第十一讲曲线积分与曲面积分

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1、第十一讲 曲线积分与曲面积分I 基本要求1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2. 掌握两类曲线积分的计算方法。3. 掌握Green公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系。5. 掌握两类曲面积分的计算方法。6. 了解高斯公式，斯托克斯公式，并会用高斯公式计算曲面积分。7. 了解散度、旋度的概念。8. 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、重心、引力、功流量等）。II 典型例题分析及评注一、曲线积分例1 计算，：由圆周，直线及轴在第一象限中所围图形的边界。解 ：

2、，：，：，所以 例2 计算，其中是圆周。评注 （1）定积分与重积分中应用对称性可简化计算，同样运用对称性也可以简化第一类线积分计算。（2）利用对称性时必须同时考虑被积函数与积分曲线的对称性，其法则是：如果关于轴（）对称当是上关于连续奇函数时，则；当是上关于连续偶函数时，则，其中是曲线落在轴一侧的部分。同理如果是关于轴对称，就要考虑是上关于的奇（或偶）函数，可得类似结论。例3 将下面的曲线积分化第一类曲线积分，并计算它的值，其中为连续函数，是沿抛物线从点到点的一段弧。分析 本题中含有抽象函数，直接化为定积分计算是难以进行的。因此想到化为第一类线积分看是否能消去。如果能，则就转化为第一类线积分计算

3、之。解 由上分析，先将原积分化为第一类线积分。因为在抛物线上任意点处的与曲线的走向一致的切向量为，其方向余弦，由两类曲线积分的关系，有例4 计算曲线积分，其中为沿，为顶点的三角形边界。解法一 （化为定积分计算）：（）；：（，此时；：（）。解法二 （用格林公式计算）因为 ，所以 例5 计算曲线积分，（1）为不包含原点的任一条简单曲线；（2）为曲线的正向。解 （1）由于积分路径任意性，此题宜用格林公式计算。， 当时，在内处处成立，由格林公式，得原积分其中是由所围的区域，且取正向（实际上为反向时积分仍为0）。（2）由于为包含原点，在内除去一点处=，而点为被积函数的奇点（即使得被积函数及其一阶偏导数连

4、续这一条件遭到破坏的一点），在点处，无意义，不能肯定此时。解此类题常有两种方法。方法一 按所给积分路径分段积分（太繁！略）方法二 取以为圆心，足够小正数为半径作圆周：，使完全含于内，于是得一复连通域，其边界为，在上，具有连续偏导数，且，于是由格林公式知 （此中表示沿取反向，用表示取正向）评注 （1）计算第二类闭曲线积分常用格林公式计算，但格林公式条件不满足时不得使用。（2）如果把题（2）中的曲线改为包含原点的任一条正向简单闭曲线时，也是用方法二计算，最后得到（其中为包含在内的一条闭曲线），即把沿曲线的积分化为沿上积分，只要计算出问题就得解了。为了要使易计算，就要选择合适的，即选择的方程要能使被

5、积函数（或被积表达式）得以简化，积分易求为佳。如题中的被积函数其分母改为是，此时取为椭圆：（）来计算就简单容易了。例6 计算曲线积分，其中是由点到点的上半圆周的一段。分析 本题如果用直接法计算其被积函数将难以积分。考虑线积分是否与路径无关。此时，；，因，所以积分与路径有关，但，因此想到格林公式。而格林公式只适用于闭曲线积分，为此补一条曲线（或直线）使它与原曲线构成一条闭曲线应用格林公式计算，然后再把补的曲线的积分减去即得原积分。解 根据分析，补一条直线：，它与曲线构成一条闭曲线，方向为顺时针方向，于是又 所以，原积分评注 格林公式不仅用来计算沿闭曲线的第二类线积分，有时还可以通过引入辅助路径的

