第31全国中学生物理竞赛决赛试题及参考解答Word精校版

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1、物理奥赛辅导讲义决赛真题系列第31届全国中学生物理竞赛决赛试题2014杭州一、（12分）一转速测量和控制装置的原理如图所示。在O点有电量为Q的正电荷，内壁光滑的轻质绝缘细管可绕通过O点的竖直轴在水平面内转动，在管内距离O为L处有一光电触发控制开关A，在O端固定有一自由长度为L/4的轻质绝缘弹簧，弹簧另一端与一质量为m、带有正电荷q的小球相连接。开始时，系统处于静态平衡，细管在外力矩作用下作定轴转动，小球可在细管内运动。当细管转速逐渐变大时，小球到达细管的A处刚好相对于细管径向平衡，并触发控制开关，外力矩瞬时变为零，从而限制转速过大；同时O点的电荷变为等量负电荷-Q.通过测量此后小球相对于细管径

2、向平衡点的位置B，可测定转速。若测得OB的距离为L/2，求：（1）弹簧系数k0及小球在B处时细管的转速；（2）试问小球在平衡点B附近是否存在相对于细管的径向微振动？如果存在，求出该振动的周期。Am，qO图31决1解析：（1）设小球在A点相对于细管平衡时，细管的角速度为A，则有：设小球在B点相对于细管平衡时，细管的角速度为B，则有：小球由A运动到B的过程中角动量守恒有：联立以上三式可解得：、（2）设小球在B点向外发生微小偏移x，则小球到O点的距离表示为，以细管为参考系，小球所受合力可表示为（以沿半径向外为正）：另外，在发生偏移过程中角动量守恒有：联立两式有：将k0和B代入可知：，则有：则小球在平

3、衡点B存在相对于细管的径向微振动的周期为：二、（14分）多弹头攻击系统是破解导弹防御体系的有效手段。如图所示，假设沿某海岸有两个军事目标W和N，两者相距L，一首潜艇沿平行于该海岸线的航线游弋，并监视这两个目标，其航线离海岸线的距离为d.潜艇接到攻击命令后浮出海面发射一颗可分裂成多弹头的母弹，发射速度为v0（其大小远大于潜艇在海里游弋速度的大小），假设母弹到达最高点时分裂成三个分弹头，每个分弹头的质量相等，分离时相对原母弹的速度大小均为v，且分布在同一水平面内，分弹头1、2为实弹，分弹头3为迷惑对方雷达探测的假弹头。如果两个实弹能够分别击中军事目标W和N，试求潜艇发射母弹时的位置与发射方向，并给

4、出相应的实现条件。WNdv0L图31决2 WNdzx yOL/2L/2 WNdL/2L/2OCvtvtv0cosxs6060xz解析：以WN连线中点为坐标原点，连线方向为x轴，垂直于海岸方向为z轴，竖直向上为y轴建立如图所示的坐标系，设潜艇发射母弹时的坐标为（x，0，d），发射仰角为，发射速度的水平分量与航线的夹角为，则有母弹到达最高点所需时间为：，母弹在水平方向的射程为.分析可知，母弹在最高点分裂成的三个分弹头相对质心运动方向夹角均为120，弹头的运动可视为相对质心的运动和质心的运动。另外，分析可知1、2分弹头必定同时击中目标，击中目标时同时质心落地，从分裂到落地所用时间也是t，此时质心落点

5、必定在WN的垂直平分线上（C点），击中目标时各点位置关系如图所示。由图中几何关系可得：、联立以上各式可得：，其中“+”表示朝海岸方向发射，“-”表示背离海岸方向发射。上式成立的条件为：，【另外】考虑质心落点C在陆地上时，有可解得：，同样地，“+”表示朝海岸方向发射，“-”表示背离海岸方向发射；上式成立的条件为：，三、（14分）如图所示，某绝热容器被二块装有阀门K1和K2的固定绝热隔板分隔成相等体积V0的三室A、B、C，VA=VB=VC=V0，容器左端用绝热活塞H封闭，左侧A室装有n1=1mol单原子分子气体，处在压强为P0、温度为T0的平衡态；中段B室为真空；右侧C室装有n2=2mol双原子分

6、子气体，测得其平衡态温度为TC=0.50T0.初始时刻K1和K2都处在关闭状态，然后系统依次经历如下与外界无热量交换的热力学过程：（1）打开K1，让VA中的气体自由膨胀到中段真空VB中；等待气体达到平衡态时，缓慢推动活塞H压缩气体，使得A室体积减小了30%（VA=0.70V0），求压缩过程前后，该部分气体的平衡态温度及压强；（2）保持K1开放，打开K2，让容器中的两种气体自由混合后共同达到平衡态，求此时混合气体的温度和压强；（3）保持K1和K2同时处在开放状态，缓慢拉动活塞H，使得A室体积恢复到初始体积VA=V0，求此时混合气体的温度和压强。【提示】：上述所有过程中，气体均可视为理想气体，计算

