2020版第8章第5节椭圆

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1、第五节椭圆考纲传真1了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1 椭圆的定义平面内与两个定点Fi, F2的距离的和等于常数(大于|FiF2|)的点的轨迹叫做 椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合 P = M|MFi|+ |MF2|= 2a, |FiF2| = 2c,其中 a0, c0,且 a, c 为常 数：若ac,则集合P为椭圆(2) 若 a = c,则集合P为线段.(3) 若avc,则集合P为空集.2 椭圆的标准方程和几何性质标准方程2 2字 + 汐=1(ab0)2 2*+ 含=1(ab0

2、)图形性质范 围a x a,b y bb xb0)上一点 P(xo, yo)(yoM 0)和焦点 Fi( c,0), F2(c,0)为顶点的 PFiF2中，若/ FiPF2= 9,则(1) |PFi|+ |PF2| = 2a.(2) 4c2= |PFi|2+ |PF2|2 2|PFi|PF2| cos 9.1(3) SAPF1F2 = 2|PFi|PF2| sin 9,当 |yo|= b,即卩 P 为短轴端点时，SAPF1F2取 最大值，为be.焦点三角形的周长为2(a+ c).(5)已知过焦点Fi的弦AB,则 ABF2的周长为4a.基础自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V

3、”，错误的打“X” )(1)平面内与两个定点F1 , F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭 圆.(2) 椭圆上一点P与两焦点F1, F2构成 PF1F2的周长为2a + 2c(其中a为椭 圆的长半轴长，e为椭圆的半焦距).()椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()方程mx2+ ny2 1(m0, n0, mHn)表示的曲线是椭圆.()答案(1)xV X V2. (教材改编)设P是椭圆2x5+16= 1上的点，若F1, F2是椭圆的两个焦点,则 |PF1|+ |PF2| 等于()C. 8D. 10依椭圆的定义知：|PF11+ |PF2匸2X 5= 10.3.1表示椭圆，则m的取值范围是()(3,5

4、)(5,3)C.(3,1)U (1,5)(5,1)U (1,3)5 m0,由方程表示椭圆知m+ 30,解得3m0)的左焦点为F1( 4,0)，则m=()C. 4 D. 9B 由左焦点为 Fi( 4,0)知 c= 4又 a= 5,二 25- m2= 16,解得 m= 3 或一3. 又 m0,故 m= 3.15. (教材改编)已知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为.2 2 2 2:+ ； = 1 设椭圆的标准方程为02 +狰=1(ab0).因为椭圆的一个焦点为a= 2c= 2,解得2故椭圆的标准b2= 3,c= 1,1c 1F(1,0)，离心率e=刃所以舌二2,2 2 |

5、 2a = b + c ,椭圆的定义与标准方程1. 已知 ABC的顶点B, C在椭圆+ y2 = 1 上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则 ABC的周长是（）C. 4 3D. 12C 由椭圆的方程得a 3设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定义得 |BA|+ |BF匸 |CA|+|CF|= 2a,所以 ABC 的周长为 |BA|+ |BC|+ |CA|=|BA|+ |BF|+ |CF|+|CA匸(|BA|+ |BF|)+ (|CF|+ |CA|) = 2a + 2a= 4a = 4 3.2. (2019 济南调研)已知两圆 Ci: (x4)2 + y = 169，C2

6、: (x+ 4)2+ y2= 9,动圆在圆Ci内部且和圆Cl相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程2 2A X V .A.64 4822c.48- 64= 122B.48+詁122x y /D + d= 164 + 481D 设圆 M 的半径为 r，则 |MC1|+|MC2|= (13 r)+ (3 + r) = 168= IC1C2I，所以M的轨迹是以C1, C2为焦点的椭圆，且2a = 16,2c= 8,故所求的轨迹方程64y2481.3. （2019徐州模拟）已知F1、F2是椭圆C:军+ = 1（ab0）的两个焦点,P为椭圆C上的一点，且PF1丄PF2，若 PF1F2的面积为9

7、,则b =r1 + r2= 2a,3 设|PF1|= r1, |PF2|= r2,贝U 2 22 所以 2r1r2= (n + 2 (r2+r1 + r2= 4c ,r2) = 4a2 4c2 = 4b2,所以 SAPF*2= 1r1r2= b2 = 9,所以 b= 3.354. 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点一2, 2，( 3, 诉)，则椭圆方程为.v2x210 + 6 = 1设椭圆方程为 mx2 + ny2 = 1(m , n 0 ,n).由3 25 22m+ 5 21，解得6n=茶椭圆方程为话+名1.3m+ 5n= 1,规律方法1椭圆定义的应用技巧(1) 椭圆定义的应

8、用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面 积及弦长、最值和离心率等.(2) 通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.2.求椭圆标准方程的常用方法(1) 求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2) 利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|F1F2| ;利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为 mx2+ ny2= 1(m0, n0, mn)的 形式.椭圆的几何性质?考法1求离心率的值或取值范围【例1】(1)(2017浙江高考)椭圆X + y4 = 1的离心率是(B.A.C.3D.|(2)若椭圆上存在点离心率的取值范围是(P,使得点P到两个

9、焦点的距离之比为2 : 1，贝吐匕椭圆)1 1代4, 31 1B. 3, 2c. 3,1D. 3 1(1)Bx2(1) I椭圆方程为 +-a 3, c= a? b?=飞9 4=5._5c-e=a故选B.(2) 设P到两个焦点的距离分别为2k, k,根据椭圆定义可知：3k= 2a,又结 合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c,即k 2c,1 12a 3.又/ 0e1,二3= e 0,10 m 0,解得 6v mv 10.v 焦距为 4,二 c2= m 2 10+ m= 4,解m 2 10 m,得 m= 8.c 1x2(2)由题意知a= 2,因为e=舌=2，所以1, b2 =

