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1、寻找“矛盾”的足迹数学科组：潘海燕关键词 矛盾、知识点、知识系统摘 要 在知识点内、知识点间和知识系统间寻找数学问题的矛盾所在，分析矛盾、解决矛盾，从而解决数学问题。在整个中学数学中，数学问题充斥着始终。而数学问题是反映了数学本身的发展过程中所产生的矛盾，同时也反映了现实世界的空间形式与数量关系的矛盾。解决数学问题是中学数学贯彻始终的一种能力。因此,寻找数学问题中的矛盾也就是解决数学问题的关键。数学问题中的矛盾主要有 ：知识点本身的矛盾；知识点与知识点间的矛盾；知识系统之间的矛盾。只有找到矛盾才能找到更好的正确的解决问题的方法。一 、在知识点内寻找矛盾，从而解决有关知识点内的问题。例1 实数a
2、、b、c,满足a = 6 - b，c2 = ab - 9 ，求证：a = b。分析： 从题目中可发现要求证多项式相等，而已知中有二项式，求证中没有，于是多项式间产生了矛盾。为此，首先要消去c2,但直接消去不可能，于是逆向思维，暂时不消c2而改消a和b. 考虑到条件可化为a + b = 6, ab = c2 + 9,故可以a、b 为根构造出如下的一元二次方程：t2 - 6t + c2 + 9 = 0, 从而消去了a、b，a、b为实数，方程的判别式 = 36 - 4（ c2 + 9）= - 4 c2 0从而c2 0，c R，c2 0，c = 0，= 0即方程有相等的实根，a = b，于是结论得证。
3、并最终达到了消去c2及二次。例2 2x + x2y = y解方程组 2x + y2z = z2z + z2x = x分析： 此题是三元二次方程组，次数高、未知数多。 直接求解显然有困难，于是需要认真观察，发现矛盾产生于方程与方程之间，在关于x、y、z的轮换对称式中得到了解决。由2x + x2y = y 知,令x = tan则y = tan2。仿此，由第二、第三个方程又可得，从而有z = tan4,x = tan= tan8.据此联系即可顺利求解。二、 知识点间寻找矛盾，从而解决有关知识点间的问题。例3 如果p3 + q3 = 2,求证：p + q 2。分析： 比较条件与结论，发现这是等式与不等
4、式之间的矛盾。于是要设法将这一矛盾统一起来，即将等式转化为不等式，或不等式转为等式。为此，我们可用反证法。 假设结论不成立，则有 p + q 2, 如果由此出发推出矛盾，则由排中律。即知原命题成立。为此，我们由p + q 2可得。P 2 q 代入条件式得 （2 - q）3+ q3 2化简得6( q - 1)2 0而这是不可能的，故得矛盾。从而证明到原命题成立。例4 在ABC中，AB = AC，D是BC上的一点，E是AD上的一点，且BED = 2CED=A 。求证：BD = 2CD。分析：比较条件与结论，发现这是角之间的关系与线段之间的关系的矛盾。而为了找出角与线段间的关系，就得深入研究角之间的
5、关系，于是将矛盾引向知识点间的矛盾。从结论可得 = 2，从而想到将其与平行线截线段成比例定理联系起来。于是，如图，过C作CG AD，并交BE的延长线于G，则要证明结论成立，只需证明BE = 2EG。连接AG，则由图示直观及已知条件可知BGC = BED= BAC，从而可知A、B、C、G四点共圆。又由AB = AC，CG AD，所以AE = EG。从而要证明结论成立，只需证明BE = 2AE。为证BE = 2AE，可取BE的中点F，连接AF，再证AEF为等腰三角形。但此举不易做到，故只得再次转化。即由条件出发顺推结论。为此，由BED= 2CED = A得到启发，将BED一分为二，使半角等于CED
6、，从而转向CED，如图作BED的平分线EM交BC于M，过A作AFEM交BE于F，则易证AEF为等腰三角形。于是接下去只要证明F为BE的中点即可。由于BF与AE分别是ABF与CAE的对应边，故要证明F为BE的中点，只需证明ABFCAE。AB = AC，CAE + BAE = BAC，ABF + BAE = BED = BAC，ABF = CAE。AFE = CED，而BAF+ABF =AFE，CAE+ACE =CED，BAF =ACE。ABFCAE，BF = AE = FE。BE = 2AE。它就是本题的条件与结论间的内在联系。借助这个联系，即可使原题得到简易的证明。证明：如图，延长BE到 G，
7、使 AE = EG，则得到 EAGABC，从而 EGA =C。所以 A、B、C、G四点共圆。从而BGC=BAC=BED。故 ADGC。所以 =2。即BD = 2CD三、知识系统间的矛盾。在数学中最大的有两大知识系统：代数系统与几何系统。其中联系密切，于是在数学问题中的表现为矛盾重重。请看以下问题：例5 等腰ABC的底边为1，底角B的平分线交对腰AC于D，求证：BD分析：在平面几何系统内证明不等式关系，一般来说是比较困难的，但在代数知识系统中却会变得容易一些。因此，化难为易，我们不妨进行跨体系的结构转换，将几何问题转移到代数系统中处理。为此，过A作BC的垂线为y轴，以BC所在直线为x轴建立平面直
8、角坐标系（如图）设B、C的坐标分别为B(-,0),C(,0),BD的斜率为k, 则由tanB = tan2DBC =得BA所在直线的方程为y = (x+)从而可求得A点的坐标为A(0, )，又AC所在直线的方程为y = - (x-)BD所在直线的方程为y = k(x+)联立解之，得D点的坐标为（，）于是|BD| = 0 k 1, |BD| = .它是关于的一个增函数。k = 0时，|BD| = ;k = 1时，|BD| = 。 |BD| ，即 BD 。从上可以看出，数学问题是数学矛盾的来源，而矛盾又是我们数学问题所依托的根本，也是数学问题得已解决的关键所在。打蛇打七寸，问题找矛盾，这也是数学的特点之一。因此，要求广大师生在解答问题要注意以下几点：1、 顺题意，找出条件与结论；2、 在条件间、结论间、条件与结论间寻找矛盾； 3、 确定主要矛盾；4、 解决主要矛盾，最终解决数学问题。问题在于不断地探索，方法也在不断地探索中，以上文字谨是一家之言。旨在与大家共同去遨游充满乐趣的数学王国。参考文献1、 顾越岭.数学解题通论.南宁:广西教育出版社,2000.2、杨玲.双向通同步引导.沈阳：辽宁教育出版社，2002.3、王道俊，王汉澜.教育学.北京：人民教育出版社，1989.
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