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1、余弦定理教学案例天印高级中学 张梅一、 教材分析及设计思路1、教材分析 “余弦定理”是全日制普通高级中学教科书（数学必修5）第一章第一节的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究
2、的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。2、设计思路 根据“情境 -问题”教学模式，沿着“设置情境-提出问题-解决问题-反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境-问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根
3、据上述精神，做出了如下设计：（1）创设一个现实问题情境作为提出问题的背景（2）启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边（3）为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。证明时，关键在于启发、引导学生如何将
4、向量关系转化成数量关系（4）由学生独立使用已证明的结论去解决中所提出的问题教学目标：1、掌握余弦定理及其证明方法；2、会运用余弦定理解三角形；能力目标：培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力，以及观察、分析、类比、计算能力；德育目标：通过知识间的联系，体现事物的普遍联系与辩证统一；教学重难点：余弦定理的推导、证明及应用；教法学法：教师的“引导式教学”和学生的“研究性学习”相结合二、教学过程、设置情境 自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆 BC的长度（如下图），已知车箱的最大仰角为60，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC的长
5、为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。、提出问题师：大家想一想，能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模）能，在三角形 ABC，已知AB1.95m,AC1.40m，BAC606206620，求BC的长。师：能用正弦定理求解吗？为什么？不能。正弦定理主要解决：已知三角形的两边与一边的对角，求另一边的对角；已知三角形的两角与一边，求角的对边。师：这个问题的实质是什么？在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。（一般化）三角形 ABC，知ACb，BCa，角C，求AB。III、解决问题师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？先从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。（
6、特殊化）可以先在直角三角形中试探一下。直角三角形中 c 2 =a 2 +b 2 （勾股定理角C为直角）斜三角形ABC中（如图3），过A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为直角三角形。（联想构造）师：垂足 D一定在边BC上吗？不一定，当角 C为钝角时，点D在BC的延长线上。（分类讨论，培养学生从不同的角度研究问题）在锐角三角形 ABC中，过A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB 2 AD 2 BD 2 ，在直角三角形ADC中，ADACsinC, CDACcosC 即ADbsinC, CDbcosC又 BDBC-CD,即BDa-bcosC c 2 =(bsinC) 2 +(a-bc
7、osC) 2=b 2 sin 2 C+a 2 -2abcosC+b 2 cos 2 C=a 2 +b 2 -2abcosC同理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosAb 2 =a 2 +c 2 -2accosB在钝角三角形 ABC中，不妨设角C为钝角，过A作AD垂直BC交BC的延长线于D，在直角三角形 ADB中，AB 2 AD 2 BD 2 ，在直角三角形ADC中，ADACsin（-C）,CDACcos（-C），即ADbsinC, CD-bcos C，又BDBCCD,即BDa-bcosC c 2 =(bsinC) 2 +(a-bcosC) 2=b 2 sin 2 C+a 2 -2abco
8、sC+b 2 cos 2 C=a 2 +b 2 -2abcosC同理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosAb 2 =a 2 +c 2 -2accosB同理可证 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosAb 2 =a 2 +c 2 -2accosB师：大家回想一下，在证明过程易出错的地方是什么？IV、反思应用师：同学们通过自己的努力，发现并证明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，请大家考虑一下，余弦定理能够解决哪些问题？知三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角
9、的余弦的积的两倍。师：请同学们用余弦定理解决本节课开始时的问题。（请一位同学将他的解题过程写在黑板上）解：由余弦定理，得BC1.89(m)答：顶杆BC约长1.89m。师：大家回想一想，三角形中有六个元素，三条边及三个角，知道其中任意三个元素，是否能求出另外的三个元素？不能，已知的三个元素中，至少要有一个边。师：解三角形时，何时用正弦定理？何时用余弦定理？已知三角形的两边与一边的对角或两角与一角的对边，解三角形时，利用正弦定理；已知三角形的两边和它们的夹角或三条边，解三角形时，利用余弦定理。巩固练习：课本第 9页练习2、3、4三、教学反思 本课中教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了落实。
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