布里渊区与倒格子原胞

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1、第 16 卷第 1 期1 9 9 7 年1 月大 学 物 理COL L E GE PH YS IC SV o l. 16 N o. 1J an.1997布里渊区与倒格子原胞进1)李光惠2)李(1) 东京大学机械工学系, 东京, 113, 日本; 2) 荆州师范专科学校物理系, 湖北荆沙 434104) 摘 要 用简单数学方法就体心立方晶格和面心立方晶格证明了三维情况下布里渊区体积等于倒格子原胞体积. 同时提出证明高阶布里渊区与简约布里渊区体积相等的一种简捷方法.关键词 布里渊区; 倒格子原胞; 维格纳- 赛兹原胞分类号 O 481. 1a 3 a 1(2)b2 =1引言a r ()2 a 3

2、a 1在正空间中, 正格子原胞体积等于维格纳赛兹原胞体积; 在倒空间中, 倒格子原胞体积 等 于 简 约 布 里 渊 区 体 积, 这 已 被 公 认. N. W .A sh c ro f t 仅就二维布拉菲格子中的一种特例用 割补平移法做了证明1 . 但对于三维倒格子, 由于布里渊区形状比较复杂, 迄今未见定量证明. 本文就体心立方和面心立方格子两种特例用简 单数学方法证明了布里渊区体积等于倒格子原 胞体积, 这种方法对于任意布拉菲格子都适用. 本文还指出了证明高阶布里渊区与简约布里渊区体积相等的一种方法.a 1 a 2b3 =a 3 r (a 1 a 2 )则以 b1、b2、b3 为边矢量

3、的平行六面体是倒格子中最小的周期性重复单元, 称之为倒格子原胞,其体积为8 =b1 r (b2 b3 )(3)不难证明, 正格子原胞体积和倒格子原胞体积2互为倒数 ,8 = 1V 0(4)虽然, 正格其矢 a 1、a 2、a 3 的选取不是唯一的, 但是对于确定的晶格, 其倒格子是唯一确定 的. 若 a 1、a 2、a 3 选定, 则相应的 b1、b2、b3 也是确定的. 然而, 对于上述的原胞, 只描述了最小周期性一个侧面, 为了使选取的单元既有最小周 期性, 又参反映出对称性, 则有时在正格子中选 某一格点为原点, 作最近邻或最近邻和次近邻2正格子原胞与倒格子原胞固体物理中, 若正格基矢为

4、 a 1、a 2、a 3 , 则以a 1、a 2、a 3 , 为边矢量的平行六面体是晶格中最小 的周期性重复单元, 称之为原胞, 其体积为V 0 = a 1 r (a 2 a 3 )(1)正格矢的垂直平分面围成的区域作为原胞, 这定义倒格基矢 b1、b2、b3 , 它们与 a 1、a 2、a 3 的关系为- 赛兹原胞1 .就是所谓的维格纳相应地, 在倒格子中也可以作出所有倒格a 2 a 3b1 =矢的中垂面围成一些区域, 这就是由方程3a r (a1 2 a )3K h r (k +1 K h ) = 0(5)2收稿日期: 1996- 05- 28所描述的各个面所围成的区域, 即布里渊区. 式

5、中, k 是波矢, Kh 是倒格矢.下面我们将分别以体心方立晶格和面心立 方晶格为倒, 证明布里渊区体积等于倒格子原 胞体积.C = 1 (100)aD =1 (111)(8)2a由式 (8) 可得3体心立方晶格(9)A C =2 aB D = 1a所以菱形 A B CD 的面积不难证明, 对于体心立方晶格, 正格子原胞体积为a 3 2V 0 = a 1 r (a 2 a 3 ) =其倒格子原胞体积为(6) 1 2 S =A C B D =(10)222a不难求出, 以菱形 A B CD 为底、顶点为 #角锥之高的四2a 38 =b1 r (b2 b3 ) =(7)式中, a 是体心立方晶格正

6、格子中典型立方单元的边长.众所周知, 体心立方晶格的倒格子是面心立 方晶格, 由最近邻倒格矢中垂面围成的区域是菱形十二面体, 即第一布里渊区, 如图 1 所示.122h =2 r=(11)42aa四角锥 #A B CD的体积8 1 = S h 3 = 16a 3所以菱形十二面体的体积为8 = 128 1 = 2a 3(12)(13)比较式 (13) 和 ( 7) , 可以得出, 对于体心立方晶格第一布里渊区体积与倒格子原胞体积相等.4面心立方晶格对于面心立方格子其倒格子是体心立方格子. 正格子原胞体积为V 0 = a 1 r (a 2 a 3 ) = a 3 4则倒格子原胞体积为8 = b1

