行(列)满秩矩阵的性质及其应用

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1、摘要本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）的相关性质进行比 较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的 若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。关键词：可逆矩阵；行（歹I）满秩矩阵；矩阵的秩；线性方程组AbstractThis article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction travel

2、(column) full rank matrix in solving linear equations, the proof of matrix rank and some applications of matrix decomposition, etc.to make it without being limited by a phalanx of tetragonality, and used up and reversible.Key words: Invertible matrix; Row (column) full rank matrix; Matrix rank; The

3、System of linear equations.1 引 言 12预备知识 23可逆矩阵的性质及其应用 34行（列）满秩矩阵的性质 55行（列）满秩矩阵的若干应用 115.1 在矩阵秩的证明中的应用 115.2 在齐次线性方程组中的应用 125.3 在非齐次线性方程组中的应用 155.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用 17参考文献 20行（列）满秩矩阵的性质及其应用1引 言矩阵是高等代数研究的一个重要内容，用矩阵来表述问题，并通过矩阵的运算 解决相关问题的方法，通常叫做矩阵方法。矩阵理论及其方法已然成为现今众多科 学领域中不能缺少的 工具。例如在模糊识别、密码通讯、分子结构的稳定性分析、

4、机器人位移、导航、观测等众多领域的应用。矩阵的现代观点是在十九世纪时慢慢形成的。德国著名数学家高斯 （F.Gauss,1777-1855 ）在1801年时，就把一个线性变换中的所有系数当成一个整 体。而在1844年时，德国的另一位著名数学家爱森斯坦 （F.Eissenstenin,1823-1852 ）根据“变换矩阵”和其乘积进行讨论。不过“矩阵” 这一词的由来却是来自英国的数学家西尔维斯特（Sylvester,1814-1897 ）,这是他于1850年首先提出并对其进行了研究，以便之后的英国数学家凯莱 （A.Gayley,1821-1895 ）为创立矩阵理论做出重大的贡献。 从而，经过西尔维

5、斯特、 凯莱等众多数学家们的不懈努力，使得矩阵理论得到很大的发展，并被广泛应用。 如矩阵的特征根和特征向量、正交矩阵、酉矩阵、可逆矩阵而在矩阵的理论和应用中，可逆矩阵（或者满秩矩阵）却是占据了重要的地位。 它的应用是多方面的，如在矩阵秩的证明、解方程组、特殊矩阵分解等问题中可逆 矩阵比一般的矩阵更容易处理，这就要归功于逆的作用。但当人们在使用可逆矩阵 解决问题时发现，首先，它必须是一个方阵，而且矩阵的秩还必得与矩阵的阶数相 同。因此，人们经由数学家的不断探索，把满秩矩阵推广成行（列）满秩矩阵，使 它不受方阵的正方性所限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几，能够更广泛地使 用矩阵这一工具来解决相关

6、问题。本文是将他人的研究成果进行收集整理，并在此基础上，将行（列）满秩矩阵 的性质及其相关的应用与可逆矩阵（即满秩矩阵）的性质及其相关应用进行比较， 归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、相关矩阵的秩的证明及矩阵的分解等方 面的应用。2预备知识设A =（aj）是一个sMt的矩阵，如若将 A的每一行都看成t维的一个行向量，则otA= .2，这里边叫=(4%2 HI * *产s同理，若将A的每一列都看成一个% ）是A的第i行,i=1,2,川,s.s维的列向量,则A=Bi艮,|,耳）,其中4 =|如是A的第j列, J+I j隆1、j=1,2,|,t.则称，向量组“2是A的行向量组r.也将n阶方阵P进

