2020版第5章第3节等比数列及其前n项和

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1、第三节 等比数列及其前n项和考纲传真1理解等比数列的概念 2掌握等比数列的通项公式与前 n项和 公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系， 并能用等比数列的有关知识 解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.1. 等比数列的有关概念(1) 定义：如果一个数列从第 2_项起，每一项与它的前一项的比等于同一个 常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公t 通常用字母q表示，定义的表达式为归 N*, q为非零常数).(2) 等比中项：如果a，G, b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即 G是a与b的等比中项？ a, G，b成等比数列? G2 = ab.2.

2、 等比数列的通项公式与前n项和公式(1) 通项公式： an = aiqn1.(2) 前n项和公式：naj q= 1，$=a1 1 qn _ a1 anq11-q _ 1q 1 .3. 等比数列的常用性质(1) 通项公式的推广：an = am qn m(n, m N ).(2) 若 m+ n= p+ q = 2k(m, n, p, q, k N*)，贝U aman = ap_aq = sk.(3) 若数列an , bn(项数相同)是等比数列，则入a , a，a2 , an bn, bn(仔o)仍然是等比数列.(4) 在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an, an+k,an+

3、 2k, an+ 3k,为等比数列，公比为 qk.(5) 当qM 1时，数列Sm, S2m Sm, S3m S2m ,成等比数列.常用结论1. “G2 = ab”是“a, G, b成等比数列”的必要不充分条件.2. 若qM0, qM 1,则Sn= k kqn(kM0)是数列an成等比数列的充要条件,基础自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X” )满足an+1 = qan( n N*, q为常数)的数列an为等比数列.()G为a, b的等比中项？ G2 = ab.()(3) 若 an为等比数列，bn= a2n-1 + a2n，则数列bn也是等比数列.()a 1

4、an(4) 数列an的通项公式是an = an,则其前n项和为Sn=.()1 a答案(1)x (2)X (3)X X2. (教材改编)等比数列an中，a3= 12, a4= 18,则a6等于()81A. 27B. 36C.2D . 54”a4 18 323 2 81C 公比 q= a3= 12= 2，贝U a6= a4q = 18X 2 =空.3. (教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列, 则这两个数为.27,81设该数列的公比为q,由题意知,243= 9 X q3, q3 = 27,二 q = 3.插入的两个数分别为9X 3 = 27,27X 3= 81.54.

5、在单调递减的等比数列an中，若a3= 1, a2 + a4=2，则a3 = aiq = 1,4 由题意知5a2 + a4= aiq + aiq3=15消去a1得q+ q = 2，1 、解得q = 2或q = 2.1又 Ov qv 1,故 q=2，此时 a1 = 4.5. 在数列an中，a1 = 2, an+1 = 2an, Sn 为an的前 n 项和.n =.6 v a1 = 2, an+1 = 2an,二数列an是首项为2,公比为2的等比数列.a1 =S= 126,则又 v S= 126,1-2=126,解得 n= 6.2 1-2n等比数列基本量的运算1. (2019太原模拟)已知公比qM

6、1的等比数列an的前n项和为Sn,若a111D.屁=1, S3 = 3a3,贝U Ss=()CHD 由 S3= 3a3得 ai+ a2 = 2a3, 1 + q = 2q2,解得 q=扌或 q= 1（舍）.1_ - - 5 &=2p=|x 3|=16,故选 d.1- - 22. (2017江苏高考)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn已知Sb二7, S6 = 64?，则 a8二.a1 1- q3 _ 71 q 432 设an的首项为a1，公比为q,贝U6a1 1-q631-q =才,a1解得141所以 a8= 4X27= 25 = 32.3. (2018全国卷川)等比数列an中，a=

7、1, a5 = 4a3.(1) 求an的通项公式；(2) 记Sn为an的前n项和.若Sm= 63,求m.解设an的公比为q,由题设得an = qn-1. 由已知得q4 = 4q2,解得q = 0(舍去),q= 2或q = 2.故 an = ( 2)n 1 或 an = 2n1.若 an= ( 2)n1,则 Sn =3由Sm = 63得(2)m= 188，此方程没有正整数解.若 an = 2n S 贝U Sn= 2n 1.由 Sm= 63 得 2m = 64,解得 m= 6.综上，m= 6.规律方法解决等比数列有关问题的两种常用思想方程的思想等比数列中有五个量 a1, n, q, an, Sn,

