行列式解法技巧论文

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1、 20102010 届专科生毕业论文届专科生毕业论文题目：行列式的解法技巧论文作作 者者 姓姓 名：名： 陈陈 飞飞 学学 号：号： 20070704262007070426 系系( (院院) )、专业：、专业： 应用数学系应用数学系 数学教育专业数学教育专业 指导教师姓名：指导教师姓名： 刘刘 勇勇 指导教师职称：指导教师职称： 讲讲 师师 20102010 年年 6 6 月月 1212 日日目目录录1 行列式的定义和性质.11.1 行列式定义.11.2 行列式的性质.12 求解行列式的技巧.22.1 行列式的常用技巧.22.1.1 化三角形解行列式法.22.1.2 降阶法（按行（列）展开法

2、.42.1.3 递（逆）推公式法.42.1.4 利用范德蒙行列式.62.1.5 数学归纳.72.1.6 加边法（升阶法）.82.2 求解行列式的其他技巧.92.2.1 拆项法.92.2.2 因式分解法.10参考文献.11摘摘 要要行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。关键词关键词:行列式 ；矩阵；范德蒙行列式 ；递推法 行列式在高等代数课程中的重要性以及

3、在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题技巧进行总结归纳。 作为行列式本身而言，我们可以发现它的两个基本特征：当行列式是一个三角形行列式时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想；行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用，而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、因式分解法等可以看成是它们衍生出的具体方法。1 1 行列式的定义和性质行列式的定义和性质1.1 行列式定义定义定义

4、行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数符号为正，逆序数为奇数，符号为负。例例 1 1 nnDn000000100200100计算行列式解：解：不为零的项一般表示为,故.nD！naaaannnn1122!) 1(2)2)(1(nDnnn1.2 行列式的性质 行列式有如下基本性质行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行列式的某两

5、行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。例例 2 2 一个阶行列式 的元素满足则称反对称行nijnaD , 2 , 1,njiaajiij列式，证明：奇阶数行列式为零.证明：证明： 由知，即.故行列式可表示为jiijaaiiiiaaniaii, 2 , 1, 00000321323132231211312nnnnnnnaaaaaaaaaaaaD由行列式的性质， AA 0000) 1(0000321323132231211312321323132231211312nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa

6、aaaaaaaaaD nnD1.为奇数时，得当n, nnDD因而得0nD2 2 求解行列式的技巧求解行列式的技巧2.1 行列式的常用技巧常用的行列式解法技巧包括化三角形解行列式法，降阶法，递（逆）推公式法，利用范德蒙行列式解行列式法，数学归纳法等等。2.1.1 化三角形解行列式法若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积，因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行

7、列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。例例 3 3 .abbbbabbbbabbbbaDn阶行列式计算解：解： 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，列都加到第 1 列上，行列式不变，得nabbbabbbabbbbnaabbbnababbnabbabnabbbbnaD1111) 1() 1() 1() 1() 1(.)( ) 1(0000000001) 1(1nbabnababababbbbna

8、例例 4 4 计算行列式2101044614753124025973313211D解：解： 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算 23 132 143 154 12311231112310010202041 020410010202153021530022200222D 4352 3421-12-31112310204-103041 00-10-200102001-12000100022-200026 52 41123102041 1 2( 1)( 1)( 6)12 001020001000006 符号说明：(2)+3(1)表示把第 1 行的 3 倍加到第 2 行

9、上，(3)-2(1)表示第 3 行减去第2 行的 2 倍，其他此类符号依此类推。2.1.2 降阶法（按行（列）展开法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例例 5 5 计算行列式 aaaaaDn00010000000000001000解：解： 按第 1 行展开：0001000000000) 1(000000000000aaaaaaaaDnn！ .222) 1(1) 1(nananananannna2.1.3 递（逆）推公式法递推

10、法是根据行列式的构造特点，建立起与的递推关系式，逐步推下去，从nD1nD而求出的值,有时也可以找到与,的递推关系，最后利用得到的nDnD1nDnD,1D2DnD值. 用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。例例 6 6 计算行列式 10000000010001000nD解解：将行列式按第展开，有n,)(21nnnDDD112(),nnnnDDDD112(),nnnnDDDD得 nnnnnnDDDDDD)()(1223221同理，得 ,nnnDD1所以 .,;,) 1(11nnnnnD例例 7 7 计算 .ayyyxayyxxayxx