7、行分块，即PPc 、.一2 ,其中PW Fsw.于是，按上式得P4j101P1P20，如果r #s ,不妨设r s,则P, =0.但P= P10 i可逆，所以P1可逆。将P再进3 P4J行分块，即 P =(P1 P12 ),其中 P1 w FsX,F2e FsX*),再比较(1)，得 R2 =0.这与 P可逆相矛盾，所以rs不成立。同理可证sr也不成立，所以r=s.定义3.2 设A是数域F上mn阶非零矩阵，若是存在m阶、n阶的可逆矩阵Hr 0)一，一 ，一、，Q,P,使得QAP= r，则我们就称矩阵A的秩为r ,记为rank(A尸r.若是A=0,10 0 1规定 rank A =0.性质3.3

8、 对于任意的n阶方阵A,B,设AB = 0,若A是可逆矩阵，则有B = 0.证明：由题意可知，因为A是可逆矩阵，所以存在A,，即，令AB = 0两端同时左乘 A,，则有A,AB=0,所以B=0得证。性质3.4 设B,C都是不为零的方阵，且 A为可逆矩阵，若有 AB=AC,则 B =C.证明：因为 A是可逆矩阵，则存在A-,所以令AB = AC两边同时左乘 A,，有A,AB =AAC ,所以B =C .性质3.5 设A,B都是n阶不为零的方阵，且AB=0,则R(A)n.证明：因为AB=0,所以R(A)+R(B)Wn.又因为B是不为零的，所以R(B心1,所 以 R A 二 n .性质3.6 设A,

9、B都是数域K上n阶的矩阵，如果AB = I ,那么A与B都是可 逆矩阵，并且A=B, B=A.证明：由于AB = I ,则|AB = I ,因此A B| =1 ,所以有|A#0, B|#0,即A,B都为可逆 矩阵。令AB=I的两端同时左乘 A,，即A/AB = AI ,由止匕得出B = A，同理有 ABB，=旧二，即 A = B，命题1 如果P是m阶的可逆矩阵，那么，线性方程组 AX=B和PAX = PB有 相同的解。证明：若令Xi为AX =B的解，即AXi =B，则两边左乘P可得PAXi = PB,所以Xi 也为PAX =PB的解。1反乙若Xi为PAX =PB的解，即PAXi =PB ,则两

10、边左乘P可得AXi = B ,所以 Xi也是AX =B的解，所以，AX =BfPAX =PB同解可证。命题2设A为n阶可逆矩阵，则n元的齐次线性方程组 AX =0仅有唯一零解。证明：因为A为可逆矩阵，所以存在 A,，令AX =0等式两端同时乘以A-,则有AAX =0 ,即X =0 ,所以，命题得证。命题 3 证明 rank(A +B)rankA)+rank(B).证明：设 A = (A A III A),b =(b B2 III Bn),则(A + B)=(A +B,A2 +B2,IH,a +Bn),若 Ai, Ai,川 An与 Bji,Bj2,|,Bjn 分别是 A与 B的列向量的极大线性无

11、关组，则有A =kiiAiki2A2?rkinAn(t=i,2J|,n)于是 Bt =ljiBji lj2Bj2HI IjnBjnA +Bt =kilAl +IH+KnAn +I1B1 +Hl+ljnB/ , j=i,2JH n，即 A+B 的列向量组可由Ai, A2/ll ,Ain 与 Bg Bj2,lll, Bjn 线性表示,所以，rank(A+ B )命题4 若n阶矩阵A, B的秩分别是r, s ,贝U rank( AB )之r+s-n。意 可知，只需证n+rank (AB户rank (A )+rank( B ). 因为A rankr( a n k A )r 所以ki+Bank( AB

12、)= rankIn00AB，做分块矩阵的初等变换，则0AB A AB A0LFn -BLFn BL 停“初等变换不改变阵的秩，且rankCB之 rank( A)+rank(B ),则rankIn0=rankBi0InA)之rank(B )+rank(A),所以 rank(AB)之 r +s-n .行(列)满秩矩阵的性质定义4.i如果在mn阶的矩P$ A中，n个列向量 线性无关，则我们就称该矩阵A为列满秩矩阵；如果 矩阵的m个行向量线性无关，则称该 矩阵为行满秩矩 阵。22例3 矩阵A =121111211、 0 0 2;中的三个列向量必1、21T121二31、00口12,口3线性无关，所以 R

