38两个及多个物块与弹簧相互作用模型2

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1、“两个及多个物块与弹簧相互作用”模型太原市第十二中学 姚维明模型建构：这类问题一般比较复杂，特别是两个物体与弹簧相互作用更是常见，而近年来多个物体与轻弹簧相互作用问题也时有出现象这几年高考题，特别是压轴题，牵涉到物体更多，过程的分析把握更有一定难度，务必搞清每一个环节【模型】弹簧连接物块【特点】:系统的动量守恒;系统的能量守恒;速度相同时,系统的弹性势能最大,损失的动能也最大; 当弹簧恢复原长时,系统的动能最大.图1【典案1】如图所示，质量为mA=1kg和mB=2kg的木块放在光滑的水平面上，中间用一质量可以不计的轻弹簧相连，开始时AB都处于静止状态，现突然给A一个大小等于6NS的水平向右冲量

2、，则当两木块靠得最近时，弹簧的弹性势能等于 J解析给A一个冲量，A获得一个速度向右，压缩弹簧，A减速运动，B加速运动，当两木块有共同速度时相距最近I=PA=mAv0=(mA+mB)vv0=6m/s，v=2m/s=mAv02- (mA+mB)v2=12J图2【典案2】如图2所示，两木块放在光滑的水平面上，并以轻弹簧相接，木块2紧靠竖直墙壁，现在用木块1压缩弹簧，并由静止释放，这时弹簧的弹性势能为E0。运动中，弹簧伸长最大和压缩最大时，弹簧的弹性势能分别为E1 和E2，则( ) AE1=E2 BE0=E2 CE0E2 DE1E2解析由于2紧靠墙壁，当放开1瞬时，弹性势能全部转化为1的动能设此瞬间速

3、度为v0， E0=m1v02 v0=当12滑块与弹簧作用有最大伸长量和压缩量时，12有共同速度v m1v0=(m1+m2)v E1=E2=m1v02-(m1+m2)v2a1，满足分离条件，所以在O点，物块与钢板开始分离，分离后，物块向上做上抛运动，设上升到最高点距O点距离为s，则：0-v2=-2gs ， s=x0 .点评此题看起来难繁，只要平时训练到位，熟悉弹簧类问题内在的规律，不难很快理出解题思路的一些关键点或时刻对应的物理状态一定要把握清楚【体验5】如图14所示，ABC三物块质量均为m，置于光滑水平台面上BC间夹有原已完全压紧不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展物块A以初速度

4、v0沿BC连线方向向B运动，相碰后，A与BC粘合在一起然后连接BC的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C与AB分离脱离弹簧后C的速度为v0图14(1)求弹簧所释放的势能E;(2)(若更换BC间的弹簧，当物块A以初速度v向B运动，物块C在脱离弹簧后的速度为2v0，则弹簧所释放的势能E/是多少?(3)若情况(2)中的弹簧与情况(1)中的弹簧相同，为使物块C在脱离弹簧后的速度仍为2v0，A的初速v应为多大?解析(1)设A与BC粘合后的速度为u1，C脱离弹簧后AB的共同速度为u2，由动量守恒，有：mv0=3mu1.u1=v0.由动量守恒有：2mu2+mv0=mv0.u2=0.由机械能守恒定律有：

5、.(2)设与(1)中u1u2对应的量为u1/u2/，则有：mv=3mu1/ u1/=v 2mu2/+m(2v0)=mv u2/=v-v0m(2v0)2+(2m)u2/2-(3m)u1/2 将u11u2/代入式，即得：m(v-6v0)2 (3)以E=mv02代入式，得：mv02=m(v-6v0)2解得：v=4v0，v=8v0(舍去)其中v=8v0代入u2/表达式得u2/=3v02v0(C脱离弹簧后的速度)，不合题意，故舍去【体验6】在原子核物理中，研究核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球AB用轻质弹簧相连，在光滑的水平轨道上处于静止状态，在它

6、们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图15所示，CB发生碰撞并立即结成一个整体D在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后AD都静止不动，A与P接触但不粘连过一段时间，突然解除所定(锁定及解除所定均无机械能损失)已知ABC三球的质量均为m(1)求弹簧长度刚被锁定后A球的速度；图15(2)求在A球离开档板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能解析法1：（1）C与B碰后动量守恒，共同速度为v1，mcv0=(mc+mB)v1， v1=v0.A与D弹簧共同作用后，只有在共同速度时，弹簧长度最短mDv