7、结果可含数值的指数或分式；根据热力学第二定律，当一种理想气体构成的热力学系统从初态（Pi，Ti，Vi）经过一个绝热可逆过程（准静态绝热过程）到达终态（Pf，Tf，Vf）时，其状态参数满足方程：其中，n1为该气体的摩尔数，CV1为它的定容摩尔热容量，R为普适气体常量。而当热力学系统由两种理想气体组成，则上述方程需修改为：图31决3ABCHV0V0,T0/2V0,P0,T0K1K2n1,单原子分子n2,双原子分子真空解析：（1）压缩前A中气体经历绝热自由膨胀，可知：，绝热压缩过程满足：，将和代入以上各式可解得：，（2）气体混合的过程中能量守恒有：代入各结果可得：末态气体的克拉珀龙方程为：，A中气体

8、初态的克拉珀龙方程为：将及各数据代入以上两式可解得：（3）混合气体的绝热指数为：将、代入上式可得：则拉动活塞过程满足：，将V4=3V0及各数据代入以上两式可解得：，【补充】混合气体绝热指数的证明：考察由n1mol的气体A与n2mol的气体B组成的混合气体，其摩尔热容量分别为CV1、CV2、CP1、CP2，则混合气体的等容摩尔热容量为：混合气体的等压摩尔热容量为：则混合气体的绝热指数为：由可知：对上式进行变换有：，即：两边同时取e指数有：，即，其中考察绝热变化的泊松方程有：四、（20分）光纤光栅是一种介质折射率周期性变化的光学器件。设一光纤光栅的纤芯基体材料折射率为n1=1.51；在光纤中周期性

9、地改变纤芯材料的折射率，其改变了的部分的材料折射率为n2=1.55；折射率分别为n2和n1、厚度分别为d2和d1的介质层相间排布，总层数为N，其纵向剖面如图（a）所示。在该器件设计过程中，一般只考虑每层界面的单次反射，忽略光在介质传播过程中的吸收损耗。假设入射光的真空中的波长为=1.06m，当反射光相干叠加加强时，则每层的厚度d1和d2最小应分别为多少？若要求器件反射率达到8%，则总层数N至少为多少？【提示】：如图（b）所示，当光从折射率n1介质垂直入射到折射率n2介质时，界面上产生反射和投射，有：，n1n2n1n2n1n2n2d2d1d2d1d2d212345N层数折射率入射光反射光厚度图（

10、a）入射光反射光透射光n1n2图（b）图31决4解析：（1）分析可知，相邻两反射面上的反射光光程差为或者要使反射光干涉加强，每层介质最小厚度需满足：，解以上两式可得：，（2）设，当入射光场强为E0时，在第一反射面上反射后光场强为：在第二发射面上反射后光场强为：，考虑到光在单层介质中传播相位还会改变，则该反射光到达入射处时光场强变为：同理可知，在第三反射面上反射的光到达入射处时光场强变为：则，入射处的总光场强为：令，则有：由题意可知：，将代入上式可得：综上可知，反射总层数为21层。五、（20分）中性粒子分析器（Neutral-Particle Analyser）是核聚变研究中测量快离子温度及其能

11、量分布的重要设备。其基本原理如图所示，通过对高能量（200eV30KeV）中性原子（它们容易穿透探测区中的电磁区域）的能量和动量的测量，可诊断曾与这些中性原子充分碰撞过的离子的性质。为了测量中性原子的能量分布，首先让中性原子电离，然后让离子束以角入射到间距为d、电压为V的平行板电极组成的区域，经电场偏转后离开电场区域，在保证所测量离子不碰到上极板的前提下，通过测量入射孔A和出射孔B间平行于极板方向的距离l来决定离子的能量。设A与下极板的距离为h1，B与下极板的距离为h2，已知离子所带电荷为q.（1）推导离子能量E与l的关系，并给出离子在极板内垂直于极板方向的最大飞行距离；（2）被测离子束一般具

12、有发散角（），为了提高测量的精度，要求具有相同能量E，但入射方向在范围内变化的离子在同一小孔B处射出，求h2的表达式，并给出此时能量E与l的关系；（3）为了提高离子能量的分辨率，要求具有量程上限能量的离子刚好落在设备允许的l的最大值lmax处，同时为了减小设备的体积，在满足测量要求的基础上，要求极板间距d尽可能小，利用上述第（2）问的结果，求d的表达式，若=30，结果如何？（4）为了区分这些离子的质量，请设计后续装置，给出相应的原理图和离子质量表达式。ABVdh1h2极板探测区电离区中性原子离子图31决5解析：（1）分析可知，离子在电场中做类抛体运动，在电场外做匀速直线运动，离子进入电场和离开

