实验五FIR数字滤波器的设计

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1、班 级09电本一班学号 2009041501姓 名陈丽琼 同组人 实验日期2011.12.27 室温 大气压 成 绩 实验题目： 实验五 FIR数字滤波器的设计一、实验目的(1)掌握用窗函数法、频率采样法及优化设计法设计 FIR 滤波器的原理及方法，熟悉相应的 MATLAB 编程。 (2)熟悉线性相位 FIR 滤波器的幅频特性和相频特性。 (3)了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。二、实验原理:（一）线性相位实系数 FIR 滤波器按其 N 值奇偶和 h(n)的奇偶对称性分为四种： 1、h(n)为偶对称，N 为奇数;H(ej)的幅值关于 =0，2 成偶对称。 2、h(n)为偶对称，N 为偶数;

2、H(ej)的幅值关于 = 成奇对称，不适合作高通。3、h(n)为奇对称，N 为奇数;H(ej)的幅值关于 =0，2 成奇对称，不适合作高通和低通。 4、h(n)为奇对称，N 为偶数;H(ej) 0、2=0，不适合作低通。 (二) 窗口法 窗函数法设计线性相位 FIR 滤波器步骤 1、确定数字滤波器的性能要求：临界频率k，滤波器单位脉冲响应长度 N； 2、根据性能要求，合理选择单位脉冲响应 h(n)的奇偶对称性，从而确定理想频率响应 Hd(ej)的幅频特性和相频特性；3、求理想单位脉冲响应 hd(n)，在实际计算中，可对 Hd(ej)按 M(M 远大于 N)点等距离采样，并对其求 IDFT 得

3、hM(n)，用 hM(n)代替 hd(n)；4、选择适当的窗函数 w(n)，根据 h(n)= hd(n)w(n)求所需设计的 FIR 滤波器单位脉冲响应；5、求 H(ej)，分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度 N，重复上述设计过程， 以得到满意的结果。 窗函数的傅式变换 W(ej)的主瓣决定了 H(ej)过渡带宽。W(ej)的旁瓣大小和多少决定了 H(ej)在通带 和阻带范围内波动幅度，常用的几种窗函数有：（1）矩形窗(Rectangle Window) w( n) = R N ( n) （2）汉宁(Hanning)窗，又称升余弦窗 （3）汉明窗，又称改进的升余弦窗（4）

4、布莱克曼(Blankman)窗，又称二阶升余弦窗（5）凯塞(Kaiser)窗 其中：是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来，越大，过渡带越宽，阻带 越小衰减也越大。I0()是第一类修正零阶贝塞尔函数。 若阻带最小衰减表示为，的确定可采用下述经验公式： （三）频率采样法 频率采样法是从频域出发，将给定的理想频率响应 Hd(e )加以等间隔采样，然后以此 Hd(k)作为实际 FIR 数字滤波器的频率特性的采样值 H(k),由 H(k)通过 IDFT 可得有限长序列 h(n) ， 然后进行 DTFT 或 Z 变换即可得 H (e j) (四）FIR 滤波器的优化设计 FI

5、R 滤波器的优化设计是按照最大误差最小化准则，使所设计的频响与理想频响之间的最大误差，在 通带和阻带范围均为最小，而且是等波动逼近的。 为了简化起见，在优化设计中一般将线性相位 FIR 滤波器的单位脉冲响应 h(n) 的对称中心置于 n=0 处，此时，线性相位因子 =0。令 N=2M+1，则 如希望逼近一个低通滤波器，这里 M， c 和 r 固定为某个值。在这种情况下有 定义一逼近误差函数： E ( ) = W ( ) H d (e j ) -H (e j ) E()为在希望的滤波器通带和阻带内算出的误差值，W()为加权函数，K 应当等于比值 1/2，1 为通带波动，2 为阻带波动。在这种情况