13、(A)=3,A为列满秩矩阵。而1、1，三个2,行向量/=(1 21 2 1Tz 1 00也线性无关，因此R( AT )=3 ,则AT为行满秩矩阵。定理1设A是mH阶的矩阵，那么下面诸言等价：(DA是列满秩矩阵;(2)A内存在着一个r阶的可逆子块;(3)A的列数与Ir0等价;(4)存在着矩阵B ,其中B为列满秩矩阵,使得(AB)是一个可逆矩阵；(5)存在着矩阵C,其中C是行满秩矩阵，则有CA = I.证明：(1) u (2)只要根据矩阵秩数的定义就可证得。(2) = (3)利用初等变换，可以把A的r阶可逆子块移至最上方，则存在可逆矩S，其中S是r阶的可逆矩阵。令Q =S0TS, Im-,所以Q是

14、可逆的，进而QP S =Ir0.一. 八一/ 0、(3) = (4)如果P是可逆矩阵，有PA= Ir，则A = PIr .假设B = P,)0)Umi -一一40、.则Bgt是列潴秩矩阵。而且，有P( A B)=(PA PB)= r =Im，因为(A B) 3 ImJ是m阶的方阵，所以(A B)是一个可逆矩阵。(4) = (5)我们把(A B)按照行进行分块，即(A B)= C则有C、/CA CBi.一 一一Im=1( A B)=|I,从而 CA=Ir ,又有 r = R(CA)ER(C)Er ,所以一定D Jn阶的矩阵，则下面各命题 等价：(1) A是行满秩矩阵；(2) A内存在着一个r阶的

15、可逆子块；(3) A的行数与(Ir 0)等价;(4)存在着矩阵B ,其中B为列满秩矩阵，使得 A i是一个可逆矩阵； B(5)存在着 矩阵C ,其中C为列满秩 矩阵，使得AC = I .证明：与定理1类似。定理2 若A, B均为列满秩矩阵，则对任意的矩阵P ,只要可乘，就有秩P 二 ft AP =ft PB =秩 APB .证明：Q=AP,则秩Q W秩P ,再由定理1可知，存在行满秩矩阵C,使得CA=I.于是 CQ = CAP= IP= P,故又有 rank(P)n )=n , 则存在可逆矩阵H mx ，Lm X n n使得/Ln河)沏 0 )刈 0 )A = H 0 I m=H =H 0刈

16、I 1，6P = H, 0刈 I ,则为k0 .加刈琳河 0 Imj 八 0 0 0 Imj J所求。(2)的证明是类似的。由（1）得（In 0）P,A = （In 0）In0J1=In,记（In 0）P =Bi（JBA = In.推论4.1 (1) mn阶矩阵A是列满秩矩阵u存在行满秩矩阵B。曲，使得 Bn m Am n - I n.(3) mn阶矩阵A是列满秩矩阵 之存在行满秩矩阵 a折使彳4 AmMCn加=Im.由推论4.1可知：若矩阵A既是列满秩矩阵，也是行满秩矩阵，则A是可逆矩阵c推论4.2 (1)矩阵A是列满秩矩阵u A左可消，即若 AG=AC2,则 G。(2)矩阵A是行满秩矩阵u

17、 A右可消，即若 C1A=C2A,贝UG =C2.证明：(1)必要性。由于Amxn为列满秩矩阵，则存在行满秩矩阵Bn/,使得Bn刈Am刈=In,将ACi = AC2两边同时乘以B,立即得Ci = C2.充分性。若 。刈).mIr 0rnQnnH =Pmm,L=(I,0L口4则1, H为所求。定理5中分解式A = HL称为A的一个满秩分解,我们指出满秩分解 不是唯一的， 事实上，对于任意的r”阶可逆矩阵P, A = (HPXPL)也是A的一个满秩分解。但是我们有定理6设mn阶的列满秩矩阵，则AX=0只有零解。一.a2i证明：设A = (a1,a2，|,an),且有4=.,(i =1,2|,n )

