《等比数列的前n项和》(第一课时)教学设计海南省洋浦中学周丽宇一,教材分析

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1、等比数列的前 n 项和（第一课时）教学设计 海南省洋浦中学 周丽宇 一、教材分析 1. 1. 在教材中的地位与作用 在数列一章中，等比数列的前 n n 项和是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它 不仅是等差数列的前 n n 项和与等比数列的顺延，也是前面所学函数的延续，实质上 是一种特殊的函数， 而且还为后继深入学习提供了知识基础， 错位相减法是一种重要的数学思想 方法，是求解一类混合数列前 n n 项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识结构 和人文价值来看， 等比数列与等差数列是平行结构关系， 两者之间存在着一定联系， 可以进行类 比，拓展学生发现、创新的能力，等比数列的前

2、n n 项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、 归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神 , , 是增强学生应用意识和数学能力的良好载 体；从知识的应用价值来看， 它是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型， 前 n n 项和公式 的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法， 如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。 等比数列的前 n n 项和在现实生活中有着广泛的实际应用， 如储蓄、分期付款的有关计算等， 而且 公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学 习和工作中必备的数学素养。 2 2教材编排与课时安排 提出问题一探究等比数列前 n

3、n 项和公式一公式运用一问题解决。 本节“等比数列的前 n n 项和”这部分内容授课时间为 2 2 课时，本节课作为第一课时，重在研 究等比数列的前 n n 项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公 式的结构特征和内在联系。 二、 教学目标分析 依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下： 【知识与技能】 理解等比数列的前 n n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前 n n 项和公 式并能运用公式解决一些简单问题，一是已知等比数列基本量而求其前 n n 项和；二是已知前 n n 项和而逆向求解数列基本量；三是基本思想方法的运用。 【过

4、程与方法】 感悟并理解公式的探求过程，感受公式探求过程所蕴涵的的思维方法， 渗透类比思想、 方程思想、分类讨论思想， 优化思维品质， 初步提高学生的数学问题意识和探究、 分析与解决问题的能力。 【情感、态度与价值观】 通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练， 激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的 体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。 三、 重、难点分析 【教学重点】 等比数列前 n n 项和公式的推导及其简单应用。从知识体系看，为后继学习 提供了知识基础，具有承上启下的作用；就知识特点而言，蕴涵丰富的思

5、想方法；就能力培养来 说，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。 【教学难点】 等比数列前 n n 项和公式推导方法的理解。从学生认知发展水平看，探究能 力和用数学语言交流的能力有待提高。从知识特点看，等比数列前 n n 项和公式的推导与等差数列 的前 n n 项和公式的推导的可进行类比推导，但需要充分挖掘方法的本质，理解等比数列的概念和 性质，并能整合知识，做到融会贯通，而这对学生却是比较困难的。因此，教师在发挥学生主体 性前提下通过问题的逐层设置来给予适当的提示和指导。 四、 学情与教法分析 1 1 .学情分析 从学生思维特点和认知结构看，前面学生已经深入学习过函数、等差

6、数列及其前 n n 项和等 知识，能够把本节内容与等差数列前 n n 项和进行类比，另一方面，本节的公式推导所要求的计算 量更大，思维的深刻性更高。而且对 q q = 1= 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后继学 习使用过程中往往会出错。学生虽然具有一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形 成，但缺乏冷静、深刻，思维上具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识 比较模糊。 2 2 .教法分析 根据学生认知发展水平和心理结构特点，结合教学内容的难易程度，在教学过程中可以利用 计算机多媒体和实物投影等辅助教学，采用引导启发教学法和探究- -建构教学相结合的教学模式

7、， 着重于学生的发现、探索和运用，并辅以变式教学，注意适时适当讲解和演练相结合。 3 3.教学构想 等比数列前 n n 项和公式的推导是本节课的重点内容，要积极引导学生观察实例，发现规律， 类比推理，推导归纳，总结反思，增强认知，强化运用。 课后可以给出等比数列前 n n 项和公式 推导的其他方法，以提高学生学习的兴趣，开拓学生的思维视野。例题和巩固练习的选择要全面， 不能忽略 q=1q=1 的情况，注意分类讨论思想的渗透。通项公式与前 n n 项和公式的综合运用涉及五 个基本量，要对已知其中三个量求另两个量进行强化训练，但要注意避免难度较大的指数方程的 求解。 五、 教具准备 教科书（必修

