即，当时，有，又设为当时的无穷小，即，故对，当时，有 所以，即为无穷小；同理可证时的情形。推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若为常数，。推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设。定理3：若，则存在，且。证明： 只证，过程为，对，当 时，有，对此，当时，有，取，当时，有 所以。 其它情况类似可证。注1：本定理可推广到有限个函数的情形。 2：在本定理中，设，反之，若，其中，即证1.5定理1。3：若令，即证定理1。定理4：若，则存在，且。证明：因为，由1.5定理1（i）（均为无穷小），记，由定理2的推论1.2及定理1为无穷小，再由1.5定理1（iii）。推论1：（为常数）。推论2：（为正整数）。定理5：设，则。证明：设（为无穷小），考虑差： 其分子为无穷小，分母，我们不难证明有界（详细过程见书上）为无穷小，记