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1、初中数学相似三角形新题型扫描一、网格证明题 例1. （2005年浙江省台州市）如图1，在44的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。（1）填空：ABC_，BC_；（2）判断ABC与DEF是否相似，并证明你的结论。图1解：（1）ABC135，（2）能判断ABC与DEF相似（或ABCDEF），这是因为ABCDEF135，ABCDEF评析：本题寓填空、识图、说理于一体，利用网格解决相似问题，使学生基础知识得以应用，思维能力得以提高。二、情景应用题 例2. （2005年潍坊市）如图2所示，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个
2、矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且ABCD900米，ADBC1700米。自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC500米。若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元。图2（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？解：（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道线路。如图3所示。图3（2）（米）（米）ABECFE得（米）BHECFE，得（米）ABEDGA
3、，（米）所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是（元），（元），（元）。评析：将相似与应用有机结合，是本题的一个特色，本题虽没有复杂的运算及偏怪之弊，但涉及的知识面宽，知识点多，它不仅综合考查学生能力，而且通过本题使学生明白，社会实践离不开数学。三、分类讨论题 例3. （2005年北京市）在ABC中，B25，AD是BC边上的高，并且，则BCA的度数为_。解：（1）当高AD在ABC内时，如图4。图4又ADBCDA，ADBCDABADACDCADACD90CADBAD90B25，BCA65（2）当高AD在ABC外时，如图5。图5同理可证ADBCDAABDCAD25ACD65BCA180A
4、CD115评析：本题一方面考查相似三角形的判定和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法。四、新定义图形题 例4. （2005年福建省南平市）定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形。探究：（1）如图6，已知ABC中C90，你能把ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由。图6（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形。我们把DEF（图7）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图7-1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各
5、边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图7-2）依此规则操作下去。n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为。若DEF的面积为10000，当n为何值时，？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）当n1时，请写出一个反映之间关系的等式（不必证明）。解：（1）如图8，过点C作CDAB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线。图8理由：BB，CDBACB90BCDACB（2）DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为当时，当n6时，当n7时，当n6时，评析：这道题的求解过程反映了标准所倡导的数学活动方式，如观察、实验、推理、猜想，而不仅仅是记忆，模仿，从而
6、明白：研究问题要由表及里，由此及彼，学以致用。五、运动变化题 例5. （2005济南）如图9，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着ABC的路线以3m/s的速度跑向C地。当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上。（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s）？图9解：（1）由阳光与影子的性质可知DEACBDEBAC，BEDBCABDEBAC（2），王刚到
7、E点的时间为，张华追赶王刚的速度是。评析：解决运动变化的问题，应认真地分析运动的全过程，把握运动变化过程中的各种情况，特别是关键的点，特殊的位置。六、作图说理题 例8. （2005年芜湖）小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明：（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明。解：（1）小胖的话不对。小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图10-1所示，OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷
8、板一端能翘到的最高高度1米，BC是地面。图10-1OPBC，ACBC，OBPABCOBPABC又此跷跷板是标准跷跷板，BOOA，而AC1米，得OP0.5米若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米（a0）如图10-2所示，BDa米，AEa米图10-2即DOOE同理可得DOPDEF，由OP0.5米，得EF1米综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍，所以不可能翘得更高。（2）方案一 保持BO长度不变，将OA延长一半至E，即只将小瘦一边伸长一半。使，则。由BOPBEF，得EF1.25米方案二 如图10-3所示，只将支架升高0.125米图10-3又米米评析：本题为探究结论型开放题。第（1）题中，只要看构成的三角形的相似比是否变化。第（2）题中，只要改变构成的三角形的相似比。它虽未在难度上着墨，却令人颇感新意，体现出对灵活思维的要求，值得重视。用心 爱心 专心 119号编辑 6
初中数学相似三角形新题型扫描专题辅导不分