7、r (b2 b3 ) = 4a 3式中, a 是 正 格 子 中 典 型 立 方 单 元 边 长.(14)图 1 体心立方晶格第一布里渊区(15)由 式下面将证明此菱形十二面体的体积与上述的以 b1、b2、b3 为边矢量的平行六面体即倒格子 原胞的体积相等.因为正格子中典型立方单元边长为 a , 则倒 格子中典型立方单元边长 E F = 2a. 不难看出,此菱形十二面体是由面积相等的十二个菱形面为底、顶点均在 # 点的十二个四角锥组成的. 我们 先求底面为菱形 A B CD 的四角锥的体积. 显然,( 5) 所决定的第一布里渊区是由近邻和次近邻倒格矢中垂面围成的区域, 即图 2 所示的截角A

8、、B 、C、D四个点的坐标分别为A = 1 (001)a-B =1 (1 1 1)2a图 2 面心立方晶格第一布里渊区八面体. 由于正格子中典型立方单元边长为 a ,不难求出其倒格子中典型立方单元边长M N =2a ( 图 2). 欲求此截角八面体体积, 可以把它 看成是由正方形 A B CD 为底, 顶点在 # 的六个因此, 图 2 所示的截角八面体体积为8 = 68 1 + 88 2 = 4a 3(21)比较式 (15) 和 (21) , 可以看出, 对于面心立方格子第一布里渊区体积与倒格子原胞体积也相 等.体积相等的四角锥与以正六边形 A B E F GH为底、顶点也在 # 点的八个体积

9、相等的六角锥构成的. 由图 2 可以看出, A 、B 两点的坐标分别 为5结语用类似的方法也可证明其他类型的布拉菲格子中第一布里渊区体积与倒格子原胞体积相 等. 对于高阶布里渊区, 也可以用此方法先求出 第 n 布里渊区所属的外边界面所围的总的体A = 1 a (012)2(16)B =1 a (102)2所以正方形A B CD 的边长A B =积, 然后再扣除第 n -1 区所属的外边界面所围2 2a , 面积(17)的体积, 这样可以得出第 n 布里渊区的体积. 同样可以证明, 对于确定的布拉菲格子各个布里 渊区的体积相等, 它们均等于其倒格子原胞体 积. 由此可以看出, 尽管用简单数学方

10、法仅就体 心立方和面心立方两种晶格特例作了证明, 但这种处理方法对任意类型的布拉菲格子都是适 用的 .(A B ) 2 = 12a 2S 1 =显然, 以正方形 A B CD 为底、#锥之体积为为顶点的四角8 1 =1 S 1 h 1 =1111=32a 2 a6a 33(18)而正六边形 A B E F GH的面积S 2 = 6 1 (A B ) 2 sin 60. =336参考文献(19)4a 221A sh c ro f t N e il W , M e rm in N D av id. So lid S ta te P h y sic s.H o lt R ineh a r t and

11、 W in sto n , 1976. 72, 75刘友之, 聂向富, 蒋生蕊. 固体物理学习题指导. 北京: 高等 教育出版社, 1988. 56 57黄昆原著, 韩汝琦改编. 固体物理学. 北京: 高等教育出版 社, 1988. 175所以, 以正六边形 A B E F GH 为底、# 为顶点的六角锥体积为28 2 =1 S 2 h 2 =1 3333=4a 28a 3(20)332a3BR ILLO U IN ZO NE A ND REC IPROCAL L A TT ICE PR IM IT IVE CELLL i J in 1)L i Gu an gh u i2)(1) M ech

12、an ica l E ng inee r ing C lu ste r, U n ive r sity o f T o k yo , J ap an,113;2) D ep a r tm en t o f P h y sic s, J ingzho u T each e r s Co llege, J ing sh a, H ube i, 434104, C h ina)A bstra c tIt is p ro ved th a t th e vo lum e o f B r illo u in zo n e an d th a t o f th e rec ip ro ca l la t

13、t icep r im it ive ce ll a re equ a l fo r b cc la t t ice an d fcc la t t ice in th ree d im en sio n s b y a sim p le m a th em a t ica lm e tho d. A co n c ise m e tho d is g iven to p ro ve th a t th e vo lum e o f th e h igh - o rde r B r illo u in zo n e an d th a t o f th e redu ced B r illo u in zo n e a re equ a l.Key word s B r illo u in zo n e; rec ip ro ca l la t t ice p r im it ive ce ll; W ign e r- Se itz p r im it ive ce ll