反比函数图像上四种三角形的面积

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1、反比函数图像上的四种三角形的面积反比函数图像上的四种三角形的面积襄樊市第四十七中学襄樊市第四十七中学 熊沙熊沙函数是解决实际生活问题的重要模型，在近几年各省市的考题中，对于函数的考查比例占有相当重的份量，大部分是考查考生对其基本概念、图象性质的理解和应用，甚至成为中考压轴题的大类。反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。一、三角形面积的四个结论一、三角形面积的四个结论结论结论 1、过反比例函数图像上一点，向、过反比例函数图像上一点，向 x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数原点为顶点的三角形的面积等于

2、反比例函数 k 的绝对值的一半。的绝对值的一半。设 P（a，b）是反比例函数 y=（k0）图像上的一点，过点 P 作 PAxxk轴，垂足为 A，三角形 PAO 的面积是 S，则Sk2结论结论 2、过反比例函数图像上一点，向、过反比例函数图像上一点，向 y 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数 k 的绝对值的一半。的绝对值的一半。设 P（a，b）是反比例函数 y=（k0）图像上的一点，过点 P 作 PBy 轴，xk垂足为 B，三角形 PBO 的面积是 S，则。Sk2y=kx七 七 七 七

3、七 七 七 七 七 七 七 七 七 1七OAPB y=kx七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 2七OP结论结论 3、正比例函数、正比例函数 y=k1x（k10）与反比例函数）与反比例函数 y=（k k0 0）的图像交于）的图像交于xkA A、B B 两点，过两点，过 A A 点作点作 ACxACx 轴，垂足是轴，垂足是 C C，三角形，三角形 ABCABC 的面积设为的面积设为 S S，则，则S=|k|S=|k|，与正比例函数的比例系数，与正比例函数的比例系数 k1无关。无关。证明：证明：I因为，正比例函数 y=k1x（k10）与反比例函数 y=（k0）的图像交于 A、B 两点

4、，xk所以，所以，x=，xkxk1111kkkkk当 x=时，y= k1x=，所以，点 A 的坐标是（，） ，11kkk1kk11kkk1kk当 x=-时，y= k1x=-，所以，点 B 的坐标是（-，-） ，11kkk1kk11kkk1kk所以，OC 的长度是，11kkk三角形 ABC 的面积=三角形 AOC 的面积+三角形 BOC 的面积=OCAC+OCBD2121=+|-|2111kkk1kk2111kkk1kk=k+k=k。所以，与 k1无关。2121七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 3七DBy=k1xAyXCy=kxO证明证明 II、根据结论 1，知道三角形 AOC

5、 的面积是k，21三角形 BOC 的面积=OCBD|-|=，212111kkk1kk21k所以，三角形 ABC 的面积= 。k结论结论 4、正比例函数、正比例函数 y=k1x（k10）与反比例函数）与反比例函数 y=（k k0 0）的图像交于）的图像交于xkA A、B B 两点，过两点，过 A A 点作点作 ACxACx 轴，过轴，过 B B 点作点作 BCyBCy 轴，两线的交点是轴，两线的交点是 C C，三角形，三角形ABCABC 的面积设为的面积设为 S S，则，则 S=2|k|S=2|k|，与正比例函数的比例系数，与正比例函数的比例系数 k1无关。无关。因为，正比例函数 y=k1x（k

6、10）与反比例函数 y=（k0）的图像交于xkA、B 两点，所以，所以，x=，xkxk1111kkkkk当 x=时，y= k1x=，所以，点 A 的坐标是（，） ，11kkk1kk11kkk1kk当 x=-时，y= k1x=-，所以，点 B 的坐标是（-，-） ，11kkk1kk11kkk1kk所以，OC 的长度是，三角形 ABC 的面积=三角形 AOE 的面积+三角形11kkkBOD 的面积+矩形 ODCE 的面积=OEAE+ODBD+ODDC2121EDC七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 4七By=k1xAyXy=kxO=+|-|-|+|-|2111kkk1kk2111k

