高数一全面复习总汇

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1、高等数学复习教程第一讲 函数、连续与极限连续与极限一、理论要求1. 函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A. 极限的求法（ 1）用定义求（ 2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（ 3）变量替换法（ 4）两个重要极限法（ 5）用夹逼定理和单调有界定理求（ 6）等价无穷小量替换法（ 7）洛必达法则与Taylor 级数

2、法（ 8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）-（等价小量与洛必达）6arctan x x arctan x x1. lim z lim zx 01n(1 2x3) lim 06 0 2x3sin 6x xf (x)6 f (x)2.已知 lim30,求 lim2x 0x3x 0x2解:limx 0sin 6x xf (x)3xlimx 06cos6x f (x) 3x2xy36 sin 6x 2y xy limx 06x216cos6x 3y xy216 3y(0)6y(0) 72lim -一 J) lim - lim 7 36 (洛必达) x 0 x2x 0 2x x 0 222x3. l

3、im (x 1（重要极限）2x )x-ix 14.已知a、b为正常数，求而0（x bx -3解：令 t (a)x,lnt -ln(ax bx) ln 22xlim ln tx 0t (ab)lim 3-(axln a bx x 0a b3/2ln b)3一 ln（ab）2（变量替换）12；5 . lim (cosx)x 01ln(1x2)ln(cos x)12解：令 t (cos x) n x ,ln tlim ln tlim-tanx1 t e 1/2 (变量替换)x 0x 0 2x2x20”6 .设 f(x)连续，f(0) 0, f(0) 0,求 limx 0x2 f (t)dt(洛必达与

4、微积分性质)2, ln(cosx)x ,x 07 .已知f (x)在x=0连续，求aa,x 0解：令 a lim0 1n(cosx)/x21/2（连续性的概念）三、补充习题（作业）x一 e 1 x1. limx 0.1 x cos . x3（洛必达）12. lim ctgx(x 0 sin x1) x（洛必达或Taylor）3. limx 0x t2x e dt0（洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分2.微分中值定理3.应用导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程理解 Roll、

5、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理会用定理证明相关问题会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1. y y(x)由 2yxarctan tty2二决定，求5dxB.曲线切法线问题2. y y(x)由ln(x2y)x3y sin x决定，求电|x o 1 dx解：两边微分得 x=0时y y cosx y ,3. yy(x)由2xyx y决定，则dy |x 04.求对数螺线/2,)(e将x=0代入等式得y=1(In 2 1)dx/ 2）处切线的直角坐标方程。A x解：y

6、cossin,(x,y)|/2 (0,e /2),y|/21/25.f（x）为周期为5的连续函数，它在 x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在(6, f(6)处的切线方程。解：需求f(6), f(6)或f(1), f(1),等式取x-0的极限有：f(1)=0lim f (1 sin x) 3f (1 sin x) x 0sin xsiTimf(1 t) f(1)t 0t3 f (1 t) f(1)tC.导数应用问题4f(1) 8 f(1) 2 y 2(x 6)6.已知 yf (x)对一切 x 满足 xf”(x) 2xf(x)2

7、 1 ex,若f(x0) 0(x0 0),求(x0,y0)点的性质。ex0 10.Xh 0解：令x x0代入，f(x0) ,故为极小值点。ex0 Xo0, Xo 03 x7 . y 7 ,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。(X 1)2解：定义域x (,1) (1,)y 0 驻点x0及x 3y 0 拐点x 0; x 1:铅垂；y x 2:斜8 .求函数y (x 1)e /2 arctanx的单调性与极值、渐进线。2解 ：y-一2xe /2 arctanx 驻点 x0与x11 x渐：y e (x 2)与 y x 2D.哥级数展开问题d x9. sin(x dx 0t)2 dtsin x22

8、sin(x t) (x t)W(xt)61)n (x t)2(2n 1).,、2 ,1 .、sin(x t) dt -(x t)3317(xt)21317sin(x t)- x一x33!71)n(2n 1)! 4n 1(1)n1(x-J)(4n 1)(2n 1)!4n 1x(4n 1)(2n 1)!d x221sin(x t) dt x x dx 032(2n 1)(1)nF2 sinxE.不等式的证明或：x t10.求 f (x)解：x2 ln(1f (n) (0)11.d 0.2,u sinu ( du)dx xx2 ln(1x)在xx)x2(xdxx .22sinu du sinx00处