6、下，设计过程要求|E()|在区间 0 c 和 r 的最大值为最小， 它等效于求最小 2。 根据数学上多项式逼近连续函数的理论， 用三角多项式逼近连续函数，在一定条件下存在最佳逼近的三角多项式，而且可以证明这个多项式是唯 一的。这一最佳逼近定理通常称作交替定理。 在逼近过程中，可以固定 K，M， c 和 r ，而改变 2，按照交替定理，首先估计出(M+2)个误差函 数的极值频率 i ，i=0,1,.,M+1，共计可以写出(M+2)个方程 式中 表示峰值误差。一般仅需求解出 ，接着便可用三角多项式找到一组新的极值频率点，并求出新 的峰值误差 。依此反复进行，直到前、后两次 值不变化为止，最小的 即

7、为所求的 2。 这一算法通常称作雷米兹(Remez)交替算法。三、实验内容：（1） N=45，计算并画出矩形窗、汉明窗、布莱克曼窗的归一化的幅度谱，并比较各自的主要特点。 主要代码如下：n=45;y1=boxcar(n);h1,w1=freqz(y1,n);subplot(3,1,1);plot(w1/pi,20*log(abs(h1);grid;title(boxcar);y2=hamming(n);h2,w2=freqz(y2,n);subplot(3,1,2);plot(w2/pi,20*log(abs(h2);grid;title(hamming); y3=blackman(n);h3

8、,w3=freqz(y3,n);subplot(3,1,3);plot(w3/pi,20*log(abs(h3);grid;title(blackman); 运行结果如图： 分析： 矩形窗函数具有最窄的主瓣宽度，但有最大的旁瓣峰值；汉明窗函数的主瓣稍宽，而旁瓣较小；布莱克 曼窗函数则更甚之。 矩形窗设计的滤波器过渡带最窄，但是阻带最小衰减也最差； 布莱克曼窗设计的滤波器阻带衰减最好，过度带最宽，约为矩形窗设计的的三倍。 汉明窗设计的滤波器处于矩形窗和布莱克曼窗之间。 （2） N=15，带通滤波器的两个通带边界分别是 1 = 0.3 ， 2 = 0.5 。用汉宁（Hanning）窗设计此线 性相

9、位带通滤波器，观察它的实际 3dB 和 20dB 带宽。N=45，重复这一设计，观察幅频和相位特 性的变化，注意长度 N 变化的影响。 程序如下：n=15;wn=0.3,0.5b=fir1(n,wn,Hanning(n+1);h,w=freqz(b,1,512);freqzplot(h,w);title(n=15 Hanning);figure;n=45;wn=0.3,0.5b=fir1(n,wn,Hanning(n+1);h,w=freqz(b,1,512);freqzplot(h,w);title(n=45 Hanning);运行结果如图： 所设计滤波器的 h(n): 相应的幅频相频特性曲

10、线： 分析： 观察它的实际 3dB 和 20dB 带宽，发现 N=15 时，其 3DB 带宽约为 0.2pi,20db 带宽约为 0.45pi； N=45 时，其 3DB 带宽约为 0.16pi,20db 带宽约为 0.3pi 5 DSP 试验 04008012 可见 N 增大，其 3db 带宽和 20db 带宽分别减小，滤波器特性变好，过渡带变陡，幅频曲线显示其通 带较平缓，波动小，阻带衰减大。相频特性曲线显示其相位随频率变化也变大。（3） 分别改用矩形窗和 Blackman 窗，设计（2）中的带通滤波器，观察并记录窗函数对滤波器幅频特 性的影响，比较三种窗的特点。 程序如下： n=15;w

11、n=0.3,0.5b=fir1(n,wn,boxcar(n+1);h,w=freqz(b,1,512);freqzplot(h,w);title(n=15 boxcar);figure;n=45;b=fir1(n,wn,boxcar(n+1);h,w=freqz(b,1,512);freqzplot(h,w);title(n=45 boxcar);figure;n=15;b=fir1(n,wn,blackman(n+1);h,w=freqz(b,1,512);freqzplot(h,w);title(n=15 blackman);figure;n=45;b=fir1(n,wn,blackman