7、kk1kk11kkk1kk=k+k+k=2k。所以，与 k1无关。2121二、结论的具体应用二、结论的具体应用这些结论，在解答中考数学中选择题、填空题都是非常有效的。下面就举例说这些结论，在解答中考数学中选择题、填空题都是非常有效的。下面就举例说明。明。例例 1、如图 5，若点在反比例函数的图象上，轴于点，A(0)kykxAMxM的面积为 3，则 （08 年巴中市）AMOk 分析：根据结论 1，知道面积 S 与 k 之间有如下的关系：|k |=2S，S=3，所以，|k |=6，所以，k=6 或者 k=-6，因为图像分布在二、四象限，所以，k0，所以 k=-6.解：-6.k 例例 2 2、两个反

8、比例函数 y=和 y=在第一象限内的图象，如图 6 所示，点 Pxkx1在 y=的图象上，PCx 轴于点 C，交 y=的图象于点 A，PDy 轴于点xkx1D，交 y=的图象于点 B，当点 P 在 y=的图象上运动时，以下结论：x1xk ODB 与OCA 的面积相等；四边形 PAOB 的面积不会发生变化；PA 与 PB 始终相等；当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点MA七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 5七yXO其中一定正确的是 （08 年湖北省咸宁市）分析：因为，点 A、B 都在反比例函数 y=的图像上，根x1据结论 1 和结论 2，知道; ODB 与

9、OCA 的面积相等,所以，是正确的；如图 7 所示，连接 OP，根据结论 1 知道，三角形 POC 的面积为k，是个常数，三角形 OAC 的面积是21，21所以，三角形 PAO 的面积是k-，是个常数，2121OBDCAy=1xy=kxP七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 6七yXOXy七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 7七P y=kxy=1xACDB根据结论 2 知道，三角形 POD 的面积为k，是个常数，三角形 OBD 的面积是21，21所以，三角形 PBO 的面积是k-，是个常数，2121所以，四边形 PBOA 的面积等于三角形 PAO 的面积+三角形

10、PBO 的面积=k-21+k-212121=k-1，是一个定值，所以是正确的；设点 P 的坐标为（m，n） ，因为，点 P 在的图象上，反比例函数在第一象限内，kyx所以，mn=k，m0，n0，因为，PCx 轴于点 C，交的图象于点 A，所以，点 A 的横坐标为 m，所1yx以，点 A 的纵坐标为，即点 A 的坐标为（m，） ；因为，PDy 轴于点m1m1D，交的图象于点 B，所以，点 B 的纵坐标为 n，所以，点 A 的横坐标为1yx，即点 B 的坐标为（，n） ，PA=PC-AC=n-=,PB=PD-BD=m-=n1n1m1mmn1n1，nmn1分数的分子是相同的，但是，分母不同，只有当

11、m=n 时，PA=PB 才能成立，所以，即是不正确的；当点 A 是 PC 的中点时，有 PA=AC 即=，所以，mn=2，即 k=2，mmn1m1所以，点 P 的坐标为（m，） ，即点 B 的坐标为（，） ，m22mm2所以，点 B 是 PD 的中点，所以，当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点即是正确的；因此，一定正确的是.解：正确的结论是.例例 3、如图 8，一次函数的图象分别交 x 轴、y 轴于 A、B，P 为 AB122yx上一点且 PC 为AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数的(0)kykx图象于 Q，则 k 的值和 Q 点的坐标分别为32OQCS_.（0

12、8 年荆州市）简析：根据结论 1 知道：因为 k 是大于 0 的，所以，k=2S=2=3，即 y=，设 Q 的坐标为（m，n） ，23x3则 mn=3，因为，一次函数的图象分别交 x 轴、y 轴于 A、B，122yx所以，点 A 的坐标为（4，0） ，点 B 的坐标为（0，-2） ，所以，线段 OA =4,因为，PC 为AOB 的中位线，所以，点 C 是线段 OA 的中点，所以，OC=2,即点 Q 的横坐标为 m =2，所以，n=，所以点 Q 的坐标为（2，） 。2323例例 4 4、如图 9，反比例函数 y=的图象与直线 y=kx（k0）相交于 A、B 两点，x5AC轴，BC轴，则ABC 的面积等于 个面积单位。ACPBOQ七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 8七yXADCEBO七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 9七yX 简析：因为，反比例函数 y=中 k=5，根据结论 4，所以，ABC 的面积等于 2=10。x5k