第讲简便计算容斥原理

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1、 全方位教学辅导教案 学科：奥数 任课教师： 教务： 授课时间：2014年 6月 15日 星期日学 生性 别年 级小三总课时： 小时 第 14次课教 学内 容简便运算 容斥原理教 学目 标重 点难 点培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。针对性授课第一讲 简便计算计算教学是支撑小学数学的最基本框架，占据着小学数学一半以上的教学时间。而“简便计算”更是小学数学教学中的一部“重头戏”，它被视作对 学生 进行思维训练的一种重要手段，其中加法、乘法的五条运算定律在数学中具有重要的地位与作用，被誉为“数学大厦的基石”。同学们已经掌握了口算、笔算的基本方法，有时根据题目里的几个数的特点，采用一些简

2、便、快速的方法就算，不仅可以节省时间，还可以保证计算正确，这种练习可以训练思维的灵活性，提高计算能力。，提高计算能力。三个数相加减时为了使计算又对又快，可以把相加能凑成整百、整十的数先算，在和第三个数算。如果是两个数相加减可以把接近整百、整十的数当整百、整十数算。注意：多加了再减，少加了要补；多减了了要补；少减了再减。下面是常用的运算定律。一运算定律加法交换律： ab = ba加法结合律：（ab）c = a（bc）乘法交换律： ab = ba乘法结合律：（ab）c = a（bc）乘法分配律：（ab）c = acbc （ab）c = acbc二其它性质abc = acb 可以变化顺序abc =

3、a（bc） 可以加起来一起减a（bc）= abc 括号前是减号，去掉后变符号a（bc）= abc 括号前是减号，去掉后不变符号abc = acb 可以变化顺可以abc = a（bc） 可以乘起来一起除abc = acb 可以变化顺序abc = acb 可以变化顺序三、例题精讲：（一）当一个计算题只有同一级运算（只有乘除或只有加减运算）又没有括号时，我们可以“带符号搬家”。12.065.072.94 30.349.7610.34 33 2574 3441.7 1.250.8 1027.35.1 17+-7 1,（二）当一个计算题只有加减运算又没有括号时，我们可以在加号后面直接添括号，括到括号里的

4、运算原来是加还是加，是减还是减。但是在减号后面添括号时，括到括号里的运算，原来是加，现在就要变为减；原来是减，现在就要变为加。a+b+c=a+ (b + c ), a+b-c=a +(b-c), a-b+c=a (b-c), a-b-c= a-( b +c);98.3+18.75-6.75 8.7+6.25-5.25933-15.7-4.3 41.0619.7220.28 73+ 8+2-（三）当一个计算题只有乘除运算又没有括号时，我们可以在乘号后面直接添括号，括到括号里的运算，原来是乘还是乘，是除还是除。但是在除号后面添括号时，括到括号里的运算，原来是乘，现在就要变为除；原来是除，现在就要变

5、为乘。abc=a(bc), abc=a(bc), abc=a(bc) , abc=a(bc),700145 18.62.50.4 1.960.54 1.062.5413 29 （四）当一个计算题只有加减运算又有括号时，我们可以将加号后面的括号直接去掉，原来是加现在还是加，是减还是减。但是将减号后面的括号去掉时，原来括号里的加，现在要变为减；原来是减，现在就要变为加。（现在没有括号了，可以带符号搬家了哈)a+ (b + c )= a+b+c a +(b-c)= a+b-c a (b-c)= a-b+c a-( b +c)= a-b-c;19.68（2.682.97） 5.68（5.394.32）

6、 19.68（2.979.68） 7+(-) （五）当一个计算题只有乘除运算又有括号时，我们可以将乘号后面的括号直接去掉，原来是乘还是乘，是除还是除。但是将除号后面的括号去掉时，原来括号里的乘，现在就要变为除；原来是除，现在就要变为乘。（现在没有括号了，可以带符号搬家了哈)a(bc) = abc, a(bc) = abc, a(bc) = abc , a(bc) = abc, 1.25（ 8 0.5） 0.25（ 4 1.2） 1.25（ 2130.8） 9.3(4) 0.74(71)（六）乘法分配律的两种典型类型1、括号里是加或减运算，与另一个数相乘，注意分配24（1+0.5） 18（1-0

7、.2）24(-+) (12+) 7 （7-）2、注意相同因数的提取。0.921.410.928.59 -1.311.61.61.3 11.618.4（七）一些简算小技巧1、巧借，可要注意还哦 ,有借有还，再借不难啊。 9999+999+99+9 4821-9982、分拆，可不要改变数的大小哦 3.212.525 1.2588 3.60.25 3、巧变除为乘（除以相当于乘4, 除以相当于乘8,）7.60.25 3.50.1254、注意构造，让我们的算式满足乘法分配律的条件 1.8991.8 3.89.90.38 103-2- 1.019.61020.87 2.69.9 31+ + 36 3813

8、.527+13.572+13.5 1.57.4+0.6150%+2 5.3+2.725% 0.6710.16.7 2821.62.816 5.61.70.5683 （八）“拆”与“凑”的技巧 例1 计算38256 例2 计算1999+999999 例3 计算11.8438600.09总结：上面几个例子说明，什么情况下“拆”（或“凑”），怎么来“拆”（或“凑”）。不能只看某一个数，而应根据算式中的运算符号、数据特点及数与数之间的关系，合理选择。这就需要仔细观察，总体考虑。“拆”和“凑”的方法很多，请同学们自己在练的过程中注意总结。练一练：1、计算下面各题（1） 1994+997997（2） 10

9、476+748+524+252（3） 7.527+192.5（4） 1993+199.3+19.93+1.993（5） 7.719870+1001+25（6） 7612568（7） 957+792（431+392）+39（8） （998+379+158）（997+378+157）（9） 90.90.090.0090.0009（10） 41.28.1+111.25+5370.192、已知12+22+32+92+102=385。求12+23+34+1011第二讲 容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠

10、的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是A类又是C类的元素个数既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。【例题分析】 例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达

11、到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？ 例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？ 分析与解：根据题意画图。 例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？ 例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英

12、语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语的有2人，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加语文小组的人数。 分析与解：根据已知条件画出图。 【模拟试题】 1. 三年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有64人订少年报，有48人订数学报，两种刊物都订的有多少人？ 2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记表如下表（单位：平方米）姓名居室门厅厨房厕所总面积小明14128438小龙20128444 他们住的一套房子共有多少平方米？ 3. 某班45

13、名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。 4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最少有多少名同学？5.一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？6.某校六（1）班有学生45人，每人在暑假

14、里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？7. 某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人.问既会游泳又会体操的有多人？8. 五环图中每一个环内径为4厘米，外径为5厘米.其中两两相交的小曲边四边形（右图中阴影部分）的面积相等.已知五个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米.求每个小曲边四边形的面积。9. 某班全体学生进行短跑、游泳和篮球三项测验，有4个学生这三项均未达到优秀，其余每人至少一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目及人数如下表：问这个班有多少名学生？10有100位学生回答A、B两题.A、B两题都没回答对的有10人，有75人答对A题，83人答对B题，问有多少人A、B两题都答对？签字教研组长： 教学主任： 学生： 教务老师： 家长：老师课后评价下节课的计划：学生的状况、接受情况和配合程度：给家长的建议：12 健 康 成 长 快 乐 学 习 东莞市常平镇紫荆花园 电话89800661