11、xaDn解：解：ayyyxayyxxayxxxyayyxayxxaxxxyaDn 000 xaxyxyxaxyxayDyan1010010001)(1.11)()(nnxayDya同理11)()(nnnyaxDxaD ,联立解得)( ,)(yxyxxayyaxDnnn）,时当yx . 121122112()()()2 ()()(2) ()()(1)nnnnnnnnDax Dx axaxDx axaxDnx axaxanx2.1.4 利用范德蒙行列式根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去等等) 把所求行列式化成已知的或简单的

12、形式，其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。例例 8 8 计算行列式 .21 -n221 -n2211 -n1222212121111111nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxD解：解：把第 1 行的1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的1 倍加到第 3 行，以此推直到把新的第行的倍加到第行，便得范德蒙行列式 1nn.1222212111112111()nnijn ijnnnnxxxDxxxxxxxx 例例 9 9 计算行列式.xyxzyzzyxzyxD222解解：运用行列式的性质，对其进行处理： xyzyzxzyzyyzxzxyzyxzyxDzy22222

13、) 1)()3( xzyzxyzxzyzxyyxzyzxyxzyxzyxx222222)1()3(.)()()(yzxzxyxzyzxy 2.1.5 数学归纳法当 与 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。 一般是利用不完全nD1nD归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。例例 1010 计算行列式 .xaaaaaxxxDnnn1232100000100001解：解：结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解当时，2n21221222)(1axaxaaxxaxaxD假设时，有 kn kkkkkkax

14、axaxaxD12211则当时，把按第一列展开，得1 kn1kD11221111)(kkkkkkkkkaaxaxaxaxxaxDD12111kkkkkxa xaxa xa由此，对任意的正整数，有n.nnnnnnaxaxaxaxD122112.1.6 加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。它要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况。 例例 1111 计算阶行列式.nnnnnnax

15、aaaaaxaaaaaxaaaaaxD321321321321解解：1100nnnaaDD1211002,1100100niaaaxinxx第行减第1行.1211000000000njnjaaaaxxxx11njnjaxx例例 1212 计算阶行列，其中)2( nnnnaaaaD1111111111111111321120na aa 解解： 先将添上一行一列，变成下面的阶行列式：nD1nnnaaaD1110111011101111211显然，.nnDD1将的第一行乘以后加到其余各行，得1nD1nnaaaD0010010011111211因，将上面这个行列式第一列加第列的倍，得：0ia) 1,

16、2(nii11ia 111122111111111100000100 000100000niinnnnaaaDDaaaa .121211000011 1 100nnniiiinaaa aaaaa2.2 求解行列式的其它技巧学习中还会有其他类型的行列式，下面对一些不是很常用的行列式的解法，如拆项法，因式分解法等进行归纳：2.2.1 拆项法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的，使问题简化以利计算。例例 1313 计算行列式 .nnnnnaaaaaaaaaD21221211解：解： nnnnn

17、nnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaD2122121212212111221000nnnnDaaaa.niiinnnaDa121112112.2.2 因式分解法如果行列式是某个变数的多项式，可对行列式施行某些变换，求出的Dx)(xf)(xf互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为，则，再比较)(xg)()(xcgxfD与的某一项的系数，求出值.)(xf)(xgc例例 1414 计算行列式. 1321321311321xnxnxnDn解：解：,所以，.时1x, 0nDnDx| 1同理均为的因式, ,又因为与各不相同) 1(,2nxxnDix)(jijx，但的展开式中最高次项的系数为 1，

18、故nDnxxx| ) 1()2)(1(所以nD1nx.) 1()2)(1(nxxxDn计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。参考文献参考文献1 陈维新,科学出版社. 2004(12).2 孙梅生,米道生. 科学普及出版社.1963(10).3 朱砾,周勇. 科学出版社. 2006（04）.4唐忠明，戴桂生. 南京大学出版社. 2000(3)