8、5 5） 多媒体课件和操作系统 六、 教学过程 （一） 问题情境 从前，有个贪婪的地主，总是剥削他的佃农，有一天，农夫终于想到了一个办法来对付这个地主。 春天到来时，地主对农夫说： “一年之计在于春，又到了春播时节了。你到地里干一个月（ 30天）的活， 先来谈谈你的工钱。哎，最近官吏征收繁多，地主家也没有多少余粮啊。 ” 农夫说：“这样吧，工钱不要了，我每天给你一袋米（ 40斤），你第一天给我一粒大米，第二天给我两粒， 第三天四粒，第四天八粒以后每天给我的大米数是前一天的 2倍。你看如何？” 地主心想：第一天1粒，第二天2粒，第三天4粒，第四天8粒居然有这么笨的农夫，我一把米可以换 他多少袋米

9、啊。哈哈，我赚大发了。 地主就马上同农夫进行了签字画押。 （二） 问题探究 问题1:这个故事中，地主中计了吗？到底谁吃亏了？ 答： 问题2：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？ 答： 问题3：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？ （ 1000粒米约40克） 答： _ 问题4：这是什么数列求和？求前多少项的和？ 答： _ 问题5:如何求出这个和？用计算器怎么样? 答： _ 问题6:等差数列有求和的公式，那么等比数列是否也有求和的公式呢？若有就直接代入公式计算。 答： _ 问题7:怎样求等比数列的前 n项和公式？ 答： _ 问题&能否类比等差数列前 n项和公式的求法？ 答： _ （三） 方法回顾 回顾

10、等差数列求和公式的推导过程： 数列an为等差数列，其前n项和为Sn,则Sn 1 a2川a-an 根据式，如何构造另一个式子？ _ 把这两个式子怎么样？ 再利用性质化简，最后得出公式。这种方法叫做 _ ，其目的是 _ （四） 类比探究 问题1：对于等比数列an，是否也能用倒序相加的方法进行求和 Sn二aia2 -anj - an呢？请大家动手 试试。 解析1： _ 解析2： _ 反思：对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法。而是要挖掘 _ （求和的 _ ）。 问题2：求和的根本目的是什么？ 答： 改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用 _ 来表示，即sn= _ 问题3：观察求和的式子，相

11、邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？ 答 _ 问题4：类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子，而要达到消项的目的，就须使两式具有 _ 问题5：如何构造式子？ 答 _ 问题6：为了消项，接下来将这两个式子怎么样？ 答： 问题7：要求出Sn，是否可以把上式两边同除以 1-q ？ 答： 注意： _ 是一种常用的数学思想方法！ 探究成果： 等比数列an的前n项和为Sn二at a2 an 则当 _ 时，S n= _ ； 当 _ 时，S= _ _ 方法小结： 联想我们学过的知识，即类比 _ ，挖掘其方法的 _ （求和的根本目的是 _ ） ,结 合等比数列自身的 _ 来构造式子，再把两式 _ ，

12、这种方法叫做 _ 课后思考：用错位相减法求和时只能乘以公比吗？能否乘以其它的数？ （五） 方程探究 问题1：还有其它的推导方法吗？ 问题2：根据式 氏a1qn a1qn的特点，能否建立一个关于 Sn的方程？若能，就可从方程 中解出Sn 问题3：式的左边是Sn,要建立一个关于Sn的方程，那就要将式的右边也用含 _ 的式子来表示。 问题4：观察式的右边，从第二项开始，每一项都含有因式 _，是否可考虑将之提出来？ 答： _ 问题5：括号里面的，与式右边对照，少了哪一项？ 答： 问题6：括号里面的，怎样用含 Sn的式子表示？ 答： _ 问题7：这样就得到了一个什么方程？ 答： 问题&解方程时要注意对

