角(基础)知识讲解

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1、角(基础)知识讲解【学习目标】1 .掌握角概念及角表示方法，并能进行角度互换；2 .借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小比较方法；3 .会利用角平分线意义进行有关表示或计算；4 .掌握角和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5 .掌握互为余角和互为补角概念及性质，会用余角、补角及性 质进行有关计算；6 . 了解方位角概念，并会用方位角解决简单实际问题.【要点梳理】【高清课堂：角397364角概念】要点一、角概念1. 角定义：(1)定义一：有公共端点两条射线组成图形叫做角，这个公共端 点是角顶点，这两条射线是角两条边.如图1所示，角顶点是点 0,边是射线、.(2)定石二：一条射线绕着它端闱旋转而形

2、成图形，射线旋转 时经过平面部分是角内部.如图2所示，射线绕它端点0旋转到 位置时，形成图形叫做角，起始位置是角始边，终止位置是角终 边.要点诠释:(1)两条射线有公共端点，即角顶点；角边是射线；角大小及角两边长短无关.(2)平角及周角：如图1所示射线绕点0旋转，当终止位置和起始位置成一条直线时，所形成角叫做平角，如图2所示继续旋转，和重合时，所形成角叫做周角. C ./(B)周角困2BOA 平角图12 .角表示法：角几何符号用表示，角表示法通常有以下要点诠释:用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母.3 .角画法（1）用三角板可以画出30、45、

3、60、90等特殊角.（2）用量角器可以画出任意给定度数角.（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角.要点二、角比较及运算1 .角度制及其换算角度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份， 每一份就是1角，1工为1分，记作，1为1秒， 6060记作“1” 这种以度、分、秒为单位角度量制，叫做角度制.1 周角=360 , 1 平角= 180 , 1 =60 , 1 =60” .要点诠释：在进行有关度分秒计算时，要按级进行，即分别按度、分、 秒计算，不够减，不够除要借位，从高一位借单位要化为低位单 位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时 要向高一位进位.2 .角比较：角大小

4、比较及线段大小比较相类似，方法有两种.方法1：度量比较法.先用量角器量出角度数，然后比较它们 大小.方法2：叠合比较法.把其中一个角移到另一个角上作比较.如比较N和NA 0, B大小：如下图，由图（1）可得NV NA 0 B；由图（2）可得N = NA 0 B；由图（3）可得N NA 0 B .(3)3 .角和、差关系如图所示，N是N1及N2和，记作：N = N1+N2； Z1是N及N2差，记作：Z1 = ZZ2.要点诠释:（1）用量角器量角和画角一般步骤：对中（角顶点及量角器中心对齐）；重合（一边及刻度尺上零度线重合）；读数（读出另一 边所在线度数）.（2）利用三角板除了可以做出30、45。

5、、60。、90外，根据角和、差关系，还可以画出15 , 75 , 105 , 120 , 135 , 150 ， 165 角.4 .角平分线从一个角顶点出发，把这个角分成相等两个角射线，叫做这个角平分线.如图所示，是N角平分线，N = 2N = 2N,N = N 2要点诠释：由角平分线概念产生合情推理其思维框架及线段中点 思维框架一样.要点三、余角和补角L定义：一般地，如果两个角和等于90。（直角），就说这两个 角互为余角，即其中一个角是另一个角余角.类似地，如果两个角和等于180。（平角），就说这两个角互 为补角，即其中一个角是另一个角补角.2.性质：（1）同角（等角）余角相等.（2）同角（

6、等角）补角 相等.要点诠释：（1）互余互补指是两个角数量关系，互余、互补两个角只及它们 和有关，而及它们位置无关.（2） 一般地，锐角a余角可以表示为（90。-a）, 一个角a补角可 以表示为（180 -a）.显然一个锐角补角比它余角大90。要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向角.例如，图 中射线方向是北偏东60 ；射线方向是南偏西30 .这里“北 偏东60 ”和“南偏西30 ”表示方向角，就叫做方位角.要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60 ” 一般不说成“东偏北30 ”；（3）在同一问题

7、中观察点可能不止一个，在不同观测点都要画出 表示方向“十字线”，确定其观察点正东、正西、正南、正北方向;(4)图中点。是观测点，所有方向线(射线)都必须以。为端点.要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30 角，分针1分钟转6 ,时针每小时转30 ,时针1分钟转0.5 , 利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度计算问题.【典型例题】类型一、角概念及表示.下列语句正确是().A.两条直线相交，组成图形叫做角.B.两条具有公共端点线段组成图形叫做角.C.两条具有公共端点射线组成图形叫做角.D.过同一点两条射线组成图形叫做角.【答案】C【解析】根据角定义判断【总

8、结升华】角不能仅仅看作是有公共端点两条射线，角两种描 述中都隐含了组成角一个重要元素，即两条射线间相对位置关 系，这是角及“有公共端点两条射线”重要区别.举一反三：【变式】判断下列说法是否正确(1)两条射线组成图形叫做角()(2)平角是一条直线()(3)周角是一条射线()【答案】（l）x （2）X （3）X2.写出图中（1）能用一个字母表示角；（2）以B为顶点角；（3） 图中共有几个角（小于180。）.【答案及解析】解：（1）能用一个字母表示角NA、ZC.（2）以B为顶点角N、N、Z.（3）图中共有7个角.【总结升华】（1）顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示； （2）一般数角时不包括平角

