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1、第 6 页 共 页第九讲 全等三角形培优竞赛线段的垂直平分线与角平分线一、线段垂直平分线1、线段垂直平分线的性质（1）线段的对称轴是 （2）垂直平分线性质定理： 定理的几何符号表示：如图1 2、线段垂直平分线判定定理：定理的几何符号表示：如图1， 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的性质（1）三角形三边的垂直平分线 ，并且这一点到 的距离相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形 ；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是 ；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在
2、三角形 .经典例题：BCDEA例1如图1，在ABC中，BC8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A6cm B8cmC10cm D12cmB针对性练习：已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果EBC的周长是24cm，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么EBC的周长是 3） 如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果A=28度，那么EBC是 CBOAN例2. 已知：在ABC中，ON是AB的垂直平
3、分线,OA=OC 求证：点O在BC的垂直平分线 B针对性练习：已知如图，在ABC中，AB=AC，O是ABC内一点，且OB=OC，求证：AO垂直平分BC. 例3. 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50，ABC的顶角B的大小为_。B针对性练习：在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40，则底角B的大小为_。例4、如图8，已知AD是ABC的BC边上的高，且C2B，求证：BDACCD.针对性练习：1.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分ACB D.以上结论均不对2.如果三角
4、形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（ ）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个4.ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么DBC的周长是（ ）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm5、如图7，在ABC中，AC23，AB的垂直平
5、分线交AB于点D，交BC于点E，ACE的周长为50，求BC边的长.6、求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.二、角的平分线1.角平分线的性质定理：角是一个轴对称图形，它的对称轴是 .角平分线的性质定理：角平分线上的点到 的距离相等. 定理几何符号表示：如图4， 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；2、角平分线的判定定理：角平分线的判定定理：在角的内部，且 的点在这个角的角平分线上. 定理的几何符号表示:如图5 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 3、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线 ，
6、并且这一点到 的距离相等.定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的 .4、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.经典例题：例1 已知：如图，点B、C在A的两边上，且AB=AC，P为A内一点，PB=PC， PEAB，PFAC，垂足分别是E、F。 求证：PE=PFB针对性练习：*已知,BD平分ABC,ABAD于A,BC=2AB,求证BD=DC。 例2、如图
7、10，已知在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分ADC，求证：AE平分BAD.B针对性练习：BACPNM1、*已知： AP、CP分别是ABC外角MAC和NCA平分线，它们交于PD，作BM于D，PFBN于F，求证：BP为MBN的平分线。2、ABC的外角ACD与内角ABC平分线CP，BP交于点P,若BPC=40度,则CAP= 度【实战模拟】培优竞赛训练一、选择题：1. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A、ABC的三条中线的交点B、ABC三边的中垂线的交点 C、ABC三条角平分
8、线的交点D、ABC三条高所在直线的交点2. 在中，平分，交于点，若，且，则点到的距离为（ ） A. 18B. 16C. 14D. 123、如图，直线表示三条互相交叉的公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有（ ）A. 一处B. 两处C. 三处D. 四处 4、 如图，中，点为的三条角平分线的交点，点分别是垂足，且，则点到三边的距离分别等于（ ） A. 2、2、2B. 3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、55、如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作ACP、
9、BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A、两人都正确B、两人都错误 C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确二、填空题1. ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为_。2. 如图所示，AB/CD，O为A、C的平分线的交点，OEAC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于_。三、解答题1.已知：如图，B=C=900，DM平分ADC， AM平分DAB 。求证： M B=MC2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.3、如图，已知在四边形中，平分，为垂足。求证：。 4、（竞赛）如图,AD平分BDC, BD平分FBC, CDBE于O,求证：BC=EC
第九讲培优竞赛垂直平分线与角平分线辅导题