7、1=(mA+mD)v2，v2=v0=vA弹簧压缩最短时，最大的弹性势能为EPmaxEPmax=mDv12-(mA+mD)v22=mv02.（2）与P碰后，A与D都静止不动，系统只有锁定时的弹性势能EPmax，解除锁定后，弹性势能转化为D球的动能，速度为v3EPmax=mv02= ， v3=v0 而后D作减速运动，A作加速运动，最后A与D共同速度，弹簧再一次具有最大弹性势能，mDv3=(mA+mD)v4，v4=v0解除锁定以后运动过程中，弹簧的最大弹性势能为：EPmax/=mDv32-(mA+mD)v42，EPmax/=EPmax-(mA+mD)v42=mv02法2：（1）设C球与B球粘结成D时

8、，D的速度为v1，由动量守恒，有：mv0=(m+m)v1 当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2，由动量守恒，有：2mv1=3mv2 由两式得A的速度：v2=v0 （2）设弹簧长度被锁定后，储存在弹簧中的势能为EP，由动量守恒，有：2mv12=3mv22+EP .撞击P后，A与D的动能都为零解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成D的动能，设D的速度为v3，则有EP=.(2m).v32.以后弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度当AD的速度相等时，弹簧伸至最长设此时的速度为v4，由动量守恒有：2mv3=3mv4 当弹簧伸至最长时，其势能最大，设此势能为EP/，由动量守恒，

9、有：2mv32=3mv42+EP/. 解以上各式得：EP/=mv02.【体验7】（1）如图16，在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等现突然给左端小球一个向右的速度u0，求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的长度（2）如图17，将N个这样的振子放在该轨道上最左边的振子1被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为E0其余各振子间都有一定的距离现解除对振子1的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，刚好与振子2碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰

10、求所有可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值.已知本题中两球发生碰撞时，速度交换，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度。图16图17解析此题是以弹簧振子为纽带，以碰撞时交换速度为特征的压轴题，若以物理模型解答，较简捷，即：两球发生弹性碰撞后时，若两球质量相等，则碰撞后交换速度.(1)从左端小球以v0向右运动到第一次恢复自然长度过程中，两小球在这一段时间内的碰撞可看作弹性碰撞，且质量相等，碰后交换速度即：u左=0，u右=u0.上面为弹簧振子第一次恢复自然长度时，左右两小球的速度.(2)令v1左v1右分别表示振子1解除锁定后弹簧恢复至自然长度时左右两小球的速度，由动量守恒得：mv1左+mv1

11、右=0，v1左=-v1右说明两小球速度大小相等方向相反，因而小球质量相等，所以它们的动能也相等，且各占，即：mv1左2=mv1右2=振子1与振子2碰撞后，因交换速度，振子1右端小球速度变为v=0，左端小球速度仍以v1左，此后两小球都向左运动，当两小球具有共同速度v1共时，弹簧被拉伸最长，此时弹性势能具有最大值为E1，由动量守恒有：mv1左=(m+m)v1共，v1共=v1左.系统减少的动能转化为弹性势能，即：E1=mv1左2-(m+m)v1共2=mv1左2=.振子2被碰撞后，仍因交换速度，左端小球的速度v2左=v1右，此时右端的小球静止，由第(1)问的结果可知，当振子2第一次恢复自然长度时，可以

12、认为左端小球的速度v2恰好传递给右端小球，依此类推，这个速度被一直传递到第N个振子，当所有可能的碰撞都发生后，第二个振子至第(N-1)个振子各小球均处于静止，且各弹簧先后恢复了自然长度，弹性势能为0即：E2=E3=E4=EN-1=0.当第N个振子左端小球获的速度v1时，右端小球静止，且弹簧处于自然长度，此后两小球向右运动，弹簧被压缩，当两小球有共同速度vN共时，弹簧被压缩至最短，弹性势能最大，最大值为EN，由动量守恒得：mvN左=(m+m)vN共，vN共=vN左=v1右.系统减少的动能转化为弹性势能，即：EN=mvN左2-(m+m)vN共2 =mv1右2-(m+m)(v1右)2=m1v1右2=

13、.点评从解题过程看，虽然很长，但贯穿整个过程的是：速度传递和动能传递贯穿整个过程的始终，这一条主线快速抓住，解题方向也确定了，同时此题的第2问充分应用第1问的结论，问题也就简单多了【体验8】如图18所示，光滑的水平面上有mA=2，mB=mc=1的三个物体，用轻弹簧将A与B连接，在AC两边用力使三个物体靠近，AB间的弹簧被压缩，此过程外力做功72J，然后从静止释放求：图18(1)当物体BC分离时，B对C做的功有多少?(2)当弹簧再次被压缩到最短而后又伸长到原来时，AB的速度各是多大?解析此题关键是判断出B与C分离条件为弹簧恢复到原长，而弹簧再次被压缩到最短条件为AB同速且向右(1)当BC分离时弹