9、和大于平角角.类型二、角度制换算03. （1）把 25. 72。用度、分、秒表示；（2）把 45。12 30 化成度（精确到百分位）.【思路点拨】第题中25. 72中含有两部分25和0.72 , 只要把0.72化成分、秒即可.第题中，45。12, 30含有 三部分45 , 12和30，其中45已经是度，只要把12,和 30化成度即可.【答案及解析】解：（1）0. 72 =0.72X60 =43.2 , 0.2 =0.2X60= 12”,所以 25.72 =25 43 12 .1 （2） , 12.5 = 12.5x 0.21V60J所以 45 12f 30 =45.21 .【总结升华】无论由高

10、级单位向低级化还是由低级单位向高级化, 都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错.举一反三：【变式】(1)把26. 29。转化为度、分、秒表示形式；把33。24 36转化成度表示形式.【答案】解：(1)26. 29 =26 +0.29 =26 +0.29 X 60 =26 +17.4,= 260 +17, +0.4X60 =26 17, +24= 26 17 24(2)33 24 36 =330 +24, +36义=33 +24, +0.6= 330 +24.6 =330 +24. 6X =33. 41提示：在角度和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表 示，然后再进行计算。类型三、角比较及

11、运算4.不用量角器，比较图1和图|2中角大小.(用连接)图1图2【思路点拨】图1中两角Na、NB均为锐角，因此，在不能测 量情形下，我们可以将图中Na向N 8平移，让Na及NB始边 重合，观察终边位置来比较角大小.图2中三个角按角分类，Z 1为锐角，N2为直角，N3为钝角，因此按照各自范围就可以 将它们大小比较出来.【答案及解析】解：（1）如图所示，将Na平移使Na始边及NB始边重合，发 现Na落在NB内部，因此NBNa.（2）由图可知N1是锐角，N1V9O ,N2是直角，即N2 = 90 , N3 是钝角，即 90 Z3N2N1.【总结升华】本例给出两题是在不用量角器测量角情况下比较角 大小

12、，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则是根据角分类， 由图形观察角不同分类，按照常见锐角直角钝角平角周 角来比较大小.举一反三：【变式】已知N （如图所示），画一个角等于这个角.9/14【答案】作法：(1)以点。为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点C、D；(2)画一条射线O A,以点0为圆心，长为半径画弧1, 交O A于点C；(3)以点C为圆心，长为半径画弧，交弧1于点D；(4)过点 D画射线 O B,则NA O B =N.05.如图所示，已知平分N,且N = 20 ,是N平分线，求 N度数.【答案及解析】解：因为平分N,且N = 20 ,所以N = 2N2X20 =40 .又是N平分线，所

13、以N=2N = 2X40 =80 .【总结升华】应用角平分线定义时根据两点：若是N平分线，则 N = N = Ln；N = 2N = 2N,在解题时要学会灵活应用.2【高清课堂：角397364角有关计算例3】举一反三：【变式】已知：如图，是/平分线，是/平分线，Z8O0 ,求: Z.【答案】解：平分N,平分N,/, （角平分线定义）22AZZZ=izlzl（zz） 222= LZ-XSO =40.22即 N40 .类型四、余角和补角【高清课堂：角397364角有关计算例1】6.已知角a余角比角a补角:还少20 ,求角a余角.【答案及解析】解：由题意可得：角a余角为（90 ），补角为（180 ）

14、,于是得：90 - （180） -20 ,解得：75390 90-75 =15答：角a余角为15。.【总结升华】此题关键是掌握互为余角、补角定义，然后根据题中关键语句列出方程或代数式，求出相应角度数.类型五、方位角07. A看B方向是北偏东30 ,那么B看A方向是（）.A.南偏东60B.南偏西60C.南偏东30D.南偏西30【答案】D【解析】依题意画出示意图.由图可知，图中N1即表示从A看 B北偏东30 , N2是从B看A方位角.由此可确定从B看A是 南偏西30 .【总结升华】从本例分析及结果来看，从A看B及从B看A正好 是一对对立观察过程，其方向是一种“相反”对应关系.方位角 确定首先以什么

15、点为基点（即人站在此处观察）要弄清楚，再由 正南或正北到视线夹角测量出来.举一反三：【变式】小王从家出发向南偏东30方向走了 1000米到达小军 家，此时小王家在小军家方向.【答案】北偏西30。类型六、钟表上有关夹角问题眇8.计算：4时15分时针及分针夹角.尸丁【答案及解析】g 0y ）彳解法一：如图（1）,设4时15分时针及分针（1）夹角为Na （注：夹角指小于180。角），时针转过角度为:30 X4+0. 5 X15,分针转过角度为：6 X15,所以Na =30 X4+0. 5 X15-6 X 15 = 37. 5 .解法二：如图(1), N = 30 Xl = 30 , N = 0.5

16、X15 = 7.5 .所以N = 37. 5 .即4时15分时针及分针夹角为37. 5【总结升华】求钟表中时针及分针夹角有两种方法：第一种方法 利用时针及分针每分钟转速求解，比如解法一；第二种方法直接 根据图形求夹角，如解法二.举一反三：【变式】2时48分时针及分针夹角.【答案】解法1：如图，设2时48分时针及分针夹角为N a ,所以 Na =360 -(48X6 -2X30 0. 5 )= 360 -204 =156解法2：如图(2)Z = 30 X4 = 120 ,Z = 2X6 =12 ,N = 48X0. 5 =24 ，所以N = NNN = 156 .即2时48分时针及分针夹角为156 .13 / 14