9、的n阶导数f (n)(0)1)1)no(xn 2)n1总 o(xn)(1)n1 n!n 2(0,1)求证(1 x)In2(1 x) x2ln 2ln(1 x) x证：1)令 g(x) (1 x)ln2(1 x)x2,g(0) 0g(x),g(x), g(x)2ln(1 x)(1 x)20,g(0)g(0) 0x (0,1)时g(x)单调下降，g(x) 0,g(x)单调下降 g(x) 0, g(x)单调下降，g(x) 0；得证。“11、一一一一2)令 h(x) -,x (0,1),h(x) 0,单倜下降，得证。F.中值定理问题ln(1 x) x12.设函数 “1 1 0 f( 1)f(0) -

10、f(0) -f( 1)将x=1 , x=-1代入有1 1 1f(1)f(0)f(0)f( 2)26两式相减：f( i) f( 2) 611,2 f( ) 2f( 1) f( 2) 3)在1,1具有三阶连续导数，且f( 1) 0, f (1) 1,f(0) 0,求证：在(-1,1)上存在一点,使f”( ) 3一1O 1Q证：f(x) f (0) f(0)xf(0)x2 - f( )x32!3其中 (0,x),x 1,1,2213. e a b e ,求证：InIn2 a-42 (b a)e证：Lagrange:f(b) f(a)令 f (x) In2 x,b a22In b In ab af(2

11、ln令（t）4,（t） - 0（ ）（e2）,2 .24 八、，一 ， 一ln b In a （b a）（关键：构造函数）e三、补充习题（作业）1 x 、31 .f(x) ln2,求y”(0)-,1 x2xet sin 2t2 .曲线t在(0,1)处切线为y 2x 1 0y e cos2t3 . y xln(e 1)(x 0)的渐进线方程为y x 1xe2(x2 1)3x4 .证明 x0 时(x2 1)ln x (x 1)222证：令 g(x) (x 1)ln x (x 1) ,g(x), g(x), g(x)g 0(0,1), g, 0(1, ),g, 0g(1) g(1)0, g(1) 2

12、 0x (0.1),g 0,g 2x (1,),g 0,g 2第三讲不定积分与定积分一、理论要求1 .不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2 .定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A.积分计算1.dxx(4 x)dx(x 2)2x 2arcsin C22.e2x(tanx1)2 dx_2x _2e sec xdx2 e2x tan xdx e2xtanx CB.积分性质C.

13、积分的应用3.设 f (ln x)ln(1 x)x,求 f(x)dx解:4.1f(x)dxe x ln(1arctanx .2- dx xln(1x exxe )dx(1xe;-x)dx1 e(1e x)ln(1ex) C5. f(x)连续,(x)在x 0的连续性。解：f (0)(x)(0)xf (x)11一 arctanx |1limxb 11f (x)f(xt)dt,且 lim 3(-xxrv)dx1 .八 ln 24 20, y xtx0 f(y)dy6. xtf (x2 t2)dt dx 0d x2f(y)d(y)2dx 0(x)(0)A,求(x)并讨论(x)x0 f (y)dyxA

14、lim2 x 0(0) A/2(0)d2dxf(x222t2)d(t2x2)xf(x2)7.设 f (x)在0,1连续,在(0,1)上 f (x)0,且 xf(x) f(x)3a 2 万x ,又 f (x)与 x=1,y=0所围面积S=2。求f (x),且a=?时S绕x轴旋转体积最小。解:M3a2f(x)3a 2x2cx10 f (x)dx 2 c 4 af (x) 3ax2(4 1)xV(2y2dx) 0 a 58.曲线y Jx 1 ,过原点作曲线的切线,求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。2解：切线y x/2绕x轴旋转的表面积为2 yds J50曲线y 7 x 1绕x轴旋转的表面

15、积为2_12 yds - (5.5 1)总表面积为-(11,5 1)三、补充习题(作业),Insinx1. 2dxcotxln sin2x cotx x Csin xcx 572. dxx2 6x 133.arcsin x，xdx第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1 .向量代数2 .多元函数微分3 .多元微分应用4 .空间解析几何理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模)了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法理解多元函数极值的求法，会用L

