高数竞赛试题集

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1、高数竞赛试题集精选文档TTMS system office room TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-高等数学竞赛二:填空题sinx ,、 u1 .若 lim :(COSX-Z?) = 5,贝ij a = , b =工.o ex - a2 .设/(%)= lim( J ,则/(x)的间断点为。=T8 厂 + 13 .曲线y=lnx上与直线x + y = l垂直的切线方程为 4 .已知 ff(ex) = xe 且/ (1) = 0.则 f (x) =x = t + 3f +15 .设函数y(x)由参数方程 码定，则曲线y = y(x)向上凸的x取值了 = /3-3/ + 1dydx

2、 v=l范围为 6 .设 y = arc tan。 - In .i ,则V ex +17 ,若x-O时，(1一。小尸一1与xsinx是等价无穷小，贝ija=/ 11XC , XV 8.设 /(%) = ,2 2 则=-1 9 .由定积分的定义知，和式极限limZ 2 小=人 + kc +8 dx10 .I=向:单项选择题11 .把 x 0,时的无穷小量 a = ( cosf，,/? = ( tan = sintlt,使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是【】(A)a,p,y ,(B) a,y,p.(C)/3,ct,y.(D)p,y,a.12 .设函数f(x)连续，且/(0)0,则

3、存在b0,使得 【(A) f(x)在(0, 5)内单调增加. (B) f(x)在(-6,0)内单调减少.(C)对任意的工(0,万)有 f(x)f(0) .(D)对任意的 X W(6,0)有 f(x)f(0).13 .设/(X)= k(l-X)|,则(A) x = o是/(X)的极值点.但(0,0)不是曲线y = /(x)的拐点.(B) x = 0不是/(x)的极值点，但(0,0)是曲线y = /(x)的拐点.(C) x = 0是/*)的极值点.且(0,0)是曲线y = /(x)的拐点.(D) x =。不是/W的极值点.(0,0)也不是曲线y = /(x)的拐点.14 . lim In小(1 +

4、 1)2(1 + 2)2.(1 + 32 等于 【】 n nnr 2r2r 2r 2(A) J】 In xdx. (B) 2j Inxdx.(C) 2，ln(l + x)tZr. (D) lrT(l + x)cZr/、 lxlsin(x-2)15 ,函数/(x) =予在下列哪个区间内有界.【】xx 1)( a- 2)(A) (1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).16 ,设/(x)在(，+)内有定义，且 lim/(x) = a, g(x) = yq),则 【20 ,x = 0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) .v = 0必是g

5、(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g*)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关.17 .设广(X)在短，W上连臾且rm)o，rs)vo,则下列结论中错误的是【】(A)至少存在一点内)使得/(与)/().(B)至少存在一点改)(/)，使得/(闻)/().(C)至少存在一点 X)(,/?),使得/(Xo)= O.(D)至少存在一点玉)(。/)，使得/(%)=0.1, x 018 .设/(x) = 0, A- = 0 , F(x) = j()K ,贝IJ1, x 。）及y = 0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其 乙S（tS（t体积为V）,侧面

6、积为S（f）.在工=，处的底面积为/“）.（1 ）求的值；（H） lim .V（t）一+= F（t）24 .设/*） , g（x）在。，加上连续，且满足 / （t）dt g 出，x ,），J aJ aJ aJ a证明：25 .某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减 速并停下,现有一质量为9000口的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力 与飞机的速度成正比（比例系数为k=6.0x106）.问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克， km/h表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项

7、选择题X21、若 lim(at-)= 0,则I x + 1(A) a = l, b = (B) a = -1, b = 1 (C) a = 1, b = -l (D) = T b = -lf/W -02、设尸(x) = j x ，其中/(x)在x = 0处可导且/(O)WO, /(0) =。，则x = 0是2工)的 7(0), x =。(A)连续点(B)第一类间断点(C)第二类间断点(D)以上都不是X3、设常数40,函数/(x) = lnx +攵在(0,+s)内等点的个数为_ (A) 0 (B)1 (C) 2(D) 3 4、若在0,1上有/(0) = g(0) = 0,l) = g(l) =

