样本与抽样分布

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1、1第四章第四章 统计估计方法统计估计方法引言引言总体与样本总体与样本统计中常用的三种分布统计中常用的三种分布抽样分布抽样分布点估计方法点估计方法区间估计区间估计2引引 言言数理统计学是数学的一个重要分支，它研究怎样数理统计学是数学的一个重要分支，它研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，并为采取一定对所考察的问题作出推断或预测，并为采取一定的决策和行动提供依据和建议的决策和行动提供依据和建议。几个实际问题：几个实际问题：1. 估计产品寿命问题估计产品寿命问题: 根据用户调查获得某品牌洗衣根据用户调查获得某品牌洗衣

2、机机50台的使用寿命为，台的使用寿命为，5，5.5，3.5，6.2，.。根。根据这些数据希望得到如下推断：据这些数据希望得到如下推断：A可否认为产品的平均寿命不低于可否认为产品的平均寿命不低于4年？年？B保质期设为多少年，才能保证有保质期设为多少年，才能保证有95%以上的产品以上的产品过关？过关？32 2商品日投放量问题：如草莓的日投放量多少合理？商品日投放量问题：如草莓的日投放量多少合理？如何安排银行各营业网点的现金投放量？快餐食品以如何安排银行各营业网点的现金投放量？快餐食品以什么样的速度生产最为合理等等。什么样的速度生产最为合理等等。例例 制衣厂为了合理的确定服装各种尺码的生产比制衣厂为

3、了合理的确定服装各种尺码的生产比例，需要调查人们身长的分布。现从男性成人人群例，需要调查人们身长的分布。现从男性成人人群中随机选取中随机选取100100人人, ,得到他们的身长数据为得到他们的身长数据为: :(1) (1) 试推断男性成人身长试推断男性成人身长X X的概率密度的概率密度(2)(2)若已知若已知X X服从正态分布服从正态分布N(N( , , 2 2),),试估计参数的试估计参数的 , , 2 2值值已知已知“总体总体”的分布类型的分布类型,对分布中的未知参数所对分布中的未知参数所进行的统计推断属于进行的统计推断属于“参数统计参数统计”.4 1. 1. 总体总体： 研究对象的全体。

4、研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标。通常指研究对象的某项数量指标。组成总体的元素称为组成总体的元素称为个体。个体。从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。随机变量的分布。4.2 数理统计的某些概念数理统计的某些概念一、总体与样本一、总体与样本52. 样本样本: :来自总体的来自总体的部分个体部分个体X X1 1， ，X Xn n 抽取的样本如果满足：抽取的样本如果满足：（1 1）同分布性同分布性( (代表性）：代表性）： X Xi i，i=1,ni=1,n与总体同分布与总体同分布. .（2 2）独立性：独立性： X X1 1， ，X

5、 Xn n 相互独立；相互独立； 则称为则称为容量为容量为n n 的简单随的简单随机样本机样本，简称，简称样本样本。而称而称X X1 1， ，X Xn n 的一次实的一次实现现( (一次观测记录值一次观测记录值) )为为样样本观察值本观察值，记为，记为x x1 1， ，x xn n 6来自总体X的随机样本X X1 1， ，X Xn n可记为),.(),(,1xFxfXXXiidn或显然，样本联合分布函数或密度函数为 niinxFxxxF121*)(),(或或 niinxfxxxf121*)(),(73.总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本 样本观察值样本观

6、察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断样本观察值，去推断总体的情况总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体去推断总体8二、统计量二、统计量定义：定义： X X1 1， ，X Xn n是总体是总体X X的一个样本的一个样本,g(X,g(X1 1, , ，X Xn n ) )为一个为一个n n元实函数，元实函数，如果如果g(X1， ，Xn

7、 )不含未知参数，则称不含未知参数，则称g(X1， ，Xn )是总体是总体X X的一个的一个统计量统计量, ,1. 11 niiXnX样样本本均均值值,)()(11. 22122SSXXnSnii 标标准准差差样样本本均均方方差差样样本本方方差差几个常用的统计量几个常用的统计量 ： 未修正的样本方差未修正的样本方差22011()niiSXXn （修正样本方差）（修正样本方差）9 nikiknikikXXnBXnA11,)(11中中心心矩矩原原点点矩矩3.样本样本k阶矩阶矩211()niiXn 211()niiXn 11niiXXn X 例：例： ， 已知，已知， 未知未知2( ,)XN 2 1

8、0统计中常用的三种分布统计中常用的三种分布一、一、 2分布分布 统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布： 2 2分布、 t t 分布和F F分布。 .).(),1 , 0(,. 1221221分分布布的的称称为为自自由由度度为为则则设设构构造造 nnXNXXniiiidn4.3 抽样分布抽样分布抽样分布：统计量的分布。（有些含有未知参数抽样分布：统计量的分布。（有些含有未知参数 的随机样的随机样本函数的分布也称抽样分布）本函数的分布也称抽样分布）112.2分布的分布的密度函数密度函数f(y)曲线曲线 0y, 00y,ey)y( f2y12n)2/n(212/n123. 分位点分

9、位点 设设X 2(n)，若对于，若对于 ：0 1， 存在存在0)(2 n 满足满足,)(2 nXP则称则称)(2n 为为)(2n 分布的上分布的上 分位点。分位点。2( )nP322附表附表313例例. ，求，求 ，使，使2(11)X 12, 21()()0.025P XP X 210.975(11)3.816 1()0.025P X 1()0.975P X 220.025(11)21.920 2()0.025P X 解：解：144.性质：性质：a.分布可加性分布可加性 若若X 2(n1)，Y 2(n2 )， X， Y独立，则独立，则 X + Y 2(n1+n2 )b.期望与方差期望与方差 若