16、agrange乘数法求极值掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A.求偏导、全微分1. f(x)有二阶连续偏导,_ x . 2x .z f(e sin y)满足 zxxZyy e z,求f(x)解:f f 0f(u)uceuC2e2. Z1 , f (xy)xy (xy),求3. y y(x), z z(x)由z xf (x y),F(x,y,z) 0决定，求 dz/dxB.空间几何问题和。解：x/ x y/ yZ/. z , a d aC.极值问题5 .曲面x2 2y2 3z2 21在点(1, 2,2)处的法线方程。6 .设 z

17、z(x, y)是由 x2 6xy 10y2 2yz z2 18 0 确定的函数,求z z（x, y）的极值点与极值。三、补充习题（作业）21. Zf （xy, -） gd）,求一-y x x yxyz2. z f(xy, g(X),求一 yxx3. z u ,u In、/xy2,arctany,求dzx第五讲多元函数的积分、理论要求1.重积分熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）bdxf (x, y)dxdya,dd1y2(x)y1(x)r2()r1()f (x, y)dyf(r, )rdrby2(x)z2(x,y)dx dyay1(x)z1(x,y)f(x,y,z)dzf (x, y

18、, z)dxdydzVz2 2(z) r2(z,)dz d f (r,z1 1(z)r1(z,)2( )r2(,)d d f (r,1( )r1(,),z)rdr)r2sin dr会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）4. 求 xJ，JZJa上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之z f (x, y) A D 1 zx zjdxdy2.曲线积分理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法3.曲面积分二、题型与解法A.重积分计算B.曲线、曲面积分L: yL f (X, y)diL:yr(y(x) x(t) y(t) )f(x, y(x) . 1 y2dxf

19、 (x(t), y(t). xt2 y2 dtf (r cos ,rsin ) ,r2 r2d熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件理解两类曲面积分的概念（质量、通量） 、关系熟悉Gauss与Stokes公式,s：z z(x,y)f(x,y,z)dSGauss：SE dSSt0kes： LF dr1. I(x2S(2 y2)dV,的围域。解:2. I8dz02 2 (x2 y 2z22, x yD 4a2x围域。（2.x y,13.f(x,y) 0,其他会计算两类曲面积分f （x, y,z（x, y）q1 z2 zydxdy DxyEdV（通量，散度）F) dS(旋度)为平面曲线

20、2、y )dxdydxdy, D 为2a2(wx 2,0求 口 f (x, y) dxdy, D : x22)2x4. I (ex sin y b(x y)dx (LL 从 A(2a,0)沿 y解：令L1从。沿yI L L1 L12z08dz0(49/20)z轴旋转一周与 z=82z 2 r rdr0102432x (a0)与ex cosy ax)dy*2ax x2至O(0,0)2a(b a)dxdy ( bx)dxD2)a2b5. I 9 xdy2 ydj,L为以(1,0)为中心,R( 1)为半径的圆周正向 L 4x y解：取包含(0,0)的正向L1:2x r cos y r sinQ Q

21、QL L1L L10 L L16.对空间x0内任意光滑有向闭曲面S,2xo xf (x)dydz xyf (x)dzdx e zdxdy 0 ,且 f (x)在 x0 有连续一S阶导数，lim f (x) 1,求 f(x)。 x 0解：0： F dSsFdV (f(x) xf(x) xf(x) e2x)dV一1 八 1 2xy (1)y ex xxe / xy 一(e 1) x第六讲常微分方程一、理论要求1 .一阶方程2 .高阶方程熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法会求 y(n)f (x), y f(x,y)(y p(x), y f(y,y)(yp(y)3 .二阶线性常系数,y

22、 py11f(x)q 02 P q 022iy2Pn (x)e x10r 2and 21x2xy1cec2ey1(Ci C2x)exy1e x(Ci cos x C2 sin x)(齐次)Qn (x)e xxy2Qn (x)xe(非齐次)2 _ xy2 Qn (x)x ef (x) e x (p (x) cos x pj (x) sin x)iy2 ex(qn(x)cos x rn(x)sin x(非齐xiy2 xe (qn(x)cos x %(x)sin x(n max(,j)次)、题型与解法A.微分方程求解2_221 . 求 (3x 2xy y )dx (x 2xy)dy 0/223(xy

23、 x y x c)2 .利用代换 y 化简 ycosx 2ysin x 3ycosx cosxex并求通解。x cos2xex 、(u 4u e , y c1 2c2 sin x )3.设y y(x)是上凸连续曲线，(x, y)处曲率为1,1 y2,且过(0,1)处切线方程为y=x+1 ,求y y(x)及其极值。三、补充习题(作业)解：y y2 1 0y ln | cos(一x) | 141 .八二 ln 2, ymax2-ln2 21 .已知函数y y(x)在任意点处的增量译o( x),y，求y(i)。(e4)2 .求 y 4y e2x的通解。(y c1e 2x2xc2e1 xe2x)43.