8、a0, 且尸(x)0, g(x) Z2 Z3(B)I2/3(C) Z3 Z2 /I(D)/35、由平面图形0axW,04yK/(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为(A) V = xf(x)dx (B) V=2/rJ f(x)dx (C) V = f(x)dx(D) V =j f(x)dx6、尸(1,3,7)关于平面 3x + y 2z = 0的对称点是_ (A) (5,-1,0) (B) (5,1,0) (C) (-5,-1,0) (D) (一5,0)7、设。为/+)，24代，A是。位于第一象限的部分，/(X)连续，则。7(x2+V)db =D(A) 8JJ/(x2Wo- (B) 0(C) J

9、：公(D) 41J/(x2+2Mo-4_48、为常数，则级数 sin(m/)_l _ A)绝对收敛(B发散C)条件收敛(D)收敛性与。的取值有关& L -二、填空题tan3 2x 八 x 、1、1 叫oD x e -12、具有个不相等实根的次多项式，其一阶导数的不相等实根至少有一个。3、对数螺线。=/在点(。,夕)=(6，9)处的切线的直角坐标方程为,4、设/(X)是 X 的二次多项式，且(l-x)/(x) + 2/(x)=。，/(0) = 1,则 /(X)=5、设丁 = $m犬，则山，=(/)。f 2 8x7+x4+4x3 + 2x2-3x + 1 .6、dx =oJ-2 x2+l7、若级数

10、(一十”收敛,则常数。= /I-1 n8、k rrr zln(x2 + y2 + z2 + 1) . f f 三重积分 ；-dxdydz.= 8,已知曲线y = 1-3/x + /?与x轴相切，则/可以通过。表示为方2 =/29、设Z为上半椭球面x + J+z2 = l, (0),已知Z的面积为S,则曲面积分94JJ (4x2 +9)，+ 36/)S =。HDD x?”一9,级数工卞-的收敛区间为o“1 310、三元函数 = z-/+2a)，在点(1,1,1)处沿该点的向径方向的方向导数为1 x101设/(一)= 7-,且/(X)可微，贝 iJ/(x)=，X +x11、设 y = j. Jsi

11、n/ 力(0 x /77T+拘0 2、已知函数y = /(x)对一切x满足 工划,1。+ 3*/。0=1一6-、且在点小工。处取得极值，问/(%)是极大值还是极小值，并证明你的结论。r 1 + In x fx ,四、计算下面积分J2、J3工/五、/(x，)为 ： Y + )2 W FX 2 上的连续函数，f(x, )0 =4 _x2_y? 一二U/(凡 v)dudv ,求 f(x, y)六、周长为2/的等腰三角形绕其底边旋转，问此等腰三角形的腰和底边之长各为多少时，才可使旋转体的体积为最 大？七、/。向连续(a,b)可导,/()/(/?)0, /()/(2黄)0。证明：在(。/)内存在久 使得

12、 /侑)=/。八、设函数y = y(x)由方程组4x = r +2tt2 -y + a sin y = 2dy d2 v 所确定，求区良九、I、已知匚7%=丰，人为大于零的常数。设积分 乙/=( - cos 2xy -3y)dx + (ey sin 2xy -bv )dy。其中L是依次连结A(a,0),8(。,三),C(0,),0(0,0)的有向折线。求极限lim 10 a ax2、计算曲面积分/=(磴等丝妇丝空,其中2为曲面1 2 =4+噌(贮。)的上侧。V 3)-)35169提示：先补充两个曲面4=(尤)，)12 = 0,/ + /之2,2匚口 + -40）旋转所成的旋转体的体积为J。（1

