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1、 追逐问题实验 1. 四人追逐实验 如图2.1,在正方形ABCD的四个顶点各有一个人。设在初始时刻时，四人同时出发匀速以沿顺时针走向下一个人。如果他们始终对准下一个人为目标行进，最终结果会如何。作出各自的运动轨迹。 解：该问题可以通过计算机模拟来实现。这需要将时间离散化。设时间间隔为，时刻表示时间 设第个人时刻的位置坐标为： 对前面3个人表达式为： 其中 对第4个人表达式为： 其中 Matlab实现程序run.m如下：%模拟运动n=2000;x=zeros(4,n);y=zeros(4,n);dt=0.03; %时间间隔v=30; %速度x(1,1)=1000; y(1,1)=0; %第1个人
2、初始坐标x(2,1)=0; y(2,1)=0; %第2个人初始坐标x(3,1)=0; y(3,1)=1000; %第3个人初始坐标x(4,1)=1000; y(4,1)=1000; %第4个人初始坐标for i=2:n for j=1:3 d=sqrt(x(j+1,i-1)-x(j,i-1)2+(y(j+1,i-1)-y(j,i-1)2); %第j+1个人和第j个人距离 cosx=(x(j+1,i-1)-x(j,i-1)/d; %求cos值 sinx=(y(j+1,i-1)-y(j,i-1)/d; %求sin值 x(j,i)=x(j,i-1)+v*dt*cosx; %求新x坐标 y(j,i)=
3、y(j,i-1)+v*dt*sinx; %求新y坐标 end %考虑第1,2,3人运动一步 d=sqrt(x(1,i-1)-x(4,i-1)2+(y(1,i-1)-y(4,i-1)2); %第4个人和第1个人距离 cosx=(x(1,i-1)-x(4,i-1)/d; %求cos值 sinx=(y(1,i-1)-y(4,i-1)/d; %求sin值 x(4,i)=x(4,i-1)+v*dt*cosx; %求第4点新x坐标 y(4,i)=y(4,i-1)+v*dt*sinx; %求第4点新y坐标 end%plot(x,y)for j=1:nplot(x(1,j),y(1,j),x(2,j),y(2
4、,j),x(3,j),y(3,j),x(4,j),y(4,j) %作点图hold on %保持每次作图,实现各次图行迭加end执行结果见图1 图1 模拟结果图形2 舰艇追击实验某缉私舰雷达发现距d=10km处有一艘走私船正以匀速u=8km/h沿直线行驶，缉私舰立即以速度v=12km/h追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。一、 理论求解 该问题采用微分方程求解。 图2 坐标示意图 如图建立坐标系，设开始时走私船位于坐标原点，沿Y轴以u米/秒运动，时刻位置为,开始时缉私舰位于X轴处，沿走私船方向以v米/秒运动，时刻位置为。 直线AB与缉私舰行
5、走路线相切，则由几何关系有： 即 两边对求导有： 则 令，则方程变为： 初始条件为:：则方程变为： 两边积分有： 初始条件为：两边积分得到追击曲线为：当时，走私船坐标。所花时间为将d=10，u=8，v=12有：走私船坐标km，所花时间小时二、 计算机仿真实验 该问题可以通过计算机仿真来实现。这需要将时间离散化。设时间间隔为，时刻表示时间 设走私船时刻的位置坐标为 设缉私舰时刻的位置坐标为 则走私船时刻运动表达式为： 则缉私舰时刻运动离散表达式为： 其中 仿真Matlab程序:dt=0.01; n=151; d=10; u=8; v=12; T=d*v/(v*v-u*u); %理论时间 x1=z
6、eros(n,1); y1=zeros(n,1); x2=zeros(n,1); y2=zeros(n,1); x1(1)=0; y1(1)=0; %走私船开始位置 x2(1)=d; y2(1)=0; %缉私舰开始位置 for j=1:n-1 x1(j)=0; %走私船横坐标 y1(j)=(j+1)*dt*u; %走私船纵坐标 ct=(x1(j)-x2(j)/sqrt(x1(j)-x2(j)2+(y1(j)-y2(j)2); st=(y1(j)-y2(j)/sqrt(x1(j)-x2(j)2+(y1(j)-y2(j)2); x2(j+1)=x2(j)+v*dt*ct; %缉私舰横坐标 y2(j+1)=y2(j)+v*dt*st; %缉私舰纵坐标 end subplot(2,1,1) plot(x1,y1,b,x2,y2,r) title(仿真曲线);%理论曲线 x=d:-0.01:0; k=u/v; subplot(2,1,2) y=d/2*(x/d).(1+k)/(1+k)-(x/d).(1-k)/(1-k)+d*k/(1-k2); plot(x,y,b); title(理论曲线); 图3 仿真曲线与理论曲线比较图 从图形上看，仿真曲线和理论曲线十分吻合。若画在一张图中，则几乎完全重叠。说明仿真计算的效果十分显著。
追逐实验问题