24、求(y vx2 y2 )dx xdy 0(x 0), y(1)1,2 /、0 的通解。(y (x 1)24.求 y2ye2x0,y(0)y(0) 1 的特解。7112x(y 4 4(3 2x)e第七讲无穷级数一、理论要求1 .收敛性判别2 .哥级数3 .Fourier 级数级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法哥级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法哥级数在收敛区间的基本性质(和函数连续、逐项微积分)Taylor 与 Maclaulin 展开了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理cosx5cosx会求l ,l 的F

25、ourier级数与0,l 正余弦级数第八讲 线性代数一、理论要求1. 行列式2.矩阵会用按行（列）展开计算行列式 几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随） 矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆 矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价 用初等变换求矩阵的秩与逆 理解并会计算矩阵的特征值与特征向量 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3. 向量理解 n 维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组

26、的秩了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换 二次型的标准形、规范形及惯性定理 掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法 了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲 概率统计初步一、理论要求1. 随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算 会计算古典型概率与几何型概率 掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2. 随机变量与

27、分布理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度掌握 0-1 、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函物3.二维随机变量数 理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 理解随机变量的独立性及不相关概念 掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度 会求两个随机变量简单函数的分布4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念 掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望5.大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理6.数理统计概念了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理理解总体、简单随

28、机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩了解 2分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念了解正态分布的常用抽样分布7 .参数估计掌握矩估计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间8 .假设检验掌握假设检验的基本步骤了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验第十讲总结1.极限求解变量替换（1作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换)1. lim -(x a) (x 2a) . (x (n听) n nn nn数)21/ x / 22. limo(arccosx)e(对数替换)（几何级x

29、 tan 3. lim (2 x) 2x 14. limx3(65. limx an(x6. f (x)x-) xnna ) na(x a)21 cos2x2x4, x 0xcostdt0x1(x a)(x0,求 lim f (x)x 00)2.导数与微分复合函数、隐函数、参数方程求导1 .（：）x（b）aF）brb x a2 . arctan x sin(x y) 0,求 dy/dx x3 . x e CoSt决定函数 y y(x),求 dy y e sin t2224 .已知 2x y In y 1 ,验证 4xy (2x y 1)y 03.一元函数积分5. ye2u,u1lnv,v3,一

30、x 3t 1,、1.求函数I(x) 力出在区间0,1上的最小值。012 t 1(0)2.2 x2 1 dx2|x 1|3. 0(1 x2)3/2dx14. dx,x(1 x)5._dt_t t2 16.1 4x,1 4x2dx4.多元函数微分5.多元函数积分xy2x1. z f (,e ),求 Zx,Zy y2. z z(x,y)由 F(x -, y -) 0 给出，求证：xzx yzy z y x,、，、223. 求 u(x,y)x y 2xy在 O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。2u4. u sin xln( x y),求x y6 .证明 z xnf(-y)满足 xzx 2y

31、zy nz x7 .求 f(x,y) 4x 4y x2 y2 在 D:x2 y2 18 内的最值。1 .求证：div (a b) brota arotb2 22.1 d(4 x y)dxdy, D: x y 2y223. I d(x y)dxdy,D:x y 2y2 x 24.改变积分次序1dx 0 f (x, y)dy5. I2,y2x, xy 1 围域。6.常微分方程1 .求1 y2lnxdx dy 寸 1 y2dx 0通解。3x .2 .求 y 2y 5y 2e 通解。3 .求 y 2y 5y 6e2x 通解。,2、 .,2、. 一一4 .求(x y y)dx (xy x)dy 0通解。1 一，一5 .求 y 4y -(x cos2x), y(0)y(0) 0 特解。26 .求 y y 4xex,y(0) 0,y(0) 1 特解。