13、+尸厂 7 .z = z（x,y）由1 =户3 + 2卜，确定,则3三+色=0 8.工=/+），2与21+ 4，-2 = 0平行的切平面的方程是ox dy 9 .设 /- =+ y2 +,贝ij divrad r）|L_2 2）=010 .交换二次积分次序的积分次序心/此），）a = H. Joj4o dyo艺改=12.设L为正向圆周/+/ =2在第一象限中的部分，则曲线积分J只修一2）/的值为 1L二、单项选择题13.设函数/（“） =卜3_啊力其中例x）在X = 1处连续，则夕=0是/*）在x = l处可导的【】（A）充分必要条件. （B）必要但非充分条件.（C）充分但非必要条件.（D）既

14、非充分也非必要条件.14 .设/5)在0, 1上连续，且 F(t) = x)MwO,则，(3心=(A) F(l)-F(0).(B)尸(n)-F(O).(C) l(F(a)-F(0).(D) aF(a)-F(O).aC. (B)(4,(2.t) = /(2x) + C15 .下列等式中正确的是】（A） f2x）dx = f（2x） +(C) f(x-r)dt = f(x-t). (D) d xf = /(a).16 . lim lnfj|(l + -)2(l + -)2 (1 + ?)2 等于r2 9J】 lrr(l + x)c伙.r 2任 2r 2(A) j( In- xdx (B) 2j(

15、nxdx. (C) 2j1 ln(l + x)c仪.(D)(D) /(乂)次.17.设/(x，y)为连续函数，贝IJ J：d可；/(rcosarsin8)rdr 等于(A) J /xj /(x, y)dy.(B) J02 心Jo/(X，yX(C) jo2 cfy f(x9 y)dx.18.设/（x,y）与9。，田均为可微函数，且夕：（、y）H0.已知（x0, %）是/（x, y）在约束条件夕（兑y） = 0下的一个极值 点，下列选项正确的是】（A）若/：（%,%） = 0,则月（%,）0）=。.（B）若/；（%，）0）=。，则/；（两，儿）工0.（C）若（与，儿）。0,则/；（%，）。）= 0

16、.（D）若/：（与，兄）工。，则/；（%，）0）。0.19 .设，为椭圆1&/用收敛.(D)三、解答题221 .极限 lim sin +cos 22 .设函数”工）在（-s,+s）上有定义在区间0,2上，/（*）=（*2-4）,若对任意的X都满足f（x） = kf（x2）,其中k为常数.（I ）写出/。）在-2,0上的表达式：（11）问人为何值时，/（刈在x =。处可导.23 .求通过点（U）的直线, = /）中，使得伍、/.为最小的直线方程。.求曲面Z = J77F夹在二曲面/ + ）/ =、,，r + f=2y之间的部分的面积。25计算/ =AB(x 、) +)*化0）,其中AB是沿着椭圆

17、二+ 2 = 1的正向从4（a0）至1J 8（0力）的一段弧。26.设f（x）为可微函数，且/（0） = 0J0） = 2,试求吧 ff ；+；%力。27 .设/（x）在上连续，在（。力）内可导（0a0）,（ 1）讨论L的凹凸性；（II）过点（-1.。）引L的切线，求切点求此切线与L （对应于xS项的部分）及X轴所围成的平面图形的面积。高等数学竞赛一、填空题7、设曲线x - y - Z = 0,）八在点（口。）处的法平面为S,则点（0,2,2）到S的巨离是（厂_y 一2_ =08、设/(x,y) = arcsin则（2）=（）二、选择题厂+)广=513、曲线 ；，在点(1,2,3)处的切线方程

18、为()厂一厂x-1y-2 z + 3 X-1y-2 z + 3 工一3 y-1z-5x-1y-2 z + 3A ”r“ - - - - u 2182-1-82-18-218vi dz14、设z = y ，则K - + (lny)2 C. yx + (lny)2 Ly J L,15、若/(rcos0.rsinO)rdr,则区域 O可以表示为()dT jW=（）A. x2 + y2 a2 B. x2 + y2 Oc. x2 + y2 ax. a 0 D, x2 + y2 0一dw + -况 dyI、若(31+4卫尸十(2a:十3y1A. a-b = Q16 g为z=2 -(/+2)在xoy上方部分

