勾股定理证明综述毕业论文

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1、大学本科毕业论文勾股定理证明综述学生姓名院系名称专业名称班 级学 号指导教师完成时间2013年5月1日勾股定理证明综述 摘要：勾股定理是初等几何的一个基本定理，是学习几何过程中应用最广泛的定理之一，它对于研究和解决几何问题具有十分重要的作用。其实质是揭示直角三角形三边的数量关系。 本文主要综述了运用数形结合和出入相补原理证明勾股定理的方法，以及逻辑推理法、图形重新排列法、梯形面积法、相似三角形法、反证法等方法证明勾股定理。同时通过实例介绍了一些数学思想方法在解决勾股定理问题中的应用。从而让大家对勾股定理有一个更深入的认识。关键词：勾股定理 证明方法 数学思想 The Survey for Go

2、uGu Theorem iAbstract: GouGu theorem is a fundamental theorem of elementary geometry. It is one of the most widely used theorem in the process of geometric theorems. It plays a very important role in studying and solving geometric problems. The essence of it is to reveal the relationship of the numb

3、ers of right-angled triangle triangular.This article focuses on using number shape union and access complementarity principle to prove the GouGu theorem. Besides, logical reasoning, graphics rearrange method, trapezoidal area method, similar to the triangle method, reduction and absurdity are also u

4、sed to prove the GouGu theorem. At the same time introduces some mathematical thinkings via examples of the application of in solving the GouGu theorem. So that people can have a more in-depth understanding of the GouGu theorem.Key words: GouGu theorem The method of proof Mathematical thinking目录绪论11

5、勾股定理11.1勾股定理11.2勾股定理的历史12勾股定理的证明22.1中国数学家证明勾股定理的方法32.1.1赵爽的弦图法32.1.2刘徽“青朱出入图”32.1.3梅文鼎的证明方法42.1.4李锐的证明方法52.1.5杨作枚的证明方法62.1.6张景中的证明方法72.2外国数学家证明勾股定理的方法72.2.1毕达哥拉斯的图形重新排列证法72.2.2古希腊数学家欧几里得的逻辑推理法82.2.3美国总统加菲尔德的梯形面积法82.2.4英国数学家佩里哥尔的证明92.2.5婆什迦罗(Bhaskara)的证明102.3其他证明方法102.3.1利用反证法证明10 2.3.2利用圆的切割线定理证明112

6、.3.3作直角三角形内切圆的证明112.3.4利用多列米定理证明123勾股定理证明方法分析124勾股定理与数学思想的结合134.1勾股定理与数形结合思想134.2勾股定理与方程思想134.3勾股定理与分类与整合思想144.4勾股定理与建模思想144.5勾股定理与转化思想144.6勾股定理与类比思想15总结15 勾股定理证明综述绪论 勾股定理有着十分悠久的历史，几乎所有的文明古国（中国、埃及、巴比伦、希腊、印度等）都对此有所研究。对勾股定理的研究程度，可以用来衡量一个民族的数学文化水平。 对于勾股定理的来源，世界各国各民族有着不同的记载。自古至今，勾股定理引得古今中外无数数学家为之着迷，使得勾股

7、定理在世界数学史上树立了独特的地位。它以简洁直观，形象优美的形式，丰富深刻的内容，展现自然界的和谐美。1勾股定理1.1勾股定理欧几里得的几何原本将勾股定理表述为“在直角三角形中，直角所对边上的正方形等于夹直角两边上的正方形的和。”（这里所说的相等是拼补相等，即将直角边上的两个正方形分成若干份，可以拼接成斜边上的大正方形。）1现在我们常将此定理表述为“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，用符号语言来表述就是.1.2勾股定理的历史在早期的人类活动中，人们就已经认识到了勾股定理的一些特例。相传古埃及人就曾利用“勾三股四玄五”的法则来确定直角。据传说，他们有拉绳人（测量员），但相传他们在绳上打

8、结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，然而从未在任何记载上得以证实。11不过据考古学家们发现的几块古巴比伦泥版书（约完成于公元前2000年）考证，其中一块泥版上面刻有这样一个问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三角形三边比为3:4:5的特殊例子；不仅如此，在另一块泥版上刻着一个奇特的数表，这是一个勾股数表。表中共刻有四列十五行数字，最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。11从这我们可以清楚看到，人类对勾股定理早已有了一个初步的认识。我国的一部数学

