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1、2013年浙江省高中数学竞赛试题解答一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1 集合，且,则实数取值范围为（）A. B. . C. 或 D. 答案 C 要使，则或。解得或 。2 若 则是的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件答案 D 若。当，但。3 已知等比数列：且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（）A. B. C. D. 答案 B 计算得。4. 已知复数为虚数单位），且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或答案 D 5. 已知
2、直线与抛物线交于两点，为的中点，为抛物线上一个动点，若满足，则下列一定成立的是（ ）。A. B. 其中是抛物线过的切线C. D. 答案 B 。6. 某程序框图如下，当E0.96时，则输出的K=（ ） A. 20 B. 22 C. D. 25 ,开 始K=1，S=0S=S+1/（K(K+1)）S=E？输出KK=K+1是否答案 C 7. 若三位数被7整除，且成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。 A.4 B. 6 C. 7 D 8答案 D 设三位数为由。所以，所有的三位数为8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。A. B. C. D. 1 2正视图：上下两个正方形12
3、侧视图1俯视图：边长为2的正三角形答案 D 从图中可知，立体是由两个三棱柱组成。9. 设函数，则函数的极大值点为（ ） A. B. C. D. 答案 B 由图象可知为函数极大值点，是极小值点，不是极值点。10. 已知为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（ ）。A. B. C. D.答案 C 。二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分）11. 若，则_。解答：由，所以。12. 已知，若当时恒大于零，则的取值范围为_ 。解答 由等号在取得，即。13. 数列，则数列中最大项的值为_。解答 为极大值点，所以数列最大项为第三项，其值为。14. 若，满足，则,。解
4、答 把等式看成关于的一元二次方程。15. 设直线与曲线有三个不同的交点,且,则直线的方程为_。解答 曲线关于（0,1）点对称，设直线方程为，则。所求直线方程为。16. 若则_。解答 ，所以。17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限轴上的整点），其运动规律为或。若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有_9_种不同的运动轨迹。解答 .三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分） 18. 已知抛物线，过轴上一点的直线与抛物线交于点两点。证明，存在唯一一点，使得为常数，并确定点的坐标。解答 设（），过点直线方程为，交抛物线于联立方程组5分7分，12分令。17分
5、19. 设二次函数在3,4上至少有一个零点，求的最小值。解法1 由已知得，设为二次函数在3,4上的零点，则有，变形，5分于是，12分因为是减函数，上述式子在时取等号，故的最小值为。17分解法2 把等式看成关于的直线方程，利用直线上一点（）到原点的距离大于原点到直线的距离，即（以下同上）。20. 设满足数列是公差为，首项的等差数列； 数列是公比为首项的等比数列，求证： 。 解：首先， ， -2分。-4分6分用归纳法证明 。由于，即i=1成立。8分假设 成立，则。14分所以，。归纳证明，首先 ，假设 成立，则。17分故命题成立。四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）21. 设证明
6、。解答 原命题等价于，10分又20分故只需要证明成立。25分利用已知条件，这是显然的。22. 从0,1,2，10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”。 (图2)A2A1试问：对图1和图2是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由。1079651（图 1 ）A3A4A5A7A8A6解答 对图1，上述填法即为完美（答案不唯一）。10分对于图2不存在完美填法。因为图中一共有10条连线，因此各连线上两数之差的绝对值恰好为，1,2,3，10， 15分其和为奇数。 20分另一方面，图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述S的表达式中出现偶数次。因此S应为偶数，矛盾。25分所以，不存在完美填法。7
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