19、,（%2 + y2#0,M#0）是某二元函数的全微分，则力的关系是（）B. a + b = O C. ab = D. a + b = 18、设曲线c是由极坐标方程”6）（aw6W必）给出，则/=/（x，vRs = （）A. J： / (r cos 6, r sin 0)x1 r1 +rd0 B J： f (x, ).1 + ydxC./(rcose,rsine)8D./(rcos0,rsin 6)rd0 ann ，J.+ 2 - J“-219、”为任意正的实数，若级数Z一, Y-1都收敛，有(A. a eB. a1C. a e2D. 0 -220、下列级数中发散的级数是x (一1丫y (-0H

20、-2 J? + (- 1)”(ex -l-x)2一、解答题求极限 1、lim- 2、f(x) = 0).8计算极限!鬻二、证明题 1 .7.计算二重积分, 处其中 0 : / + y2 24,犬 + )/16,/ +3 N4x。x2 + y2rJJ + m(x+2y+3”b 其中 D : 0xr, 0yr 0 f D2 .试证：/“)=j；ln(J+2fcosx + l)x 为偶函数。4 .证明恒等式x-2arctan(secx +tanx)=二三在 巳工二工时成立。 2223 .设/(X)对一切x，满足/(x+y) = e(x) + e-(y),且/(x)在x =。处连续，求证：/(刈在任意

21、x处连 续。4 .设/(x) , g (a)均在a, h上连续，证明柯西不等式f12 f(x)g(x)dx z）在点 不，二,冗 处函数值增加最快的方向为. J D /务级数表达式为求 lim工之 Yrsin =J-工 2/ 白 219 .求三重积分 jjj dV =.d+W+Z2 s4设L为椭圆- + J = l,其周长为C,则在（2*），+ 312+4），2）/=19.设f (x,y)是有界闭区域：。=(占)，)F+)，2 ，/上的连续函数，则！5 Jyjj/a，)，)4My =TFC/ 八20* .把(“rj； /(/ + 2)小，在极坐标系中进行转化：以/(+)，2),=(l + x)

22、7 -e二、解答题/“( + l j二(2riu 1 - cos x1求极限limS -.2.求极限lim 一x = a(cost + tsint).3、求曲线上任一点的法线到原点的距离.y = a(sin/-fcos/).又g(a) =小，(V-门卜答+器q! f q2f4、设/(J)具有二阶连续偏导数，且满足Y + x = l dir cv11.f25、设函数/(x)连续，且”(21一，)， =3013：111(r)，/(I) = 1 o 求/(、)公.6、计算二重积分 0/叫3比“，其中 O = (x,y)pWxWL00)上连续，证明：J：/(XWX=J；/(X)+ /(T)1戊，并计算

23、一-dx.丁 1 I 111 人2、设/(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且满足/(1) = 7，/-(人)仪(女。,1),证明至少存在一点 Je(O,l),使得/偌)=(1一片)/信).5 . 1 16 .证明级数Z -In收敛，并求极限hmd.仁1 n ) In n三、综合题1 / = J-2火尸sin+ 卜-cos y + /卜修,/ 为从点(1,0)到点(- 1,0)的半圆 y = /二/(T a 1).1.在曲线y = x2(x20)上某点a处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为，试求：切点A的坐标；过切点A的切线方程；由上述所围平面图形绕工轴旋转一周所成旋转体的体积.2 .计算/ =，/椒修+ ydzc仪+xydz,其中Z为圆柱面x2 + y2 =1被z = 0,z = 3修的部分外侧.V9172. .在球面/+/+22=：与椭球面3/+(丁一1+22=下交线上对应于工=1点处的切线方程和法线方程.443.求常数项级数Z /r-l的和.3,.求常数项级数（一1）|：的和. 2