10、 a2 c2= 3.故椭圆方程为壬+ y3 = 1.设 P 点坐标为(x0, y0).所以一2xow 2, .3 y00)，过右焦点作垂直于x轴的 a直线交椭圆于A, B两点，且AB匸1,贝U该椭圆的离心率为 . 3(1)已知F1, F2分别是椭圆C：ay2_+詁=1(ab0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C离心率的取值范围是()12-35-221-35Bc 1即椭圆上存在一点 P,使得 |PF2|= 2c, A a-c2c0)的焦点在x轴上，所以c=订21，又过右焦点2且垂直于x轴的直线为x= c,将其代入椭圆方程中，得 字+ y2 = 1，

11、贝U y =a1：2,又|AB匸1,所以c2c2 3c1-a2= 1,得孑=4,所以该椭圆的离心率e=2=【例3】1.试问当m取何值时,哦负值舍去)直线与椭圆的位置关系已知直线I: y=2x+ m,椭圆C：2 27+券直线I与椭圆C：(1) 有两个不重合的公共点;(2) 有且只有一个公共点；(3) 没有公共点.y= 2x+ m,解将直线I的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 x2 v2将4 +討1,代入，整理得9x2 + 8mx+ 2m2 4= 0.方程根的判别式 = (8m)2 4X 9X (2m2 4)= 8m2 + 144.当 40,即一3 2m3 2时，方程有两个不同的实数根，可知原方程

12、 组有两组不同的实数解.这时直线I与椭圆C有两个不重合的公共点.(2) 当 = 0，即m=3.2时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有 两组相同的实数解.这时直线I与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线I与 椭圆C有且只有一个公共点.(3) 当 A0，即m3 2时，方程没有实数根，可知原方程组没 有实数解.这时直线I与椭圆C没有公共点.规律方法 直线与椭圆的位置关系的类型及解题方法1类型：一是判断位置关系；二是根据位置关系确定参数的取值范围.2解题方法：一是联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断，二是 借助几何性质来判断，如下面的跟踪训练2 2直线y= kx-1与椭圆24 + = 1相切

13、，则k, a的取艾值范1围分:别是()11A.a (0,1),k2,211B.a (0,1,k2,21c1C.a (0,1),k2,0 U 0, 211D.a (0,1,k2,2B 直线y= kx-1是椭圆的切线，且过点(0, 1), 点(0, 1)必在椭圆上或其外部，(0,1.y= kx 1，由方程组x2 y2消去X,得4 + a 二 12 22(a + 4k )y + 2ay+ a 4ak = 0.直线和椭圆相切，992 = (2a)2 4(a + 4k2)(a 4ak2)=16ak2(a 1 + 4k2) = 0, k= 0 或 a= 1 4k2./ 0 a 1, Ov 1 4& 1,

14、r0,因为椭圆C的一个焦点为（2,0）,所以c= 2,所以a2= 4+4 = 8,所以a= 2 .2,所以椭圆C的离心率e= =2. （2018全国卷U）已知F1, F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1丄PF2，且/ PF2F1 = 60贝U C的离心率为（）A. 1-中B . 2 3C-3-1D. 3 1D 由题设知 / F1PF2= 90 / PF2F1 = 60 |F1F2|= 2c,所以 |PF2|= c, |PF1| =.3c.由椭圆的定义得 |PF1|+ |PF2| = 2a, 即卩 3c + c= 2a,所以（3+ 1）c= 2a，故c 2椭圆C的离心率-1故选D.3.

15、 （2016全国卷I ）直线I经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 I1的距离为其短轴长的4,则该椭圆的离心率为（）1a31B.123C.3D.4B 不妨设直线I经过椭圆的一个顶点B（0, b）和一个焦点F（c,O），则直线Ixv| bc| 1c 1的方程为c+1,即bx+ cy bc= 0.由题意知= 4X 2b，解得a = 2，即c bpb2 + c2 4a 21e= 2故选 B.2 2X y4. （2017全国卷I ）设A, B是椭圆C: 3 +煮=1长轴的两个端点.若C上A. (0,1 U9,+x)存在点M满足Z AMB = 120,贝U m的取值范围是()C. (0,1 U4

16、,+x)(0,3 U 9, +-)(0 ,3 U 4 , +-)A 法一：设焦点在x轴上，点M（x ,y).过点M作x轴的垂线，交x轴于点N,则 N(x,0).故 tan/ AMB = tan(/ AMN + Z BMN).3+ x 3x=|y| + |yl = 2J 3+x J 3 x x + y 31 一1|y|y|又 tanZAMB = tan 120 = .3 ,x2 y223y2且由x+m二1可得x2二3叮,y2-3=呼=-3.1-my2解得|y匸五3 m又 0|y|w m,即0v 2m m,结合 0v mv 3 解得 0v mW 1. 3 m对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9.则m的取值范围是(0,1 U 9 ,+x).故选A.法二：当0mtan 60丄羽，即耕诵,解得0m3时，焦点在y轴上,要使C上存在点M满足/ AMB= 120则atan 60 /3，即书/3,解得m9.故m的取值范围为(0,1U 9, +).故选A.(1)C 2如图所示，T线段PF1的中垂线经过F2,.|PF2|=|FiF2|