9、著作周髀算经（约公元前1世纪成书）中，记载一段公元前1000多年前周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“折矩以为勾广三，股修四，径隅五”。2这就是我国至今可查的关于勾股定理特例的最早记载，同时也说明至少在公元前11世纪我国人民就已经知道“勾三股四弦五”这一勾股定理的特例了。正是由于勾股定理的内容最早出现于商高的话中，因而人们就把这个定理称为“商高定理”。商高提出的是勾股定理的特例，对于它的一般形式的提出就归功于陈子了，在周髀算经中还记载了陈子与荣方的一段对话“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股。勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”2因此，也有人将它称为“陈子定理”。接着，在唐代，

10、九章算术（算经十书之一）第九章“勾股”专门叙述了勾股定理以及利用勾股定理来求解各种应用问题的方法。之后，张邱建算经（于5世纪中叶成书，算经十书之一）、朱世杰所著的四元玉鉴（1303年）等书中一再出现勾股定理的有关问题。由此观之，中国古代的数学家们，很早就发现并应用勾股定理。不仅如此，伟大的数学家们还对勾股定理做出了理论的证明。最早对此定理进行证明的是赵爽（公元3世纪初三国时代吴国数学家），他自创了一幅“勾股圆方图”,用出入相补的原理、数形结合的方法，既直观又严密地给出了勾股定理的证明。为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密联系的独特风格树立了一个典范。之后的很多数学家便继承了这一风格并且

11、有所发展。例如数学家刘徽证明此定理时，除了具体图形的拼补不同外，实质也是用以形证数的方法。中国古代数学家们对于勾股定理的发现、应用和证明，在世界数学史上占有重要的地位。2002年于北京召开的世界数学家大会的会标中央图案正是以“弦图”为原型制作，标志着中国古代数学的成就。在西方，这一定理常被称为“毕达哥拉斯定理”。这源于希腊一位数学家欧几里得（Euclid，公元前330公元前275）在编著几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯（Pythagoras，公元前572公元前497）最早发现的。据说，毕达哥拉斯学派为庆祝这一定理的发现，还杀了一百头牛以示庆贺。因而，这个定理也被称为“百牛定理”。32勾股定

12、理的证明勾股定理是几何学中一颗璀璨的明珠，它是几何学的基石。对于勾股定理的证明方法，几千年来中外的许多人士对此的兴趣从未间断，因而产生了形式各异的证明方法。一位叫鲁米斯的数学家搜集各种证明方法，于1940年出版的毕达哥拉斯命题一书，记载有370种证法。31978年，刘毓璋在台湾出版名为易经之数理思想的著作，中给出他“搜集及自己创造发明” 的证法85种。如今，勾股定理的证明方法已不下500种了，堪称为已知证法最多的数学定理。这些证明方法大都把代数知识与几何知识相结合，充分体现了数学思想中数形结合的魅力，转化思想的巧妙。在此，选取几种典型的证明方法，一览勾股定理的奥妙。2.1中国数学家证明勾股定理

13、的方法2.1.1赵爽的弦图法12 图1赵爽为周髀算经作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。直角三角形中，两直角边分别为、 （），以为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如(图1)所示的形状。 因为, 所以.由于，因而，所以，四边形是一个边长为c，面积为的正方形。又因为,且.所以，四边形是一个边长为，面积为的正方形。从而，.因而，即证明了勾股定理。2.1.2刘徽“青朱出入图”13 图2三国时代魏国数学家刘徽在为九章算术作注释时，利用“出入相补原理”证明了勾股定理。可惜图已经失传，只留下了一段文字：“勾自乘为朱方

14、，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”2图2是后人根据这段文字制作的图。为具体说明，作如下证明解析：先将移到的位置，然后将移到 的位置，再将移到的位置，得到：,即,即证明了勾股定理。2.1.3梅文鼎的证明方法12图3作四个全等的直角三角形，设两条直角边分别为、，斜边为.把它们拼成把它们拼成如图3那样的一个多边形，使、在一条直线上。过作的延长线交于点.由、在一条直线上, 且,得，因为.从而,又因为，所以，四边形是一个边长为的正方形。则.又有 ,所以.从而,即.又因为，,，,所以，四边形是一个边长为的正方形。同理，四边形是一个边长为的正方形。设多边

