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1、兰州大学物理科学与技术学院物理系1、2专业（班）一年级数学物理方法 课程2003 200 学年第三学期（A 卷一期末考试题（150分车中）考讪寸问姓名 学号题号得分分数主考教师：徐进章阅卷教师：、填空题（30分，没有标明分数值的每空3.5分）格林函数是，其对称性可表示 为:二;科希-黎曼条件（又称C-R条件）为：,是复变函数可导的 （1分）；用指数形式表示/的值;0 WRez W1在复数平面上具有的物理意义是： ；E 1一-1/一上 c/ci2勒让德多项式的母函数为： ;已知像函数为L（p + R/2L）, 其原函数为 ; esin双的像函数为;数学物 理方程的三类边界条件可用一个数学式表示出
2、来 其中第二类 边界条件是（1分）的情况。、（20分）均匀圆球，半径为0,初始温度均匀为u0,把它放入温度为U0的烘箱，使 球面温度保持为U。，求解球内各处温度u的变化情况 三、（20分）矩形膜，边长为l1和l2, l1边及其对边固定，另两边处于自由状态，请用分 离变量法求解其振动情况。四、（20分）一个半径为a的空心球，若表面充电到电势为u0sin2,求解球内、外的电 势分布。二 cos2二x五、（20分）计算实变函数定积分二二 x4 4dx兰州大学物理科学与技术学院物理系1、2专业（班）一年级数学物理方法 课程2003 200 学年第三学期（A 卷一期末考试题（150分车中）考讪寸问姓名
3、学号题号得分分数主考教师：徐进章阅卷教师:填空题（30分，没有标明分数值的每空3.5分）11格林函数是点源在一定的边界和初始条件下所产生的 场,其对称性可表示为：u（r;r ）=u（r;r）;；:u _ A Fv _ ；:u科希-黎曼条件（又称 C-R条件）为：原 内汉 出，是复变函数可导的 必要条件（1分）；用指数形式表示T的值e，2n*/2）n； 0 WRezWl在复数平面上具有的物理意义是:X=0和X=1两条直线间的带状区域，且含X=0和X=1两条直线;勒让德多项式的母函数为:1(1 -2rcosi r2)1/2i ,.、 二 1=r Pi(cosu)、 fPi(cosi)0或0 rE
4、12已知像函数为L （p + R/2L），其备注：请出A、B两套试题并用微机打印， 于考试前两周将试题及标准答案送院办公室第一页，共页E-Rtte 2L 原函数为L二 cos2二x二 x4 4dxe sin函的像函数为（p+切+82 ；数学物理方程的三类边界条件可j|a + Pu= f用一个数学式表示出来L加 工，其中第二类边界条件是B= （1分）的情况。、（20分）均匀圆球，半径为0,初始温度均匀为u0,把它放入温度为Uo的烘箱，使 球面温度保持为U。，求解球内各处温度u的变化情况 三、（20分）矩形膜，边长为l1和l2, l1边及其对边固定，另两边处于自由状态，请用分 离变量法求解其振动情
5、况。四、（20分）一个半径为a的空心球，若表面充电到电势为UoSid,求解球内、外的电 势分布。五、（20分）计算实变函数定积分参考答案:二、解：取球坐标系，极点在球心，定解问题2 - 2ut -a V u=0Y Uy =U0I ut卫=U0首先把边界条件齐次化，即平移温标：令 u = U0 + vvt -a2 y 2v = 0=U0 - U0其解为:v j0(kr)pm(cos：i)sin m : ; cosm e_k2a2t问题与中，与a无关，即m = 0 1=0,故,八、上2a2tsin kr 上2a2tj0(kr)e、ke, n 二kn =只有r0sin kr02a2t八e = 0带入
6、边界条件kr0s in nr/(r0)“n-r/r0)2a2tv 二Ane带入初始条件后:对应的本征解为n： n二r/r0.A sin(nr/r0)U-An, 一 u0 U0n a n 二 r / r0把等式右边按球Bessel函数展开，比较两边系数得：2r0 sin(n r/r0) 2r0 sin(n r/r0), 2nAnr (U0 -U0)dr/ r dr = 2(-) (U0 -U0)0n二 r/r00n二 r/r02(U 0 - U0) (-)-n2k2a2t/r0n ru =U0 -e 0 sin()所以：一 r nV nr0三、定解问题2 .一2 t Utt - a (Uxx+y
7、yy)=00x1i, 0yl2,a = )u u(0, y,t) =u(l1,y,t) =0 (0 y l2) Uy(x,0,t) = Uy(x/2,t) = 0 (0x0 u0 -(1 - Cos2 - )Pl (Cos) )Cos d2l 122二/ 10 (u0 o1 -2. _-u0 Cos2?)Pl (Cos)sin ?d?2u01- 2二 J I o12.1, ,fU0 (3Cos 二-1) - -u0Pl(Cos-)sin -d- 6621 1 一 11丁丁 q _u0 _ u0 _ p2 (Cos-)Pl(Cos-) sin -d-21 1 二J -、 1-. u0P0(Cos
8、i)u0P2(Cosu)P1 (CosI)sin m120 33由勒让德多项式的正交性1 = 01尸12cC0 = -u0P0(Cos6)2Sinede2，31 n 一 一一一；= u0 sin6d66七1U0= -u0 1 -dCose =-Cos9 |06七62Ju。1 =2-21 1 - 1-一.C2 =- U0P2 (Cos )P2 (Cos )Sin d2。32 一3u。r2ro:.u(r,H)=Ci( )1 P(Cos9)= u01-( )2P2(cos9) i z0a3a也可以不用关系:QOu(r。=、C1r弋(Cosi) (r :二 a)1 =0QO二乂 CPCosu) =u0
9、Sin2u1=2 u0(11 =02 .1232 . 1u0-Cos -)u0 - u0( Cos )2344622=u0P0(Cosi) -u0P2(Cos) 33C0 =2u0比较系数得： 3C2 = -ru0 G =0(1 =0,2) 3a22、在球外：u(r,e ) = D1r”)P(Cose)1 =0: Dea e 1) :?e(Cos-) = u0Sin2 -1 3022= WU0PO(Cos。) - - uoP2 (CosT1)33c 2a cD0U0 D232a一 u,球外解为u(rp) =32aDl = 0 (l = 0,2)五、解:F(z)ei2?371-2 a P2(Cos) r被积函数是偶函数I =2所以：二cos2二x , dx0 x4 41ai2 ?4 ez4 4在上半瓶面有两个奇点亦即:z 富二/4(单极点)Z0 一 2尸/4Resf(i -1)I =2二 iResf(1 i) Resf(1-i) =e/ 二4zo = 1 + i 和 zo = i(i 1)e2：16类积分1
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