10、若X 2(n)，则，则E(X)= n，D(X)=2n1.构造构造 若若XN(0, 1), Y 2(n), X与与Y独立，则独立，则).(/ntnYXT t(n)称为自由度为称为自由度为n的的t分布。分布。二、二、t分布分布15t(n) (n) 的概率密度为的概率密度为tntnnnthn,)1 ()2()21()(212162.2.基本性质基本性质: : (1) f(t) (1) f(t)关于关于t=0(t=0(纵轴纵轴) )对称。对称。 (2) f(t) (2) f(t)的极限为的极限为N(0N(0，1)1)的密度函数，即的密度函数，即 3.3.分位点分位点 设设T Tt(n)t(n)，若对，

11、若对 :0:0 1,0(n)0， 满足满足PTPT t t (n)=(n)= ，则称则称t t (n)(n)为为t(n)t(n)的上侧分位点的上侧分位点 x,e21) t () t ( flim2tn2)(nt17注注:)()(1ntnt )(1nt)(nt18三、三、F分布分布 1.构造构造 若若U 2(n1)， V 2(n2)，U， V独立，则独立，则).,(/2121nnFnVnUF 称为第一自由度为称为第一自由度为n1 ，第二自由度为，第二自由度为n2的的F分布分布,其概率密度为其概率密度为 0y, 00y,)ynn1)(2n()(y)n/n)(2nn()y(h2/ )nn(2122n

12、12n2/n212121111192. F2. F分布的分位点分布的分位点对于对于 ：00 10)0，满足满足PFPF F F (n(n1 1, , n n2 2)=)= ， 则则称称F F (n(n1 1, , n n2 2) )为为F(nF(n1 1, , n n2 2) )的的上侧上侧 分位点；分位点；),(21nnF ),(1),(12211nnFnnF 注：注：201),(211nnFFP证明证明:设设FF(n1,n2),则则1),(11211nnFFP),(112nnFF),(11211nnFFP),(112nnFFP得证得证!2112,nXXX定理定理4.4 ， 来自总体来自总体

13、 的一的一个样本，则个样本，则 服从均值为服从均值为 ，方差为，方差为 的正态分的正态分布。布。 2n 2( ,)XN XX 四、四、正态总体的样本均值和样本方差的分布正态总体的样本均值和样本方差的分布21.,( ,),(0,1)/iidnXXXNNn 推论 若则22证明证明:niiXnX11是是n 个独立的正态随个独立的正态随机变量的线性组合机变量的线性组合,故故服从正态分布服从正态分布niiXEnXE1)(1)(nXDnXDnii212)(1)(),(2nNX) 1, 0(/NnX12,nXXX定理定理4.5 ， 来自总体来自总体 的一的一个样本，则个样本，则2( ,)XN X2211()

14、 ()niiXn23;)1(),(,. 2221相互独立相互独立与与则则若若SXNXXiidn );1()1()2(2222 nSn ).1(/)3( ntnSXT (3)证明证明:)1, 0(/NnXU 且且U与与V独立独立,根据根据t分布的构造分布的构造);1()1(222 nSnV )1(1 ntnVU得证得证!定理定理4.6-4.7 24定理定理4.8 212,nYYY取自取自22(,)N 112,nXXX取自取自21(,)N 两组样本相互独立两组样本相互独立122212()()XYnn (0,1)N25定理定理4.9 212,nYYY取自取自22(,)N 112,nXXX取自取自21

15、(,)N 两组样本相互独立两组样本相互独立1212()()11wXYtSnn 12 (2)t nn 222112212(1)(1)2wnSnSSnn 其中其中注：注：2221226证证*：221212(,)XYNnn 1212()11XYUnn (0,1)N2112(1)nS 21(1),n 2222(1)nS 22(1)n V 2112(1)nS 2222(1)nS 212(2)nn 122UVnn1212()()11wXYSnn 12 (2)t nn 2712221111222111112222213.,(,),(,),.()/( ,);()/iidiidnnniiniiXXNYYNXnF

16、F n nYn 若且两样本独立 则定理定理4.11212,nYYY112,nXXX取自取自222(,)N 取自取自211(,)N 两组样本相互独立两组样本相互独立22112222/SFS 12(1,1)F nn 定理定理4.1028例例1：设总体：设总体XN(10,32), X1， ，Xn是它的一个样本是它的一个样本 61iiXZ(1)写出写出Z所服从的分布所服从的分布;(2)求求P(Z11).例例2：设：设X1， ，X10是取自是取自N（0，0.32)的样本的样本,求求 101244. 1iiXP29例例2. 设设 为取自总体为取自总体 的样的样 本，求本，求1210,XXX(0,0.09)XN1021(1.44)iiPX 解：解：(0,0.09)XN(0,1)0.3iXN1,2,10i 22(1)0.3iX 1,2,10i ，且相互独立，且相互独立21021(10)0.3iiX 1021(1.44)iiPX 21011.440.30.09iiXP 2101160.100.3iiXP 30例例3：设：设X1， ，Xn是取自是取自N（ , 2)的样本的样本,求样求样本方差本方差S2的期望与方差。的期望与方差。