6、办法用来计算非闭曲线的积分，如本题及例11。例7 计算线积分，其中点，点，有连续导数，为连接、两点在线段上方的任意路径，且它与所围的面积为4（平方单位）。解 先考虑积分是否与路径无关。由于，。，所以，故积分与路径有关。又路径的任意性及被积函数中含抽象函数，本题宜用上例方法。补一条直线：（）构成闭曲线，于是又 故 例8 在过点和的曲线族中，求一条曲线，使沿该曲线从到的积分的值最小。例9 已知，且具有一阶连续导数，试确定，使得对于平面上任何简单闭曲线，恒有：解 ，。对任意闭曲线，积分等于0的充分必要条件是，即这是一阶线性微分方程，且满足初始条件。解此微分方程，得评注 本题是利用曲线积分与路径无关或

7、与之等价的条件去确定被积表达式中未知常数或未知函数，从而导致解方程或方程组或微分方程，这是常见的一种题型。例10 计算曲线积分，其中是空间闭曲线，从轴的正向看去为顺时针方向。（一）建立的参数方程，由所给的曲线方程，可令，则，于是（二）利用斯托克斯公式化为曲线积分计算原积分取是平面上且以为边界的椭圆片。按右手法则规定，的侧应为下侧。为在面上投影区域，且：，所以原积分二、曲面积分例1 计算曲面积分，其中为锥面被柱面所截得的部分。解 因为的方程为，所以将投影到面上，其投影域：。又 ，因此由于区域关于轴对称，函数关于的奇函数，是关于的偶函数，利用对称性知，所以（为在第一象限部分）评注 计算曲面积分时注

8、意利用对称性可以简化计算。例2 设曲面是界于与两平面之间的柱面，计算曲面积分。有人这样分析：因为在面上投影是圆周（一条曲线），所以面积为0，因此积分值也为0。这种说法对吗？为什么？并给出正确的做法。解 这种说法是不对的。因为要想把投影到面上，必须使的方程表为之形式（即要解出），但此处圆柱面是不能表达成这个形式的，因此把向面投影是得不到结果的。正确做法如下：应将投影到面（或面）上，其投影域：，。此时方程表示为（不单值），须将分为（在的部分）和（在的部分）。又，于是评注 从本题看到，我们必须正确掌握第一类曲面积分的计算。在曲面上第一类曲面积分化为的投影区域上的二重积分的要领是：首先考虑向哪个坐标面

9、投影，这取决于曲面方程的显式形式。如的方程为解出的显式，即，此时要把投影到面，并求出投影区域，其次求出面积微元，最后把及的表达式代入所给的曲面积分中化为在上的二重积分，即例3 计算曲面积分，其中解 参数表示球的半径，所以。用表示球面满足的部分（即球面在锥面内的部分），它在面上投影域：。用表示球面在锥外的部分，：，所以 。评注 当被积函数是分片给出的分段函数时，则计算第一类曲面积分就要分片计算。同样对被积函数含绝对值号，与重积分一样要设法去掉绝对值号再计算。例4 计算，其中曲面为球面限于，内的部分外侧解法一 对于要将投影到面上，且方程表为，取前侧，由消去得，因此投影域：，于是计算时，要将投影到面

10、上。此时方程表为（不是单值），再把分为左片（即的部分）且取左侧和右片（即的部分）且取右侧，在面上投影域为：（注意投影域不是一条曲线），因此对于，要将投影到面上，投影域为：，此时：，取上侧，于是（利用极坐标及对称性）故 解法二 用合一投影法，将投影到面上，投影域为：，此时：，取上侧，此时，则（因为奇函数，且关于直线对称）评注 第二类曲面积分化为二重积分的法则有两种方法：其一是分面投影法：先根据面积元素在坐标面上的投影，如（或者或是），来确定向坐标面面上投影，并求出投影区域，此时的方程相应要表为，然后把代入被积函数化为上二重积分。最后根据的侧（即法向量的指向）决定二重积分前面的正、负号，即其二是合

