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1、点关于直线对称公式的应用永靖中学 姬良挺摘要：点关于直线对称是常见问题，适时推导掌握一些公式，加快运算速度，降低失误率，本文在一般情况下推导出点关于直线对称公式后，重点介绍直线斜率为1或-1时，公式变的简单明了，而且应用非常方便。关键词：对称，斜率，坐标在高中数学中对称问题随处可见,有点与点对称、点与直线的对称、直线与直线的对称、图形与图形的对称，其中点关于直线的对称最为常见，适时推导掌握一些公式,可以加快运算速度，降低失误率。在直角坐标系中，当直线斜率不存在时，（如图1）点P(x0,y0)关于直线x=a的对称点P1坐标为（x1,y1），则由中点坐标公式可得a=（x0+x1） /2,y0=y1
2、即：x1=2a-x0,y1=y0所以得P1坐标为（2a-x0,y0）；当直线斜率为0时，（如图2）点P(x0,y0)关于直线y=b的对称点P1坐标为（x2,y2）则由中点坐标公式可得b=（y0+y2） /2,x0=x2即：y2=2b-y0,x2=x0所以得P1坐标为 (x0,2by0)。 图1 图2 图3下面介绍一般情况下，求点P(x0,y0)关于直线l：y=kx+b（k0）的对称点P1的坐标（如图3），设P1点坐标为（x，y），则由直线PP1与l垂直及线段PP1的中点在l上，可得： 解这个关于x、y 的二元一次方程组，得： 可以验证：该公式在k=0时仍然成立。一般情况下运用该公式较繁，也没有
3、必要记住这个公式，但当直线的斜率为+1或者-1时，该公式变的简单明了，而且应用起来非常方便。当k=l时，将k值代入（3）（4）得：x=y0-b, y=x0+b.当k=-l时，将k值代入（3）（4）得：x=-y0+b. y=-x0+b. 可见：在直线的斜率为+1或者-1时，只需将原来点的纵坐标代入直线方程中求得的x的值的为对称点的横坐标，将原来点的横坐标代入直线方程中求得的y值即为对称点的纵坐标。例1: 求点（3，5）关于直线y=x+3的对称点坐标。解：在直线方程y=x+3,将x代为3，得： y=6即为对称点纵坐标，将y=5代入直线方程求,得:x=2即为对称点横坐标。 所以：点（3，5）关于直线y=x+3的对称点坐标为（2，6）。例2：求点（a.b）关于直线y=-x+1的对称点解：在直线方程y=-x+1中，x代为a ，得：y=-a+1即为对称点的纵坐标，将y代为b,得：x=-b+1,即为对称点的横坐标。即：点（a,b）关于直线y=-x+1的对称点坐标为（-b+1，-a+1）。在直线斜率为1或者-1时，应用上述公式可以快速准确的计算出已知点关于直线对称点的坐标，在平时学习中应不断总结，并指导学生撰写此类小论文，可达到举一反三，事半功倍之效。 参考文献： 全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）2基础教育a
点关于直线的对称教育材料