13、_ 进行 _ 。 过程小结： 根据等比数列求和式子的特点， 对其部分项提出公因式后， 可将其用含 _ 的式子表示出来， 从而建立 关于 _ 的方程，解此方程即可。 注意： _ 是一种重要的数学思想方法！ 课后思考：对和式的右边部分，只能提出公比吗？能否提出其它的公因式？ （六） 熟悉理解公式 等比数列a.的前n项和为Sn，贝U 当 q=1 时，S n=nai . , ai （1 qn） 当 qz 1 时，S n= i q 思考1：根据公式，要求一个等比数列的前 n项和，一般要先求出哪些量？ 答: _ 思考2：能否将Sn用a1, q , an来表示？ 答： _ 思考3：什么时候用公式，什么时候用

14、公式？ 答： _ （七） 公式的应用 例1.求下列等比数列前 8项的和. “、1 1 1 (1) 2 4 8 a1 - 2727 , 1 门 a9 , q : 0 243 解题思路： 先求岀 ，再用 求 解： 思考：能否用公式求S S8 ？ 答: _ 变式1判断正误: _2 4 _8 亠 亠（_2）n 丄=口1 （ ） 1-2 1 2 22 2彳亠 亠2n 二1 （ ） 12 1 a a2 an）二1 U 口 （ ） 1 -a 反思总结： 用等比数列前n项和公式前，要先弄清楚数列的 _ 变式2填空： 题号 q n 1 3 2 6 2 8 0.5 0.5 3 -1.5 4 96 4 1.5 3

15、4.5 5 -2 -96 -66 反思总结： 在等比数列中，已知 a1、q、n n、a an、&中的 _ 个，可求另外 个。 如果不能用公式直接求出某个量，就要建立 _ 来求解 （八）问题解决 地主一共要给农夫的米粒的总数为 S S3 3 = =1 1 2 2 2 22心772 229 = 粒呼 斤（1000粒米约40克） 启示：这个故事告诉了我们什么？ _ _ _ （九）课堂小结 这节课我们主要学到了什么？ 1 .一个公式： _ 2 .两种方法： _ 3 .三种数学思想： _ （十）作业布置 1. 必做题：教材61页第1、2、3题。 2. 课外思考题： （1） 求数列1, 1, 3a, 5a

16、3a, 5a2, , 7a7a3, ,的前n项和. （2） 请从等比数列定义的两种形式出发，分别用不同的方法推导出等比数列前 n项和的公式： 形式a2 a3 an q q a a1 a a? a a* 形式 八、教学设计说明 问题情境故事化。米用语音动画形式叙述故事来创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习 气氛，激发学生的探究欲，让学生感受数学的应用价值，通过问题的解决，在特殊方法之中蕴涵 一般规律，使学生自己去体会其中的思想方法，为进一步学习奠定基石。 问题情境与公式推导探究活动化。 教学中本着以学生发展为本的理念， 充分给学生思考、 分 析时间、讨论研究和交流展示思维的机会，通过他们自主学

17、习、合作探究 , , 展示学生解决问题的 思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断对话合作交流，发展学 生的数学观察能力和语言表达能力， 培养学生思维的发散性和严谨性。 通过教师的积极引导和启 发，借助于变式教学的模式，培养学生思维的发散性、深度与广度，加深学生对知识的理解。 巩固练习结构、层次化。在理解公式的基础上 , , 及时进行必要的思维训练练习，强化对公式 的理解和运用。通过例题的板书和分析，进一步强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有 助于学生形成知识模块，优化知识体系，加强对数学思想方法的感悟。 板书设计人性化。 必要的推理和演算过程板书在黑板上， 有助于学生的阅读和理解， 即时在 黑板上整理总结归纳知识，作到知识和思想方法的一目了然，方便学生作笔记。 通过几种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前 n n 项和公式.错位相 减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质学生从中深刻地领会到推导过程中 所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性。同时通过精讲例题， 发散一点变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能在此基础上，通过民主和谐的课堂氛 围，培养了学生自主学习、 合作交流的学习习惯， 也培养了学生勇于探索、 不断创新的思维品质。