11、一投影法：如果曲面的方程为，（是在面上的投影区域），函数，和在上连续。那么积分号前的符号当取上侧是为正，当取下侧时为负。例5 计算，其中为连续函数，是平面在第四象限部分的上侧。解法一 因被积函数中含有抽象函数，直接计算难以进行，化为第一类曲面积分，看是否能把抽象函数消去。：，上任一点法向量的方向余弦为，由第一类与第二类曲面积分的关系，解法二 因被积函数中含有抽象函数，直接用分面投影法计算难以进行，看能否用合一投影法来计算。：， 的方程可以表示为，则，由合一投影法，有例6 计算闭曲面积分，其中为球面的外侧表面。解法一 化为二重积分计算，注意此题可以利用对称性，有， 在面上投影：，且：（不单值）。

12、再分上、下两片。所以 。解法二 利用高斯公式，化为三重积分计算。评注 解法二比解法一简单些，但在用解法二中，计算三重积分时易出错的是：。这主要是把三重积分与曲面积分计算混淆了。对于只是在球面上的点才满足，而在球内的点不满足，因此上点不都满足，因而计算三重积分时被积函数不能用的边界曲面方程代入。如果是曲面积分则被积函数是定义在曲面上，因此在计算时需将曲面方程代入之。这两者要分清楚。例7 设具有连续导数，计算其中为的锥面与球面，所围立体的表面的外侧。解 因为被积函数中含抽象函数，直接计算显然不可能，又因为曲面为闭曲面，考虑用高斯公式。因为，。在所围区域上满足高斯公式的条件（的点不在内），所以评注

13、与利用格林公式计算沿闭曲线的积分一样，我们常常利用高斯公式计算闭曲面的曲面积分。例8 计算闭曲面积分，其中，是球面外侧表面。解法一 化为二重积分（略）解法二 化为第一类曲面积分计算因为球面外侧法向量，其方向余弦，由第一、第二类面积分的关系，得评注 此题是第二类闭曲面积分，有人就用高斯公式计算如下：，由高斯公式，错在哪里呢？错误发生在：高斯公式要求函数，在闭曲面及其所围的空间区域上连续且有连续的一阶偏导数。而本题中，在：上不满足高斯公式的条件，因而不能应用高斯公式计算。这也告诉我们不是所有的闭曲面积分都可用高斯公式计算，它是有条件的。如果条件不满足使用高斯公式计算会导致错误。例9 计算曲面积分，

14、其中是面的曲线绕轴旋转一周所成的旋转曲面，且曲面的法向量与轴正向夹角大于。解法一 直接法化为二重积分，此时要求出旋转曲面方程：（）。由于计算太繁，从略。解法二 做辅助平面：（），且取上侧，与构成一个闭曲面（取外侧），又平面垂直面及面，所以。故 解法三 因为，所以曲面积分与曲面形状无关。另取一合适的曲面或平面，如取平面：（），其法向量指向轴负向，则评注 （1）由解法二看到，我们可以通过引入辅助曲面方法，把高斯公式应用于解决沿非闭曲面的曲面积分计算。（2）由解法三告诉我们，如果一个第二类曲面积分在所考虑的区域上满足积分与曲面形状无关（仅与曲面的边界有关）的条件，则在这区域上，我们可以另选一个合适的

15、曲面（或平面）来代替原曲面，而使积分计算变得简单容易。再这里应注意的是与的边界要相同，且同侧。三、曲线积分与曲面积分的应用例1 设是以为直径的半圆弧，其中，求质点在力作用下由点沿到点所做功，其中的大小正比于，其方向垂直于且与轴正向的夹角小于。解 先求的参数方程为再求的表达式，由题设因为垂直轴及，所以的方向与一致。而。因此 故，功例2 设流体的密度为，流速，求流体在单位时间内流过曲面：向外的流量。解 根据第二类曲面积分的物理意义，所求流量例3 有一面密度为（常数）半径为的半球面，求它对球心处质量为的质点的引力。解 取坐标系球面：。由于球面均匀对称，所以球面对质点的引力在轴、轴上的投影为0，即，只要求在轴上的投影。在曲面上点处取面积元素，其上质量，引力微元素的方向与方向一致，在轴上投影，所以故，引力。 14