13、电场时速度与下极板的夹角都是，设粒子进入电场时的初速度为v0，在电场中运动时间为t，则有：，联立以上各式可得：，（2）由上式中可得：由题意可知，当发生微小变化时l不变，即，由上式可得：将其代入E的表达式可得：（3）由（1）中结果可知，可得：由（2）中结果可知：，可解得：当=30时有：（4）让离子垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场，测出其轨迹半径R，则有：另外离子能量为：，联立两式可得：将代入上式有：六、（20分）超导体的一个重要应用是绕制强磁场磁体，其使用的超导线材属于第二类超导体。如果将这类超导体置于磁感应强度为Ba的外磁场中，其磁力线将以磁通量子（或称为磁通涡旋线）的形式穿透超导体，从而在超

14、导体中形成正三角形的磁通格子，如图（1）所示。所谓磁通量子，如图（2）所示，其中心是半径为的正常态（电阻不为零）区域，而其周围处于超导态（电阻为零），存在超导电流，所携带的磁通量为（磁通量的最小单位）。（1）若，求此时磁通涡旋线之间距离a；（2）随着Ba的增大，磁通涡旋线密度不断增加，当Ba达到某一临界值Bc2时，整块超导体都变成正常态。假设磁通涡旋线芯的半径为，求所对应的临界磁场Bc2；（3）对于理想的第二类超导体，当有电流I通过超导带材时，在安培力的驱动下，磁通涡旋线将会粘滞流动，在超导带内产生电阻（也称磁通流阻），从而产生焦耳损耗，不利于超导磁体的运行。磁通涡旋线稳定粘滞流动的速度v与单

15、位体积磁通涡旋线所受到的驱动力fA和Ba的关系为，其中为比例系数。外加磁场、电流方向，以及超导带材的尺寸如图（3）所示，请指出磁通涡旋线流动的方向，并求出磁通涡旋线流动所产生的电阻率（用Ba，0，超导体尺寸b、c、d表示）（4）要使超导材料真正实用化，消除这种磁通流阻成了技术的关键，请给出你的解决方案。BaIcdb图3图2图1aaa图31决6解析：（1）分析可知，每个三角形中有0.5个磁通量子，则有：解上式可得：（2）分析可知，随着外磁场的增强，每个磁通量子所对应的面积减小，即磁通密度增大，当相邻两根磁通涡旋线的的正常芯开始重叠时（），整块超导体都变成正常态，临界状态为代入数据解上式可得：（3

16、）分析可知，磁通涡旋线所受安培力向右，故其向右运动，单位体积内的安培力为：解上式可得磁通涡旋线粘滞运动的速度为：磁通涡旋线以v速度向右运动可等效为超导带材以v速度向左切割磁感线，则会在超导带材前后端间产生感应电动势，有电压为：则沿电流方向的电阻可表示为：另外，电阻还可表示为：联立两式可得：（4）在超导体内引入缺陷，如空格、错位、填隙原子等，当磁通涡旋线落入这些缺陷时，就会产生磁通针扎效应，使磁通涡旋线不易流动，即为非理想第二类超导体。七、（20分）如图，两个质量均为m的小球A和B（均可视为质点），固定在中心位于C、长为2l的刚性轻杆的两端，构成一质点系。在竖直面内建立Oxy坐标，Ox方向沿水平

17、方向，Oy方向竖直向上。初始时质点系中心C位于原点O，并以初速度v0竖直上抛，上抛过程中，ACB三点连线始终水平。风速大小恒定为u、方向沿x轴正向，小球在运动中所受空气阻力的大小与相对于空气运动速度的大小成正比，方向反向，即，k为正的常量。当C点升至最高点时，恰好有一沿y轴正向运动、质量为m1、速度大小为u1的小石块（视为质点）与小球A发生竖直方向的碰撞，设碰撞时完全弹性的，时间极短。此后C点回落到上抛开始时的同一水平高度，此时它在Ox方向上的位置记为s，将从上抛到落回的整个过程所用时间记为T，质点系旋转的圈数记为n，试求：（1）质点系转动的初始角速度0，以及回落到s点时角速度s与n的关系；（

18、2）质点系从开始上抛到落回s点为止的过程中，空气阻力做的功Wf与n、s、T的关系。 yu A BCOl-lsx图31决7 y A BCxmgvAvAy-vAxTiTixTiy解析：（1）设A球速度为vA，B球速度为vB，则两球受到的空气阻力为：，则系统所受合外力为：，式中，为质心速度（i）上抛过程：此过程中质心沿y方向的动力学方程为：，即对上式两边积分有：设质点系上抛到最高点时质心C上升高度为y1，所需时间为T1，则上式变为：（ii）碰撞过程：设碰后质心速度y方向分量为vy1，小石块速度为u2，则y方向动量守恒有：分析可知，碰撞后A、B两球沿y方向上的速度分量分别为：，则碰撞过程中机械能守恒有