12、(n+1);h,w=freqz(b,1,512);freqzplot(h,w);title(n=45 blackman); 相应的幅频曲线如图： 分析：从以上图可见： 同一 N 值，分别用矩形窗，汉宁窗，汉明窗，布莱克曼窗设计滤波器时，主瓣宽度逐渐增大,过渡带 变宽，但阻带衰减性能变好；N 增加，主瓣变窄，旁瓣的分量增加，过渡带变陡，起伏震荡变密。 加窗处理对滤波器的频率响应会产生以下主要影响： （1）使理想特性不连续的边沿加宽，形成一过渡带，过渡带的宽度取决于窗函数频谱的主瓣宽度。 （2）在过渡带两旁产生肩峰和余振，它们取决于窗函数频谱的旁瓣；旁瓣越多，余振也越多；旁瓣相 对值越大，肩峰则越

13、强。 （3）增加截断长度 N ，只能缩小窗函数频谱的主瓣宽度而不能改变旁瓣的相对值；旁瓣与主瓣的相对 关系只决定于窗函数的形状。因此增加 N，只能相对应减小过渡带宽。而不能改变肩峰值。肩峰值的大 小直接决定通带内的平稳和阻带的衰减，对滤波器性能有很大关系。 （4） 用 Kaiser 窗设计一专用线性相位滤波器，N=40， H d (e j ) 如图，当 =4、6、10 时，分别设计、 比较它们的幅频和相频特性，注意 取不同值时的影响。 程序如下：n=40;wn=0.2,0.4,0.6,0.8;b=fir1(n,wn,kaiser(n+1,4);h,w=freqz(b,1,512);freqzp

14、lot(h,w);title(kaiser beta=4);figure; b=fir1(n,wn,kaiser(n+1,6);h,w=freqz(b,1,512);freqzplot(h,w);title(kaiser beta=6);figure;b=fir1(n,wn,kaiser(n+1,10);h,w=freqz(b,1,512); freqzplot(h,w);title(kaiser beta=10); 运行结果如图：分析： 越大，w(n)窗越窄，频谱的旁瓣越小，但主瓣宽度也相应增加，过渡带变宽，相位特性变好。（5） 用频率采样法设计（4）中的滤波器，过渡带分别设一个过渡点，令

15、H(k)=0.5。比较两种不同方法的结果。程序如下：n=40;w=0 0.175 0.2 0.225 0.375 0.4 0.425 0.575 0.6 0.625 0.775 0.8 0.825 1;m=0 0 0.5 1 1 0.5 0 0 0.5 1 1 0.5 0 0;b=fir2(n,w,m);h,w=freqz(b,1,512);freqzplot(h,w);title(频率采样法); 运行结果如右图所示：分析： 四：实验思考题1 定性地说明用本实验程序设计的 FIR 滤波器的 3dB 截止频率在什么位置？它等于理想频率响应 Hd(ej) 的截止频率吗？ 答：三分贝截止频率在主瓣内

16、，幅度为最大幅度的一半的位置。它理论上不等于理想频率响应的截止频率，因为加了窗函数，频域上相当于是理想频率响应乘以窗函数，因此不一样。实验中读出的3dB带宽刚好和给的数值一样只是因为读数的误差，由图读得的比较不精确。2.如果没有给定 h(n)的长度 N， 而是给定了通带边缘截止频率 c 和阻带临界频率 p， 以及相应的衰减， 你能根据这些条件用窗函数法设计线性相位 FIR 低通滤波器吗？ 答：可以，先根据不同窗函数的最小阻带衰减不同来选择适合（有不同的选择方法，只要符合条件即可）的窗函数，再利用主瓣宽，计算出N的值，下面就可以按前面的方法进行设计了。六、实验总结通过本实验FIR滤波器的设计，采用窗函数法，进一步熟悉了滤波器的设计，掌握了用窗函数设计FIR数字滤波器的原理及方法，熟悉了相应的计算机高级语言编程，从所做的图中也更熟悉了FIR滤波器的幅频和相频响应，也更清楚地知道了各种窗函数的不同。主瓣宽度和旁瓣高度是互相矛盾的两方面，主瓣宽度反映的是滤波器的通带频率和阻带频率，旁瓣高度则反映了滤波器的阻带衰减特性，设计时要兼顾双方，根据滤波器的要求相互协调。7