8、般可以 知二求-,通过列方程(组)求关键量a1和q,冋题可迎刃而解.分类讨论等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q= 1时，a1an的前n项和Sn= na1；当q工1时，an的前n项和(11 q a1qn)(qv 1)或 Sn = q 1(qn 1)(q 1).q 1的思想等比数列的判定与证明【例1】(2018全国卷I )已知数列an满足a= 1, nan+1 = 2(n+ 1)an.设bnan n (1) 求 b1, b2, b3；(2) 判断数列bn是否为等比数列，并说明理由;求an的通项公式.2 n+ 1解(1)由条件可得an+ 1= n an.将 n= 1 代入得，a2 =

9、 4ai，而 ai = 1,所以，a2= 4.将n= 2代入得，a3 = 3a2,所以，a3= 12.从而 b1= 1，b2= 2， b3 = 4.(2) bn是首项为1,公比为2的等比数列.an+1 2an由条件可得=肓，即卩bn+ 1= 2bn，又b1= 1,所以bn是首项为1 ,公比n+1n为2的等比数列.(3) 由(2)可得 an= 2n-1，所以 an= n 2n-1.规律方法等比数列的判定方法a |n + 11定义法：若 =qq为非零常数，n N*，则an是等比数列.a_22等比中项法：若数列an中，anM0,且口 | = an an+2n N*，则数列 n + 1an是等比数列3

10、通项公式法：若数列通项公式可写成 an = cqnc, q均是不为0的常数， n N*，则an是等比数列.4前n项和公式法：若数列an的前n项和S = kqn k k为常数且kM0,qM0, 1，则an是等比数列.说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.(2016全国卷川)已知数列an的 前n项和Sn= 1+入a,其中炉0.(1) 证明an是等比数列，并求其通项公式；31(2) 若 &= 32,求入解 证明：由题意得a1 = S1 = 1 +入a,1故疋 1, a1 =，故 a1M 0.1-入由 Si= 1 + 入 a, Sn+1= 1 + 入 a+1

11、 得 an+1=入 a+1 入 n,即 an+1( X 1)=入 aan + 1X由a1工0, X0得anM0,所以 =.an 11X因此an是首项为，公比为的等比数列,1- X 1n 11亠于是an=.1 - X 入-1n由(1)得Sn= 1-由 S5 = 31 得 1 -丄 5= 31入一1 32,入/-1丄32.解得=-1.等比数列性质的应用?考法1等比数列项的性质【例2(1)若等比数列an的各项均为正数，且aioaii + a9ai2= 2e5,则ln ai+ In a2+ ln a20=.等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 an0, qi, a3 + a5= 20, a2a6=

12、64, 则 S5=.(I)50 (2)3i因为 aioaii + a9ai2= 2aioaii = 2e5,所以 aioaii= e5.所以 In ai + In a2 + + In a20=In (aia2 a2o)=In(aia2o) (a2ai9)(aioaii)io=In (aioaii) = I0I n(aioaii)=iol n e5 = 5oi n e= 5o.a3 + a5= 2o, 由等比数列的性质，得a3a5 = a2a6= 64,于是由且ano,a3a5 = 64,2aiq = 4,q i,得 a3 = 4, a5= I6,所以 4aiq4= i6,ai = i,解得q=

13、 2.所以S5 =IX i- 25i-2=3i.?考法2等比数列前n项和的性质【例3】等比数列an中，前n项和为48,前2n项和为60,则其前3n项和为.(2)数列an是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64,贝吐匕数列的通项公式an=.n 11(1)63 12X 3法一：设数列an的前n项和为Sn.因为S2nM 2Sn,所以qM 1,由前n项和公式得ai 1 qn=48,1 qa1 1 q2n=60,1 q51忑，得1 + qn=4,所以qn=1.将代入，得旦=64.1 qa1 1 q3n1所以 S3n= 64X 1 p = 63.1 q4法二：设数列an的

14、前n项和为Sn,因为an为等比数列，所以Sn, S2n Sn, Sn S2n也成等比数列，所以(S2n Sn)2 = Sn(S3n S2n),2 2n 3 260 48 2即 S3n= S + S2n=48+ 60= 63.法三：设数列an的前n项和为Sn,因为 S2n= Si+ qnSn,所以 qn =S2n 31Sn= 4,1所以 S3n= S2n+ q2nSn= 60+ 4 冬 48= 63.(2)设此数列an的公比为q,S禺i由题意，知S奇+ S偶=4S偶，所以S奇=3S偶，所以q=玄.S奇 3又 aia2a3 = 64, 即 ai(aiq)(ai q2)= a1q3 = 64,1所以

15、 aiq = 4.又 q= 3，所以 ai = 12，n_ i所以 an= aiqn_i = i2x 3.规律方法应用等比数列性质解题时的两个关键点i在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m+ n = p+ q，则am an = ap aq”，可以减少运算量，提高解题速度2在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适 当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.0，且 a5 a7 = 4a4，a2= i，贝U ai =(A.b(1)已知等比数列an的公比q)C. .2 D . 2已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若ai + a2 +