19、：碰撞前后相对质心角动量守恒有：联立以上各式可得：，（iii）再次上抛过程：设此过程质点系又上升y2高度到达最高点，所用时间为T2，则由（i）可知：（iv）平抛过程：设质点系落地时质心速度为vys，所用时间为T3，则由（i）可知：考虑到，联立以上各式可得：（v）x方向运动过程：考察x方向质心运动的动力学方程为为：，即对上式在整个运动过程上积分有：则质点系落地时质心水平方向速度为（vi）转动过程：分析可知，质点系所受外力矩为零，故轻杆施加给两球的力必定沿杆，且等大反向，设其为Ti，则有：，由前面的讨论可知：，设A相对质心的速度分别为：，则其相对加速度可表示为：当轻杆与竖直方向成角时，有：则A相对

20、于质心C做圆周运动的切向加速度为：将代入上式可得：，即，两边同时在整个转动过程上积分有：将代入上式可得：（2）分析可知，落地时质心速度为，则末态系统动能为：另外，小石块与系统碰撞过程中，转移给质点系的能量为：由动能定理可知：，其中为质点系初动能联立各式可得：八、（20分）太阳是我们赖以生存的恒星，它的主要成分是氢元素，在自身引力的作用下收缩而导致升温，当温度高到一定程度时，中性原子将电离成质子和电子组成的等离子体，并在其核心区域达到约1.5107K的高温和1.6105kg/m3以上的高密度，产生热核聚变而放出巨大能量，从而抗衡自身的引力收缩达到平衡，而成为恒星。太阳内部主要核反应过程为：（I）

21、，（II），（III）其中第一个反应的概率由弱相互作用主导，概率很低，这恰好可以使得能量缓慢释放。反应产物正电子e+会与电子e-湮灭为射线，即：（IV）已知：质子（1H）、氘（D）、氦-3（3He）、氦-4（4He）和电子的质量分别为938.27、1875.61、2808.38、3727.36和0.51（MeV/c2）（误差为0.01MeV/c2），c为真空中的光速，中微子ve的质量小于3eV/c2.普朗克常量h=6.62610-34Js，c=3.0108m/s，玻尔兹曼常量k=1.38110-23JK-1，电子电量e=1.60210-19C.（1）试用理想气体模型估算处于热平衡状态的各种粒子

22、的平均动能及太阳核心区的压强（请分别用eV和atm为单位）；（2）反应式（II）总的x是什么粒子（、p和n之一）？请计算该粒子的动能和动量的大小，是否可以找到一个参考系，使得x粒子的动能为零？（3）给出反应式（I）中各反应产物的动能的范围；（4）反应式（IV）中的射线（光子）经过很多次的康普顿散射到达太阳表面的时候，其波长约为5.410-7m.设入射光子的能量为E0，一次散射后光子的能量为E，光子的散射角为（出射光子动量相对于入射光子动量的夹角），推导出由E0和表示的E的表达式；假设从太阳中心到表面，光子经历了1026次康普顿散射，且每次散射的角度相同，求每一次的散射角.解析：（1）题中等离子

23、体可视为单原子分子理想气体，则它们的平均动能为：分析可知，等离子体中主要为质子和电子，而且二者必定摩尔数相同，故它们对压强的贡献相同，另外，电子质量相对于质子来说可以忽略不计，故等离子体密度可视为只有质子的贡献，由克拉珀龙方程可知，则等离子体总压强可表示为：（2）由反应前后电荷守恒可知，x粒子必定是中性粒子由（1）可知质子和氘核的平均动能只有约0.002MeV，与其静能相比可忽略不计，故可认为反应前质子和氘核都静止，则由能量守恒可知x粒子总能量为：由上式可知，x粒子静止质量满足在题中所给几个粒子中，只有光子符合，即x粒子为光子。则有则x粒子总能量为：x粒子总能量为：（3）由（I）反应前后能量守恒可知：由氘核的质量远大于正电子和中微子，故其动能很小，可以忽略不计，则有：，（4）设入射光子频率为v0，散射光子频率为v，碰后电子速度为，分子可知，碰前电子动能很小可忽略。m由能量守恒可知：由动量守恒和余弦定理可知：将相对论效应下质量带入以上两式，联立可得：对上式变化可得：考虑到出射光子能量为，入射光子能量为，上式可变为：考察光子从产生到运动到太阳表面的整个过程有：另外，由反应IV可知，解上式可得：考虑到：，则有：10