18、,所以线性方程组AX = 0为+ + ami / x1 X2(a1,a2,川,an ) ：=0 ,即 a1x1 +a2x 2+| +anxn =0 ,所以 A 为列满秩矩阵,因而+kXn )a1，a2,HI,an线性无关,所以x1=X2=|=Xn,即AX =0只有零解，命题得证。5行(列)满秩矩阵的相关应用5.1在矩阵秩的证明中的应用定理 8 rank (A +B 产 rank (A )+rank( B ).证明：设rank(A尸r,rank(B户s,由第4节中的定理5可知，有A= GH ：B =G1H：, 其中G,H均为秩数为r的列满秩矩阵,G1,H1均为秩数为s的列满秩矩阵，所以 fH有(

19、A + B)=(G G1)u，,从而知H1rank (A + B ) rank (G,G1 ) r +s = rank 之(A)+rank(B).由此定理及A = (A-B)+B可得,定理 8 rank (A - B 摩 rank (A)-rank (B ).定理 9 (Sylvester 定律)rank (AB 心 rank (A)+rank (B )-B 的行数，其中 A,B 并不一定是方阵。证明：如果A是sF阶矩阵，那么t就是B的行数。由4.3中的定理2可知，存在着两个高矩阵P,Q ,令A = PQ，Q的行数=rank(Q)=rank(A).再由4.3中的定理1可知，对于Q,令(Q,Q

20、)是可逆的，从而得到也是可逆的。并且，因为A=PQ,qi JQ的列数为t ,所以Q1的行数为t-Q的行数。所以Gb)rank (AB ) = rank (PQB ) = rank (QB )=rank 0 )=rank-rank B rank Q1 B之rank (B )-rank (Q；尸 rank (B( n -Q的行数) = rank (B )-( B 的行数rank (A )= rank (A)+rank (B )-B 的行数5.2在齐次线性方程组中的应用定理10如果线性方程组 A = 0的系数矩阵A*X的秩是r ,那么该方程组定有t -r个解为：1, ： 2,|, ： t_r ,并且

21、:(1)dH,线性无关;(2)由必,汽2,IH，叫工线性组合可表示 方程组的任一解b.证明：(I)当r =t时，A为列满秩矩阵，则该方程组有唯一的零解，即5,0(2,川,小 线性相关。则(1) , (2)不成立。(II)当ret时，A中存在一个r阶子块，设此 子块在A的左上角，则有A12A221r 0-A21A1I s_r /乘以(4)得X =0I。A22-A21A1XJA12由于(5 )的系数矩P$的秩为r ,且A,1是r阶可逆子块，所以 与？ - AnA：A2 = 0.因此)与A11, A|2 X - 0同解，而A11 A2有（A1, A2 ） 一 A 1 2 2、 3 4 5 【3 5

22、6 8, =0,令（7）中的t-r列为四,匕|,四，则此为（6）的解，即 t r ,所以 该矩阵不是列满秩矩阵。则5,阳,川,四,b线性无关，所以（2）可证。由此定理，我们就可知:2,1 ILL是线性方程组的基础解系，此时它是作为一个 整体被求出来的，这与可逆矩阵中需要一个个求有所区别。例4求下面方程组 的基础解系：1解：因为系数矩阵A= 2心x1 x2 2x3 2x4 =02x1 +3x2 +4x3 +5x4 = 0.3x1 5x2 6x3 8x4 = 01 2 23 4 5，则A经过初等变换，即5 6 8112 2、12 2 31 2 2 3；1 0 2 2 ”0 10 110 0 0 0