16、a3 = 4，a4 + a5+ a6 = 8,贝U S12等于()A. 40B. 60C. 32 D. 50(1) B (2)B a5 a7= a2= 4a4,a6= 2a4,则 a4 q2 2. q .2,从而 ai ；，故选B.(2) Si2 (ai + a2 + a3)+ (a4 + a5+ a6)+ (a7 + a8 + a9)+ (aio + aii + ai2) 4+ 8 +16+ 32 60.等差、等比数列的综合问题i【例4】已知等比数列an的各项都为正数，且 a3,尹5, a4成等差数列，则土的值是（C.3 -，52D.3+ *521 、A 设等比数列an的公比为q,由a3,尹

17、5, a4成等差数列可得a5 a3 + a4,221 + J51 y5a3 + a5即 a3q2 a3 + a3q,故 q2 q- 1 0,解得 q 2 或 q 2 (舍去)，由22a4 + a65 12 ，故选 A.a3 + a3q2a3 1 + q2i 225 1a4+ a4q2a4 1 + q2q.5+ 1. 5+ 15 1(2)(2018北京高考)设an是等差数列，且 ai ln 2, a2 + a3 5ln 2. 求an的通项公式； 求 eai + ea2 + + ean.解设an的公差为d. 因为 a2 + a3= 5ln 2,所以 2ai + 3d= 5ln 2.又 ai = I

18、n 2，所以 d= In 2.所以 an= ai+ (n 1)d = nln 2.因为 eai = eln 2 = 2, = ean an-1 = eln 2= 2,ean i所以数列ean是首项为2,公比为2的等比数列.1 2n所以 eai + ea2+ + ean= 2X= 2(2n 1).1 2规律方法等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的 变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量ai, dq充分运用方程、函数、 转化等数学思想方法，合理调用相关知识，就不难解决这类问题在公差不为零的等差数列an中，ai= 1, a2, a4, a8成等比数列.(1)求数列an的通项公

19、式；设 bn= 2an, Tn= b1 + b2+ bn ,求 Tn.解(1)设等差数列an的公差为d,则依题意ai = 1,ai + 3d 2=ai + dai + 7d ,解得d= 1或d = 0(舍去),-an 1 + (n 1) n.由(1)得an n,bn+ 1bn2, bn是首项为2,公比为2的等比数列,2n+1 22 1 2n Tn 1 21a3a5 4(a4 1),贝U a21. (2015全国卷U)已知等比数列an满足a14, ()1 1A. 2B . 1CQD.&/1 ” 2 2C 法一一:- a3a5 a4, a3a5 4(a4 1), - - a4 4(a4 1),3a

20、42,-a4 2 又 q 01 = = 8,41 1 q 2,二 a2 aiq4X2，故选 C.法二：Ta3a5 4(a4 1), aiq2 aiq4 4(aiq3 1),将ai 4代入上式并整理，得q6 16q3 + 64 0,解得q 2,1 a2= a1q，故选 C.2. (2014全国卷U)等差数列an的公差为2,若a2, a4, as成等比数列，则an的前n项和3 ()A. n(n+ 1)B. n(n 1)n n+1n n1C. 2D. 2n n 1A 由 a2, a4, as成等比数列，得 a2 a2as，即(ai + 6)2 (ai + 2)(ai+ 14), ai 2. Sn 2

21、n +2 x 2 2n+ n2 n n(n+ 1).3. (2017全国卷川)设等比数列an满足ai+ a2 1, ai a3 3,贝U a48 设等比数列an的公比为q.-ai + a2 一 1, ai 一 a3 一 3,-ai(1 + q) 1,ai(1 q2) 3.夭，得 1 q 3, q 2. ai 1, a4 aiq3 = 1 x ( 2)3 8.4. (2017全国卷n)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n 项和为 Tn, ai= 1, bi = 1, a2 + b2 = 2.若a3 + b3 = 5,求bn的通项公式；(2)若 T3= 21，求 S3.解设an的公差为d, bn的公比为q,则 an= 1 + (n 1)d, bn = qn 1.由 a2+ b2= 2 得 d + q = 3.由 a3 + b3 = 5 得 2d + q2= 6.d= 3,d= 1,联立和解得(舍去),q= 0q = 2.因此bn的通项公式为bn= 2n 1 .由 b1= 1, T3 = 21 得 q2+ q 20= 0.解得q= 5或q= 4.当 q= 5 时,由 得 d= 8,则 S3= 21.当 q= 4 时,由 得 d= 1 ,则 S3= 6.