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1、 初三数学竞赛试题（决赛） （时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（每小题5分，共30分）1两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和 b的大小为（ ）A B C D与勺子大小相关2若，则关于a的说法准确的是（ ） A是正整数，而且是偶数 B是正整数，而且是奇数 C不是正整数，而是无理数 D无法确定3方程的所有整数解的个数是（ ）A5个 B4个 C3个 D2个4如图，直线l1：与直线l2：把平面直角坐标系分成四个部分，点（1，2）在（ ）A第一部分 B第二部分 C第三部
2、分 D第四部分5方程的解的个数是（ ） A1个 B2个 C3个 D4个AOCBP一Oyx二三四 第4题 第6题6如图，点P为弦AB上的一点。连接OP。过点P作PCOP，PC交O于C若AP8，PB2，则PC的长是（ ） A4 B C5 D无法确定二、填空题（每小题5分，共30分）7已知已知、是一元二次方程的两个根，则代数式的值等于 8已知，则的值为 9如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD3，AO8，OC5，若点P在梯形内且SPADSPOC，SPAOSPCD，那么点P的坐标是 385OxCyAD10如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B、C、G在同一直
3、线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为 第9题 第10题11军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进位制表示为，七进位制表示为 ，那么苹果的总数用十进位制表示为 12若二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（1，0）则的值的变化范围是 三、解答题（每小题15分，共60分）13已知A港在B港的上游，小船于凌晨3：00从A港出发开往B港，到达后立即返回，来回穿梭于A、B港之间，若小船在静水中的速度为16千米小时，水流速度为4千米小时，在当晚23：00时，有人看见小船在距离A港80千米处行驶求A、B两个港口之间的距离14如图，RtABC的内切圆O和斜边BC的切点为T，求证：
4、BTTCSABCTOCBA15已知：关于x的方程有两个符号不同的实数根，且0；关于x的方程有两个有理数根且两根之积等于2求整数的值16已知二次函数（1）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记两数中较大者为P，试求P的最小值（2）若变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标参考答案一、选择题1C 2B 3B 4B 5B 6A二、填空题75 8 9， 10 11220 120S2三、解答题13设两港口之间距离为，则233=20（小时） 则小船行驶AB间一周的时间不小于（小时） 小船为行驶一周后，由再
5、出行80千米或还差80千米行驶一周，又或还差80千米行驶2周 （5分）（1）第一种情况：（千米）（8分）（2）情况二（千米） （11分）（3）情况三（千米） （14分）综上所述，A、B两港口之间的距离可能是100千米或120千米或200千米（15分)14证明：如图，设AB切O于E，AC切O于F，连结OE、OF、OTO为ABC的内切圆，切点分别为T、E、F，BTBE、AEAF、CFCTBTBCBAAC，CTCACBAB，FTEOCBA ，15由方程知：，00，（3分）2m2（6分）由方程知：（舍去），（8分）代入得：方程的两根为有理数，其中k为正整数，即 （11分）因为n，k均为整数，所以与的奇偶性相同，且，或或（15分）16 （1）由过点（1，1）得到：要比较m，n4的的大小，即： （5分）如图所示，当时，（8分）（2）图象与坐标轴有三个不同的交点，可设交点坐标为A（x1，0），B（x2，0），C（0，n2）又x1x2n2，若n0，则与三个交点不符，x1x2n20，x1，x2分布在原点左右两侧 （10分）又，存在点P0（0，1）使得|OA|OB|OP0|OC|，所以A，B，C，P四点共圆，这些抛物线必过定点P0（0，1）（15分）
初三数学竞赛试题决赛