15、形的面积为，则，,所以，即证明了勾股定理。2.1.4李锐的证明方法12 图4设直角三角形两直角边的长分别为、，斜边的长为.做三个边长分别为、的正方形，把它们拼成如图所示形状，使、三点在一条直线上。用数字表示面积的编号如(图4)。证法如下:因为，所以 .又因为 ，所以 .因而，所以.又由于，从而.因为,，所以， , 即.过作，垂足是.由，可知 ，而，从而 .又因为，.所以.即.由 ,得，. 又因为,，所以.由于,，因而,即.由， 及，得，即.所以，勾股定理得证。2.1.5杨作枚的证明方法12 图5做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为、 （），斜边长为.再做一个边长为的正方形.把它们

16、拼成如（图5）所示的多边形.过作，交于，交于.过作，垂足为.过作与的延长线垂直，垂足为，分别交、于、.因为 ，所以.又，所以.因而，.由作法可知，四边形是一个矩形，所以.从而，就有，. 又因为,.所以 ，从而有，.由于，所以，四边形 是一个边长为的正方形.于是，.，.从而，四边形是一个直角梯形，上底=，下底，高.若用数字表示面积的编号，则以为边长的正方形的面积为： (1)又, ，所以 (2)把(2)式代入(1)式，得：即得，即证明了勾股定理。2.1.6张景中的证明方法3 图6如（图6），和为两个全等的直角三角形，两直角边分别为、，斜边为.因为和互余，所以. 由，以及，可得，即证明了勾股定理。2

17、.2外国数学家证明勾股定理的方法2.2.1毕达哥拉斯的图形重新排列证法13 图7 图8 毕达哥拉斯的证法为初中课本所引用。用4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个边长为的正方形拼成如（图7）所示的边长为的正方形，再用4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和边长分别为、的2个正方形和正方形拼成如（图8）所示的边长为的正方形根据这两个图形的面积相等关系很容易推导勾股定理。由（图7），知道.由（图8），知道.比较两式易得：.2.2.2古希腊数学家欧几里得的逻辑推理法1,7 图9古希腊数学家欧几里得在巨著几何原本给出了毕达哥拉斯定理的一个极其巧妙的证明如（图9)。其证明的梗概如下：如图，和是直角

18、边，以边、和分别作正方形、和，拼成如图所示形状。要证，即要证两直角边上的正方形面积之和等于斜边上正方形的面积。连接、，作.因为,给以上两角各加上,所以，.又因为，,所以，且.又，,所以，同理可得，,从而，即，即证明了勾股定理。2.2.3美国总统加菲尔德的梯形面积法3 图10美国第二十任总统加菲尔德1876年在英格兰教育杂志发表了对勾股定理的证明方法。和为两个全等的直角三角形，、 为两直角边，为斜边，把这两个直角三角形拼成如（图10）所示形状，使、三点在一条直线上。因为,所以.又因为,所以.可得，.所以， 是一个等腰直角三角形,且.由于,.从而，四边形是一个直角梯形，且，所以，.即勾股定理得证。

19、2.2.4英国数学家佩里哥尔的证明13 图1118世纪英国的一位数学家佩里哥尔发明的一种推导勾股定理的方法如（图11）。以的三边为边长，分别向外作正方形。将以为一边的正方形按如下方法分割：过正方形的中心分别作垂直于斜边、平行于斜边的两条直线。把这个正方形分成如图12所示的4块全等的四边形。将图形1、2、3、4、5剪下，可以拼成一个与正方形一样大小的正方形。这个事实说明了分别以直角边、 的正方形的面积和等于以斜边为一边的正方形的面积。即也即两条直角边的平方和等于斜边的平方。2.2.5婆什迦罗(Bhaskara)证明10 图12古印度数学兼天文学家婆什迦罗(11141185)给出了勾股定理定理的另

