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1、章末质量评估(二)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B过直线m有且只有一个平面与平面垂直C与直线m垂直的直线不可能与平面平行D与直线m平行的平面不可能与平面垂直解析画图或在正方体模型中观察可得答案B2(2012聊城二中高一检测)如图，l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线AC B直线ABC直线CD D直线BC解析Dl，l，D.又C，CD.同理CD平面ABC，平面ABC平面C
2、D.答案C3对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得()Aa，b Ba，bCa，b Da，b解析因为已知两条不相交的空间直线a和b，所以可以在直线a上任取一点A，则Ab.过A作直线cb，则过a，c必存在平面且使得a，b.答案B4已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABm BACmCAB DAC解析容易判断A、B、C三个答案都是正确的，对于D，虽然ACl，但AC不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，但不一定垂直答案D5设直线l平面，过平面外一点A与l，都成30角的直线有且只有()A1条 B2条 C3条 D4条解析如
3、图，和成30角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当ABCACB30，直线AC，AB都满足条件，故选B.答案B6如图，ABC中，ACB90，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点Pl，当点P逐渐远离点A时，PCB的大小()A变大 B变小C不变 D有时变大有时变小解析由于直线l垂直于平面ABC，lBC，又ACB90，ACBC，BC平面APC，BCPC，即PCB为直角，与点P的位置无关，选C.答案C7(2012泰安高一检测)设m、n表示不同直线，、表示不同平面，则下列结论中正确的是()A若m，mn，则nB若m，n，m，n，则C若，m，mn，则nD若，m，nm，n，则n解析A选项不正确，n还有
4、可能在平面内，B选项不正确，平面还有可能与平面相交，C选项不正确，n也有可能在平面内，选项D正确答案D8已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析由题意知三棱锥A1-ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1a，棱柱的高A1O a(即点B1到底面ABC的距离)，故AB1与底面ABC所成角的正弦值为.答案C9在四面体A-BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的平面角的余弦值为()A. B. C. D.解析取AC的中点E，CD的中点F，连接EF，BF，BE，
5、AC，其余各棱长都为1，ADCD.EFCD.又BFCD，BFE是二面角A-CD-B的平面角EF，BE，BF，EF2BE2BF2.BEF90，cosBFE.答案C10如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1D1，EF，CD都相交的直线()A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条解析在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点，如下图，故选D.答案D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16
6、分，把答案填在题中横线上)11(2012成都高一检测)已知平面，和直线m，给出条件：m；m；m；.当满足条件_时，有m.(填所选条件的序号)解析若m，则m.故填.答案12如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：_时，SC平面EBD.解析E为SA中点，连接AC交BD于O，连接OE，则OESC，SC平面EBD.答案E为SA中点13已知矩形ABCD，AB3，BCa，若PA平面AC，在BC边上取点E，使PEDE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是_解析如图所示，连接AE，要使PEDE，由于DEPA，则需DEAE.在矩形ABCD中，AED90，满足条件
7、的E点有两个，以AD为直径的圆与BC相割圆心到直线BC的距离dR，即3，得a6.答案a614如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，ABCDO，且ABCD，SOOB2，P为SB的中点则异面直线SA与PD所成角的正切值为_解析连接PO，则POSA，OPD即为异面直线SA与PD所成角的平面角且OPD为直角三角形， POD为直角，tanOPD.答案三、解答题(本大题共5小题，共54分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(10分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)证明：PA平面EDB；
8、(2)证明：PB平面DEF.证明(1)如图，连接AC交BD于O.连接EO.底面ABCD是正方形，点O是AC的中点，在PAC中，EO是中位线，PAEO. 而EO平面EDB且PA平面EDB.所以PA平面EDB.(2)PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDC，PDDC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，DEPC，同理：由PD底面ABCD，得PDBC.底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC.而DE平面PDC，BCDE.由和推得DE平面PBC.而PB平面PBC，DEPB，又EFPB且DEEFF，所以PB平面EFD.16(10分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD
9、对角线的交点，G是PB的中点(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，证明：PD平面AGC；证明：平面PBD平面AGC.(1)解(1)该几何体的直观图如图所示(2)证明如图所示，连接AC、BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OGPD.又OG平面AGC，PD平面AGC， 所以PD平面AGC.连接PO，由三视图可知PO平面ABCD，所以AOPO.又AOBO，所以AO平面PBD.因为AO平面AGC，所以平面PBD平面AGC.17(10分)(2012宁波高一检测)如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中点(1)求证：EDAC；(2
10、)若直线BE与平面ABCD成45角，求异面直线GE与AC所成角的余弦值(1)证明在矩形ADEF中，EDAD，平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD，ED平面ABCD，EDAC.(2)解由(1)知：ED平面ABCD，EBD是直线BE与平面ABCD所成的角，即EBD45，设ABa，则DEBDa，取DE中点M，连接AM，G是AF的中点，AMGE，MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角连接BD交AC于点O，连接MO.AMCM a， O是AC的中点，MOAC，cosMAC，异面直线GE与AC所成角的余弦值为.18(12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中(即侧棱垂直于底面的三棱
11、柱)，ACB90，AA1BC2AC2.(1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1-CD-C1的大小为60.(1)证明A1C1B1ACB90，B1C1A1C1又由直三棱柱性质知B1C1CC1，B1C1平面ACC1A1.B1C1CD，由AA1BC2AC2，D为AA1中点，可知DCDC1，DC2DCCC4，即CDDC1，又B1C1CD，CD平面B1C1D，又CD平面B1CD，故平面B1CD平面B1C1D.(2)解当ADAA1时二面角B1CDC1的大小为60. 假设在AA1上存在一点D满足题意，由(1)可知B1C1平面ACC1A1，如图，在
12、平面ACC1A1内过C1作C1ECD， 交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1CD，所以B1EC1为二面角B1CDC1的平面角，B1EC160，由B1C12知，C1E，设ADx，则DC，DCC1的面积为1，1，解得x，即ADAA1，在AA1上存在一点D满足题意19(12分)(2012济南高一期中测试)如右图，在RtAOB中，OAB30，斜边AB4，RtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角动点D在斜边AB上(1)求证：平面COD平面AOB；(2)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；(3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值(1)证明由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角B-AO-C的平面角，又二面角BAOC是直二面角COBO.又AOBOO，CO平面AOB.又CO平面COD，平面COD平面AOB.(2)解作DEOB，垂足为E，连接CE(如右图)，则DEAO.CDE是异面直线AO与CD所成的角在RtOCB中，COBO2， OEBO1，CE.又DEAO，在RtCDE中，tanCDE.即异面直线AO与CD所成的角的正切值是.(3)解由(1)知，CO平面AOB，CDO是CD与平面AOB所成的角，且tanCDO.当OD最小时，CDO最大，这时，ODAB，垂足为D，OD，tanCDO，即CD与平面AOB所成角的正切值的最大值是.
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