14、簧恢复到原长，由动量守恒：mAvA=(mB+mC)vBC 由机械能守恒：mAvA2+(mB+mC)vBC2=72J B对C做功：WBC=mCvBC2 由得：vA=vBC=6m/s，WBC=18J(2)当弹簧压缩到最短时，AB同速方向向右，则有：mAvA-mBvBC=(mA+mB)v， v=2m/s设弹簧再次伸长到原长时，AB速度分别为v1和v2，则：(mA+mB)v=mAv1+mBv2 72-mCvBC2 =mAv12+mBv22 由得：v1=2m/s，向左;v2=10m/s，向右或 v1=6m/s，向右;v2=6m/s， 向右注意(2)求的速度是矢量，最后方向不可丢失，解题要严谨【体验9】如

15、图19所示，劲度系数为k的轻弹簧， 左端连着绝缘小球B，右端连在固定板上。图19 整个装置放在光滑绝缘的水平面上，且处在场强大小为E方向水平向右的匀强电场 中。现有一质量为m带电荷量为+q的小球A，从距B球s处由静止起释放，并与B球发生正碰，已知A球的电荷量始终不变，且A球与B球第一次碰撞后瞬间A球的速率是碰撞前瞬间A球速率的一半，B球的质量M=3m，弹簧振子的周期求：(1)A球与B球第一次碰撞后瞬间 B球的速率; (2)要使A球与B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，劲度系数k的可能取值。图20【体验10】如图20所示，质量分别为m1m2的两个小物块静止在光滑的水平面上，彼此用倔强系数为k的

16、轻弹簧相连，弹簧处于自由长度状态质量为m=m2-m1水平速度为v0的小子弹入射到m1物块内，试求：(1)之后的运动过程中，物块m2的最大加速度的值(2)之后的运动过程中，物块m2的最大速度值答案：AAC图21【体验11】如图21所示，两端足够长的敞口容器中，有两个可以自由移动的光滑活塞A和B，中间封有一定量的空气，现有一块粘泥C，以EK的动能沿水平方向飞撞到A并粘在一起，由于活塞的压缩，使密封气体的内能增加，高A、B、C质量相等，则密闭空气在绝热状态变化过程中，内能增加的最大值是多少？解析本题涉及碰撞、动量、能量三个主要物理知识点，是一道综合性较强的问题，但如果我们把它看作“弹簧与两物块相互作

17、用”模型，问题将迎刃而解。粘泥C飞撞到A并粘在一起的瞬间，可以认为二者组成的系统动量守恒，初速度为，末速度为，则有 典案 在A、C一起向右运动的过程中，A、B间的气体被压缩，压强增大，所以活塞A将减速运动，而活塞B将从静止开始做加速运动。在两活塞的速度相等之前，A、B之间的气体体积越来越小，内能越来越大。A、B速度相等时内能最大，设此时速度为，此过程对A、B、C组成的系统，由动量守恒定律得（气体的质量不计）： 由能的转化和守恒定律可得：在气体压缩过程中，系统动能的减少量等于气体内能的增加量。所以有： 解得：【点评】若将本题的物理模型进行等效的代换：A和B换成光滑水平面上的两个物块，A、B之间的

18、气体变成一轻弹簧，求内能的最大增量变成求弹性势能的最大增量。对代换后的模型我们已很熟悉，其实二者是同一类型的题目。因此解题不要就题论题，要有一个归纳总结的过程，这样才能够举一反三。图22ab【体验12】如图所示，金属杆在离地高处从静止开始沿弧形轨道下滑，导轨平行的水平部分有竖直向上的匀强磁场B，水平部分导轨上原来放有一根金属杆b，已知杆的质量为，b杆的质量为水平导轨足够长，不计摩擦，求：（1）和b的最终速度分别是多大？（2）整个过程中回路释放的电能是多少？（3）若已知、b杆的电阻之比，其余电阻不计，整个过程中，、b上产生的热量分别是多少？【解析】（1）下滑过程中机械能守恒： 进入磁场后，回路中

19、产生感应电流，、b都受安培力作用，作减速运动，b作加速运动，经一段时间，、b速度达到相同，之后回路的磁通量不发生变化，感应电流为零，安培力为零，二者匀速运动，匀速运动的速度即为、b的最终速度，设为，由过程中、b系统所受合外力为零，动量守恒得： 由解得最终速度（2）由能量守恒知，回路中产生的电能等于、b系统机械能的损失，所以，（3）回路中产生的热量，在回路中产生电能的过程中，虽然电流不恒定，但由于、串联，通过、b的电流总是相等的，所以有，所以，。点评本题以分析两杆的受力及运动为主要线索求解，关键注意：明确“最终速度”的意义及条件，看作“两物块与弹簧相互作用”模型；分析电路中的电流，安培力和金属棒的运动之间相互影响、相互制约的关系“弹簧”，金属棒所受安培力是系统的外力，但系统合外力为零，动量守恒；运用能的转化和守恒定律及焦耳定律分析求解。图22