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1、第三课时： 三个正数的算术-几何平均值不等式学习目标：1. 掌握三个正数的算术-几何平均值不等式；2. 会用三个正数的算术-几何平均值不等式证明不等式、求最值.学习重点：掌握三个正数的算术-几何平均值不等式；.学习难点：三个正数的算术-几何平均值不等式的应用学习过程：一、自主学习了解并领会下列问题1. 教材是如何引导提出三个正数的算术-几何平均值不等式的？2. 请你分别用文字语言和数学符号语言叙述三个正数的算术-几何平均值不等式内容.3. 三个正数的算术-几何平均值不等式的具体证明过程是什么？4. 对照使用二个正数的算术-几何平均值不等式求最值的基本要求体会使用三个正数的算术-几何平均值不等式
2、求最值的注意事项？二、自主检测1. 已知, 求证：当且仅当_时, 等号成立.如果, 那么, 当且仅当_时, 等号成立.2.已知 ，且，则的最小值为_.3. 已知，则与4的大小关系为_.三、例题讲解例1.已知，求证： 例2 用一块边长为的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？例3 求函数的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法.解一:. 解二:当即时, 正解:巩固练习：1.设a,b,c，且a,b,c不全相等，则不等式成立的一个充要条件是 ( ) A. a,b,c B. a+b+c C. a+b+c D. a,b,c2
3、. 函数的最大值是_.3.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则V的最大值为 .【总结提升】1.n个正数，则等号成立当且仅当，这是算术平均数几何平均数不等式的一般情形.目前只要求掌握n=2和n=3的情形 . 2. 算数-几何平均数不等式是针对n个正数而言的，否则不一定成立.3.利用算数-几何平均数不等式求最值依然遵循“一正二定三相等原则”，这三条只要一条不满足都不行.4利用算数-几何平均数不等式求和的最小值，关心积是否为定值；求积的最大值，关心和是否为定值.这是进行数学变形必须要把握的原则.课时作业(三)一、选择题(每小题5分,共30分)1.设x,y,zR+且x+y+z=6,则lgx+lgy+
4、lgz的取值范围是()A.(-,lg6 B.(-,3lg2 C.lg6,+) D.3lg2,+)2.若实数x,y满足xy0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.43.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则1a+1b+1c的最小值为()A.9 B.8 C.3 D.134.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A.336 B.22 C.12 D.12355.当0x15时,函数y=x2(1-5x)的最大值为()A.125 B.13 C.4675 D.无最大值6.设a,b,cR+,且a+b+c=1,若M=1a-11b-11c-1,则必有()A.0M1
5、8 B.18M1 C.1M0,y0且xy2=4,则x+2y的最小值为.8.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算,即a*b=a+b2,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是.9.( 2013扬州高二检测)设正数a,b,c满足a+b+c=1,则13a+2+13b+2+13c+2的最小值为.三、解答题(1011题各14分,12题18分)10.求函数f(x)=x(5-2x)20xy, 求证:2x+1x2-2xy+y22y+3.课时作业三答案解析1.【解析】选B.因为x,y,zR+,所以6=x+y+z33xyz,即xyz8,所以lgx+lgy+lg
6、z=lgxyzlg8=3lg2.2.【解析】选C.xy+x2=12xy+12xy+x23312xy12xyx2=3314(x2y)2=3,当且仅当12xy=x2时,等号成立.3.【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c33abc,所以00,4y0,8z0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z332x22y23z=332x+2y+3z=34=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=23时取等号.5.【解析】选C.y=x2(1-5x)=52x225-2x=52xx25-2x.因为0x15,所以25-2x0,所以y52x+x+25
7、-2x33=4675,当且仅当x=25-2x,即x=215时,ymax=4675.6.【解析】选D.M=a+b+ca-1a+b+cb-1a+b+cc-1=(b+c)(a+c)(a+b)abc8bcacababc=8,当且仅当a=b=c时等号成立.7.【解析】由xy2=4,得x+2y=x+y+y33xyy=33xy2=334,当且仅当x=y=34时等号成立.答案:3348.【解析】由题意知a+(b*c)=a+b+c2=2a+b+c2,(a+b)*(a+c)=(a+b)+(a+c)2=2a+b+c2,所以a+(b*c)=(a+b)*(a+c).答案: a+(b*c)=(a+b)*(a+c)9.【解
8、析】因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,所以(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9.于是13a+2+13b+2+13c+2(3a+2)+(3b+2)+ (3c+2)331(3a+2)(3b+2)(3c+2)33(3a+2)(3b+2)(3c+2)=9,当且仅当a=b=c=13时等号成立,即13a+2+13b+2+13c+21,故13a+2+13b+2+13c+2的最小值为1.答案:110.【解析】f(x)=x(5-2x)2=144x(5-2x)(5-2x)144x+5-2x+5-2x33=25027.当且仅当4x=5-2x,即x=56时,等号成立.所以函数的最大值是25027.11.【证明】因为x0,y0,x-y0,2x+1x2-2xy+y2-2y=2(x-y)+1(x-y)2=(x-y)+(x-y)+1(x-y)233(x-y)21(x-y)2=3,所以2x+1x2-2xy+y22y+3.
选修45三个正数的算术几何平均值不等式学案作业含答案