23、所以系数矩阵A的秩为2。左上角的 2阶子式则一 A1 AiA22 j，所以A111，则由 A1A： = I=1=0。由矩阵的秩进行分块，则令可得A?323-21丫2 2、2-21 人4 5).所以列满秩矩阵AI2 =2J-2 -r0-11001).且有的两25AlI4-2J个列就形成原方程组的一个基础解系。5.3在非齐次线性方程组中的应用二A/P .如果A不可逆，但表达？这需要先分析A的性线性方程组AX = P ,如果A可逆，那么它有唯一解: 是AX = P有解，那么它的解是否也有类似的简洁公式质。如果A可逆，那么AA4=I ,两边同时右乘A,得AAA = A(8)式表明：当A可逆时，A是矩阵

24、方程 AXA=A的一个解。因此受到启发，当A不可逆时，为了找到A的替代物，我们应该去找矩阵方程 AXA=A的解。定理11设A是数域K上的sn阶非零矩阵，则矩阵 方程AXA-A 阶可逆矩阵,那么矩阵方程（9）的通解为X=Qi； B jp.其中B,C,D分别是 数域K上任意的rx（s-r）,（n-r）xr,（n-ry（s-r）阶的矩阵。定有解，如果rank A)=r,并且A = PIr 0 0 0)Q,其中P,Q分别是K上的s阶、n定义5.3.1设A是数域K上的sxn阶矩阵，矩阵方程 AXA=A的每一个解都称为A的一个广义逆矩阵，简称为A的广义逆，记作A-表示A的任一广义逆。从定义5.3.1得出，

25、AAA = A.0、从定理11得出，当A#0时，设r a n（k ）A , r且A=P r Q ,则P。从定义5.3.1得出，任一 ns阶矩阵均为0s沏的广义逆。定理12（非齐次线性 方程组的相容性定理） 非齐次线性方程组 AX=P有解 的充分必要条件 是日=以邙.证明：必要性。设 AX = P有解久，则=人3=以改 =AA-P .充分性。令A = AA予,那么A-P就是AX = P的解。定理13 （非齐次线性方程组 的解的结构定理） 非齐次线性方程组 AX = P有 解时，它的通解为X = A：.从定理13看出，所有的非齐次线性方程组 AX =P有解，则它的通解都有简洁漂亮的形式：X =A;

26、.例5 设矩阵AswM (K ),证明：AF=其中A是列满秩矩阵。.一一 ，IC .证明：因rank(A尸t,则存在t阶、s阶的可逆矩阵P,Q ,使得A=P t Q ,从而11 一一11 AC 1A=Q (It,C )P ,于是 A-A = Q (It,C )P PQ =Q”Q = It .例6 设矩阵AwM (K ).证明：若A为行满秩矩阵，则，对于任意的Bs淅w M(K), 矩阵方程AX =8都有解，即X =A_B .证明：由于 A是行满秩矩阵，因此有R(A尸s,即s=R( A)M R A B)M s,所以 R(A尸R( A B).又因为R(A尸R(A,B)是矩阵方程 AX = B有解的充

27、分必要条件， 所以，矩阵方程 AX =B有解。再由例5的结论得A( A-B )=(AA-)B= IsB = B ,所以， X =AB 是 AX =B 的解。例7 设矩阵入乂 WM (K ).证明：若矩阵A是列满秩矩阵,则对于任意的 碑堂w M (K ),矩阵方程XA = 8者8有X = BA 的解。证明：由于A是列满秩矩阵，那么，就有A 为行满秩矩阵。由乳B ，对于AX=B, 根据例6及对人小m(K)的非零矩阵，有(A)=(Aj这一结论，可得X=BA，5.4在几类特殊矩阵分解方面的应用我们都知道，行满秩矩阵与列满秩矩阵在矩阵分解的应用中是经常被使用的工 具，现在我们来认识一些它在矩阵满秩分解和