20、一种奇妙的证明,如（图12）。在中，设直角边、的长度分别为、，斜边的长为，过点作，垂足是。从而可得:和， 所以,即.2.3其他证明方法 2.3.1利用反证法证明12 图13如图13，在中，设直角边，斜边，过点作，垂足是.假设，即假设,则由：,可知，,或者,即,或者.在和中，,若，则,在和中，,若，则,因为,所以,.这与作法矛盾。所以，的假设不成立。因而，.2.3.2利用圆的切割线定理证明10图14 在中，设直角边，斜边.如（图14），以为圆心为半径作圆，交及的延长线分别于、.则,易知，是的切线，由切割线定理，得: ,即，.勾股定理得证。2.3.3作直角三角形内切圆的证明12 图15在中，设直角

21、边，斜边.作的内切圆，切点分别为、如（图15），设的半径为.由，有,即 ,所以 ,从而，即. (3)又因为，所以, 从而可得：. (4)由(3)(4)两式：, 所以 .勾股定理得证。2.3.4利用多列米定理证明12 图16在中，设直角边，斜边如（图16）.过点作，过点作.则四边形为矩形，且矩形内接于.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有：，因为，所以，从而，.勾股定理得证。3勾股定理证明方法分析赵爽的“弦图”证法和毕达哥拉斯的证法，都是以四个全等的直角三角形构成的图形来证明的，只是他们所采用的构法不同。但都体现了以形证数，简洁直观中直达其意。刘徽的“青朱出入图”，延续

22、了赵爽的以形证数，值得我们感叹的是，他的证明不需任何数学符号，更不需进行运算，图中隐含的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，运用动态思想，巧妙地利用“出入相补”，被称为“无字证明”。梅文鼎、李锐、杨作枚的证法继承了刘徽的思想，他们的目的是构造以直角三角形三边长为边的三个正方形，寻求三个正方形的关系而证。其证明也都用到出入相补原理、数形结合，只是具体图形的割、拼、补有所异同。反映了我国传统文化中追求直观、实用的倾向。张景中、加菲尔德的证法则是由两个全等的直角三角形构成的不同图形而证的，独具巧妙性，简单明了、形象直观。其中加菲尔德所做的图形可看成是毕达哥拉斯证法的图7的一半简化而

23、来的，体现了数学发展的继承与创新。欧几里得的证法采用公理化的思想，是纯几何式的逻辑演绎，以构造全等形与平行线为基础，运用全等三角形和面积法推理得证。具有构造独特、论证严谨的特征，给我们展示的是对数学美、更多的是数学理性的追求，它在更高层次上使人的思维得到锻炼。而佩里哥尔所采用的方法类似于拼图，对图形的构造方法极为与众不同，虽然图形构造最为复杂，然而却不证自明、极具直观，让人一目了然。对于婆什迦罗的证法和反证法的论证的图形完全一样，是构造最为简单的图形，其证明方法可看做是由两个相似直角三角形构成的图形推理证得的。尤其是反证法的论证，打破常规，以独特的逆向思维进行推理证明。对于应用切割线定理的证法

24、、作直角三角形内切圆的证法以及利用多列米定理的证法，三者的特征便是利用三角形或直线与圆的关系证明勾股定理，应用圆这个特殊的图形作为辅助工具进行各种巧妙的证明。4勾股定理与数学思想的结合4.1勾股定理与数形结合思想数形结合思想是一种很重要的数学思想，我们在研究某些问题时，有时需要将数量关系和空间形式相结合，根据需要把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的策略，就是数形结合的思想。勾股定理本身就体现了数形结合的思想，再者，从以上列举的证明方法中可看出，数学家们对勾股定理的证明大都离不开数形结合。例1.赵爽的“勾股圆方

25、图”（图17），如果大正方形的面积为17，小正方形的面积为3，直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，那么的值为。 图17分析：结合图形，可知，即.因而，.4.2勾股定理与方程思想所谓方程思想，就是通过列方程（组）来求解问题的一种思维方式。如梅文鼎、李锐等的证明方法中便用到了此思想。例2.如（图18），有一张直角三角形纸片，两直角边,将折叠，使得点与点,重合，折痕为,则的长为（ ）。 图18分析：要使，两点重合，则折痕必为的垂直平分线。连接，则.使用方程，设，则，在中，由勾股定理，得 ，所以 故选D.4.3勾股定理与分类与整合思想分类与整合思想是指，在解决问题时，当条件或结论不确定或不唯一时

