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1、.1变中有不变思想、有限与无限思想变中有不变思想、有限与无限思想一、一、对变中有不变思想对变中有不变思想、有限与无限思想的认识有限与无限思想的认识二、二、变中有不变思想变中有不变思想、有限与无限思想的应用有限与无限思想的应用三、三、变中有不变思想变中有不变思想、有限与无限思想的教学有限与无限思想的教学.2对对变中有不变思想变中有不变思想的认识的认识 在学习数学或用数学解决问题的过程中，会面在学习数学或用数学解决问题的过程中，会面对千变万化的对象，在这些变化中找到不变的对千变万化的对象，在这些变化中找到不变的性质和规律，发现数学的本质，这就是变中有性质和规律，发现数学的本质，这就是变中有不变的思
2、想。不变的思想。 实质实质：万变不离其宗。：万变不离其宗。.3对对变中有不变思想变中有不变思想的认识的认识如除法、分数和比表面上有很大不同，实际在本如除法、分数和比表面上有很大不同，实际在本质上它们有一致的一面，都可以表示两个数之间质上它们有一致的一面，都可以表示两个数之间的关系。的关系。.4.5变中有不变思想的应用变中有不变思想的应用 数学的概念、法则、性质、定律、数量关系式数学的概念、法则、性质、定律、数量关系式（包括各种公式）等，都可以广泛应用变中有（包括各种公式）等，都可以广泛应用变中有不变的思想。不变的思想。 如整数的认识，无论一个整数有多大，本质上如整数的认识，无论一个整数有多大，
3、本质上都是利用十进位值制计数原理都是利用十进位值制计数原理记记数，利用数，利用0-9这这10个数字，放在不同的数位上表示不同的大小个数字，放在不同的数位上表示不同的大小 思考：还有哪些数思考：还有哪些数也有密切的联系也有密切的联系？.6 运算律是从整数开始归纳的，在此基础上可以扩运算律是从整数开始归纳的，在此基础上可以扩展到小数、分数、有理数、实数，即在实数范围展到小数、分数、有理数、实数，即在实数范围内，运算律的适用性是不变的。内，运算律的适用性是不变的。变中有不变思想的应用变中有不变思想的应用.7变中有不变思想的应用变中有不变思想的应用 解决问题的情境和信息是丰富多彩、变化多端的解决问题的
4、情境和信息是丰富多彩、变化多端的，如果能够抓住数学模型不变的本质，可以避免，如果能够抓住数学模型不变的本质，可以避免被表面复杂的情境所迷惑被表面复杂的情境所迷惑。如如：单价单价数量总价数量总价作为描述商品价格的数量关系，无论是什么情境、作为描述商品价格的数量关系，无论是什么情境、什么商品和数据，都可以应用这一基本模型一步什么商品和数据，都可以应用这一基本模型一步一步地分析解决。一步地分析解决。.8变中有不变思想的变中有不变思想的教学教学小学数学教材的编排是分散式的、螺旋式的、直小学数学教材的编排是分散式的、螺旋式的、直观的、逐步抽象的。这可能导致学生对数学的概观的、逐步抽象的。这可能导致学生对
5、数学的概念、性质、法则等数学知识的理解是肤浅的、割念、性质、法则等数学知识的理解是肤浅的、割裂的、片面的。在教材编排和课堂教学中，如果裂的、片面的。在教材编排和课堂教学中，如果能够多体现变中有不变的思想，将有利于更好地能够多体现变中有不变的思想，将有利于更好地认识数学的本质和解决问题。认识数学的本质和解决问题。.9变中有不变思想的变中有不变思想的教学教学案例案例 图中每个小正方形方格的面积是图中每个小正方形方格的面积是1cm1cm2 2。以。以给定的线段给定的线段ABAB为边，你能分别画出几个符合下列为边，你能分别画出几个符合下列要求的多边形？要求的多边形？(1)(1)面积是面积是3cm3cm
6、2 2的三角形；的三角形；(2)(2)面积是面积是6cm6cm2 2的平行四边形；的平行四边形；(3)(3)面积是面积是7cm7cm2 2的梯形。的梯形。.10变中有不变思想的变中有不变思想的教学教学.11变中有不变思想的变中有不变思想的教学教学同理，平行四边形只要满足底与高的积等于同理，平行四边形只要满足底与高的积等于6 6 即可即可；梯形只要满足；梯形只要满足(a+b)h=(a+b)h=1414，可以考虑一种特殊，可以考虑一种特殊情况，情况，h=2h=2，a a十十b=7b=7。.12对有限与无限思想对有限与无限思想的认识的认识在学习数学和解决问题的过程中，会遇到两种特殊在学习数学和解决问
7、题的过程中，会遇到两种特殊情况：情况：一是所研究的对象是无限的一是所研究的对象是无限的。如分数的个数是无限如分数的个数是无限的，分数加法算式的个数也是无限的，采取了通过的，分数加法算式的个数也是无限的，采取了通过对有限的研究来解决无限的问题。对有限的研究来解决无限的问题。二是所研究的对象是有限的二是所研究的对象是有限的。如圆的面积，如圆的面积，采取采取将将有限问题转化为无限问题来解决。有限问题转化为无限问题来解决。.13对有限与无限思想的认识对有限与无限思想的认识将无限的问题转化为有限来求解或将有限的问题将无限的问题转化为有限来求解或将有限的问题转化为无限来解决，就是转化为无限来解决，就是有限
8、与无限的思想。有限与无限的思想。有限与无限的思想体现了对立统一的辩证关系，有限与无限的思想体现了对立统一的辩证关系，它既是解决各种问题的有效方法，也是培养辩证它既是解决各种问题的有效方法，也是培养辩证思维能力的重要手段。思维能力的重要手段。.14有限与无限思想的应用有限与无限思想的应用有限与无限的思想在小学数学中也有较多的渗透。有限与无限的思想在小学数学中也有较多的渗透。在数的认识中体会有限与无限的思想。在数的认识中体会有限与无限的思想。如如体会到体会到自然数数列的无限多和趋向无穷大。自然数数列的无限多和趋向无穷大。在认识图形时渗透有限与无限的思想。如直线、在认识图形时渗透有限与无限的思想。如
9、直线、射线、角的边、平行线等，都具有无限延伸的特射线、角的边、平行线等，都具有无限延伸的特性性。.15有限与无限思想的有限与无限思想的教学教学数学思想方法的分类不像数学各个领域或者分支数学思想方法的分类不像数学各个领域或者分支学科那样，有比较系统而严格的分类，甚至各种学科那样，有比较系统而严格的分类，甚至各种数学思想方法之间还有很多交叉，同一个数学知数学思想方法之间还有很多交叉，同一个数学知识有时可以用多种思想方法来解释。识有时可以用多种思想方法来解释。 有限与无限思想的教学，不要求学生利用这一思有限与无限思想的教学，不要求学生利用这一思想去解决问题，而想去解决问题，而重点在于让学生感受它的魅力重点在于让学生感受它的魅力，包括有限与无限的相互转化、，包括有限与无限的相互转化、对立统一的辩证对立统一的辩证关系等，为以后的数学学习打下初步的基础。关系等，为以后的数学学习打下初步的基础。.16转化：转化：曲曲直；直； 有限有限无限无限 ；近似；近似精确精确体现对立统一、相互转化以及量变导致质变等辨证体现对立统一、相互转化以及量变导致质变等辨证思思想想。在这个过程中，不但运用了。在这个过程中，不但运用了变换变换的思想和方法，的思想和方法，而且还运用了而且还运用了极限极限思想和方法。思想和方法。
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