28、 QR分解上的应用。定理14 A有分解式A=RRT是s阶的实对称矩阵A是正定的充分必要条件, 其中R为SMt阶行满秩矩阵。证明：(充分性)因为 R(A户s,则，可知 线性方程组XR=0只有唯一零解。从 而对任意的S维非零的实向量 a , 就有o(R=0 ,则有 a A %= R TR 苣 X RT 0RB R A 正定。(必要性)因为A正定，所以存在s阶可逆矩阵p,佟得A = PPT.令C=(P 0K, ,pT、则C是sxt阶的行满秩实矩阵，且CCT = (P 0) P =PPT = A.定理15设A是秩为r的m阶方阵，则A有分解式A = PQ是A是幕等矩阵的 充分必要条件，其中P是mr阶列满

29、秩矩阵，Q是r Mm阶行满秩矩阵，而且 QP = Er.证明：充分性是显然可证的。下面只证必要性。由A2=A可知，存在 m阶的可逆矩阵B,使得B，AB =/Er ) 以 a = bIe101(Er 0)B,，令 P= r10 JEr00 )值)=r (Er 0八0 /0),所,Q = (Er 0)B，那么，就有A=PQ, P是mr阶的列满秩矩阵，Q是rm阶行满秩矩阵，且QP = E.定理16设A是秩为r(r=0炳m阶方阵，则A有分解式A=RHRT是A是对称矩阵的充分 必要条件，其中R是mM r阶的列满秩矩阵，H是r阶的对称且可逆 矩 阵。证明：充分性 显然得证，下面只要证明 必要性,、一、，.

30、 一丁 f P 一. 一 依题意，存在m阶的可逆矩阵B,使得BTAB=，其中P是r Mm的行满秩矩阵,TT T TfP fP fH T ) 由于A = AT,所以(BTAB) =BTAB= P ,设P = H T ,其中H是r阶方阵，所H T00BTAB =H 0、0 0J,因此有HT =H,T=0 ,且R（H尸R（A产r ,进而1所以A=（BT）H 00 0J1 t 1B=BTEr0H(Er 0)B,令RT =（Er 0）P,所以A = RHRT,其中R是mr阶列满秩矩阵，H是r阶的对称且 可逆矩阵。本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）进行比较，总结出 其不变的性质、定理，如

31、左乘右乘秩不变性质、消去律、线性方程组的解的相关定 理等，再由这些性质、定理归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证 明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可 逆矩阵相差无几。从而，我们将在此基础上加以研究探索，把行（列）满秩矩阵应 用到更多更广泛的领域，为我们进行科学研究时提供更简洁、更巧妙的方法。参考 文献1李新，何传江.矩阵理论及其应用M.重庆：重庆大学出版社，2005: 142-145.2苏育才，姜翠波，张跃辉.矩阵理论M.北京：科学出版社，2006: 142-174.3邵逸民.行(列)满秩矩阵的一些性质及其应用J.长春师范学院报：自然科学 版，

32、2008 (6) : 8-9.4徐秋丽.行(列)满秩阵的几点性质J.长春师范学院报；自然科学版，2005 (3) : 12-15.5晋慧峰、杨晋.行(列)满秩阵的几个性质J.太原重型机械学院学报，1996 (2) : 36-38.6李先崇.矩阵的满秩分解和强满秩矩阵的三角分解的初等变换法J.贵州师范大学学报；自然科学版.2004(7): 45-46.7黄宝贞、贾利新.关于Sylvester方程的满秩解J.河南科学，2005(4): 38-40.8黄宝贞、贾利新.几类特殊矩阵的满秩性J.河南科学，2005 (5) : 40-42.9房月华、陈萍.矩阵的满秩分解及其方法J.衡水学院学报，2011(4): 38-39.10于增海.高等代数考研选讲M.北京：国防工业出版社，2012; 117-122.11谢邦杰、牛凤文、董乃昌.线性代数M.吉林大学出版社，1988; 116-130.12丘维声.高等代数学习指导书(上)M.清华大学出版社，2005: 300-308.作者：胡鸿敏21