26、，依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决，最后，整合各类结果得到整个问题的结果。实质上就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。例3.在中，已知其中两边分别为，则的外接圆半径。分析：因为本题没有指明直角边和斜边，所以解答时要应用分类讨论的思想。（1） 当为直角边时，斜边，则的外接圆半径。（2） 当为斜边时，则的外接圆半径。综上，的外接圆半径。4.4勾股定理与建模思想建模思想，就是运用数学语言和方法，通过简化、抽象建立能近似刻画并“解决”实际问题的数学方法。例4.树林中有两棵树，一棵树高为8m，另一棵树高为13m，两棵树相距12m，有一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一

27、棵树的顶端，则小鸟至少要飞多远？ 图19分析：本题为一道实际问题，为简便解决问题，我们需要应用建模思想。因而建构如图所示的模型，分别用,表示两棵树，得到如（图19）所示梯形，要求飞行距离最短，因而化为求解的长度，过作垂线构造直角三角形。则易得，在中，应用勾股定理可得，,所以小鸟至少要飞13m。4.5勾股定理与转化思想转化思想，就是通过不断的转化，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把不规范的问题转化为规范化的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把此一种方式的问题转化为彼一种方式的问题，使问题得到解决。例5.将一张弧长为，半径为1的半圆形纸片围成一个圆锥（接头忽略不计），所围成的圆锥的高为。分析：解

28、决本题的关键是要把空间图形飞问题转化为平面图形的问题。圆锥的母线长为半圆的半径1，底面圆的周长为半圆的弧长，因而底面圆的半径为，在圆锥中构造直角三角形，求得圆锥的高为。4.6勾股定理与类比思想类比思想实际是知识的迁移，它通过两个（两类）已知事物在某些方面具有的共同属性，推断它们在其他方面也有相同或类似的属性。例6.在中，。如果，那么根据勾股定理有，。如果，或，请你试猜想与的大小关系，并证明你的结论。 图20 图21分析：选进行分析，如（图20）过作,交于点，设，则，根据勾股定理，即，因为，.所以，,.(时，略)。总结几何学家陈省身曾说过：“中学几何中最重要的定理之一就是勾股定理。”本文共用四个

29、章节来讨论勾股定理。第一章讲述了勾股定理的表述及来源等历史背景，让大家对勾股定理有一个初步认识。第二章主要是列举了一些从不同角度思考证明勾股定理的方法，让大家了解几种勾股定理的证明方法，启迪大家面对同一问题要从不同角度来看待和思考问题，体会勾股定理的独特魅力。第三章逐一分析了各种证明方法的特点以及一些证法之间的联系。第四章主要讲叙了勾股定理与几种常用的数学思想相结合，并以实例说明这些思想在勾股定理中的应用，掌握了这些思想，就可以让很多数学问题迎刃而解。勾股定理在实际生活中的应用非常广泛，在航海，航空，地理，建筑，都需要应用勾股定理来解决。勾股定理为我们解决生活中的实际问题提供了一种解决思路，方

30、便了我们对各领域问题的研究。参考文献1欧几里得.几何原本M.魏平，译.西安:陕西人民出版社,2010. 2张苍.九章算术M.曾海龙,译.重庆:重庆大学出版社,2006.3沈文选,杨清桃.几何瑰宝M.哈尔滨:哈尔滨理工大学出版社,2010.4印惠媛.勾股定理证明中的中西合璧J.内江师范学院学报,2008，23(10).5孔凡茹,孔凡伟,熊昌雄.勾股定理的早期记载和证明J.宜宾学院学报，2007,7(12)6马全甫.勾股定理与数学思想的完美结合J.学科教学,2008,06.7朱哲.梅文鼎对勾股定理的证明及其与欧几里得方法的比较J.中学数学杂志(初中版),2005,(06)8李军,石学梅.例谈勾股定理应用中的数学思想方法J.教学论坛,2011,04.9张昆.勾股定理的早期发现与证明J.中学生数学,2005,(08).10徐利根.勾股定理的若干证明方法J.中学数学,1996,(06).11 12 13 16