点关于直线的对称教育材料

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1、点关于直线对称公式的应用永靖中学 姬良挺摘要:点关于直线对称是常见问题,适时推导掌握一些公式,加快运算速度,降低失误率,本文在一般情况下推导出点关于直线对称公式后,重点介绍直线斜率为1或-1时,公式变的简单明了,而且应用非常方便。关键词:对称,斜率,坐标在高中数学中对称问题随处可见,有点与点对称、点与直线的对称、直线与直线的对称、图形与图形的对称,其中点关于直线的对称最为常见,适时推导掌握一些公式,可以加快运算速度,降低失误率。在直角坐标系中,当直线斜率不存在时,(如图1)点P(x0,y0)关于直线x=a的对称点P1坐标为(x1,y1),则由中点坐标公式可得a=(x0+x1) /2,y0=y1

2、即:x1=2a-x0,y1=y0所以得P1坐标为(2a-x0,y0);当直线斜率为0时,(如图2)点P(x0,y0)关于直线y=b的对称点P1坐标为(x2,y2)则由中点坐标公式可得b=(y0+y2) /2,x0=x2即:y2=2b-y0,x2=x0所以得P1坐标为 (x0,2by0)。 图1 图2 图3下面介绍一般情况下,求点P(x0,y0)关于直线l:y=kx+b(k0)的对称点P1的坐标(如图3),设P1点坐标为(x,y),则由直线PP1与l垂直及线段PP1的中点在l上,可得: 解这个关于x、y 的二元一次方程组,得: 可以验证:该公式在k=0时仍然成立。一般情况下运用该公式较繁,也没有

3、必要记住这个公式,但当直线的斜率为+1或者-1时,该公式变的简单明了,而且应用起来非常方便。当k=l时,将k值代入(3)(4)得:x=y0-b, y=x0+b.当k=-l时,将k值代入(3)(4)得:x=-y0+b. y=-x0+b. 可见:在直线的斜率为+1或者-1时,只需将原来点的纵坐标代入直线方程中求得的x的值的为对称点的横坐标,将原来点的横坐标代入直线方程中求得的y值即为对称点的纵坐标。例1: 求点(3,5)关于直线y=x+3的对称点坐标。解:在直线方程y=x+3,将x代为3,得: y=6即为对称点纵坐标,将y=5代入直线方程求,得:x=2即为对称点横坐标。 所以:点(3,5)关于直线y=x+3的对称点坐标为(2,6)。例2:求点(a.b)关于直线y=-x+1的对称点解:在直线方程y=-x+1中,x代为a ,得:y=-a+1即为对称点的纵坐标,将y代为b,得:x=-b+1,即为对称点的横坐标。即:点(a,b)关于直线y=-x+1的对称点坐标为(-b+1,-a+1)。在直线斜率为1或者-1时,应用上述公式可以快速准确的计算出已知点关于直线对称点的坐标,在平时学习中应不断总结,并指导学生撰写此类小论文,可达到举一反三,事半功倍之效。 参考文献: 全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)2基础教育a

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