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1、立体几何中的向量方法1. 基本概念：1.1. 向量的数量积和坐标运算是两个非零向量，它们的夹角为，则数叫做与的数量积（或内积），记作，即 其几何意义是的长度与在的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是： 若，则； ；1.2. 异面直线所成的角分别在直线上取定向量则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角（如图1所示），则 1.3. 异面直线的距离图1分别在直线上取定向量求与向量都垂直的向量，分别在上各取一个定点，则异面直线的距离等于在上的射影长，即.证明：设为公垂线段，取（如图1所示），则图21.4. 直线与平面所成的角在上取定，求平面的法向量（如图2所示），再求，则为所求的角. 1.5 二面角方
2、法一：构造二面角的两个半平面的法向量（都取向上的方向，如图3所示），则图3甲 若二面角是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量的夹角的补角，即.图3乙 若二面角是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量的夹角，即.图4方法二：在二面角的棱上确定两个点，过分别在平面内求出与垂直的向量（如图4所示），则二面角的大小等于向量的夹角，即 1.6. 平面外一点到平面的距离图5先求出平面的法向量，在平面内任取一定点，则点到平面的距离等于在上的射影长，即.17 法向量上面“1.”中，均运用了法向量我们对它进一步的挖掘和丰富直线的法向量：在直线上取一个定向量，则与垂直的非零向量叫直线的法向量
3、 平面的法向量：与平面垂直的非零向量叫平面的法向量构造直线或平面的法向量，在求空间角与距离时起到了桥梁的作用，在解题过程中只须求出而不必在图形中作出来在空间直角坐标系下，构造关于法向量坐标的三元一次方程组，得到直线（或平面）的法向量坐标的一般形式，再取特值. 其向上或向下的方向可根据竖坐标的符号来确定.由上可见，利用向量的数量积可把求距离、夹角问题转化为向量的运算，和原来距离、夹角求解中的“作、证、算”有较大差异.掌握了以上的基本概念和方法，就会使解决立体几何中夹角与距离的问题难度降低，也拓展了我们解决问题的思路.2. 基本方法：利用向量解立体几何中垂直、夹角、距离等问题，其基本方法是：把有关
4、线段与相应的向量联系起来，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算进行计算或证明. 坐标法所谓坐标法，就是建立适当的空间直角坐标系(本文所建立的都是右手直角坐标系)，把向量用坐标来表示，用向量的坐标形式进行向量的运算，以达到解决问题的目的.图6运用坐标法时，也必须首先找出三个基向量，并且这三个基向量两两垂直,由此建立空间直角坐标系. 因而坐标法是基向量法的特殊情形，但坐标法用于求长度、角度或解决垂直问题时，比较简单.例 1 如图6，已知正三棱柱的棱长为2，底面边长为1，是的中点.（1）在直线上求一点，使；（2）当时，求点到平面的距离.（3）求出与侧面所成的角余弦值.图7例2如右图7,在长方体
5、ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是AB、BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的角的余弦值.图8例3如图8，在正四棱柱中，已知，、分别为、上的点，且（）求证：平面；（）求点到平面的距离.图9 例4把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，点是原正方形的中心，求（）的长；（）折起后的大小作业：1：如图在四棱锥PABCD中底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。(1)求证PA平面EDB(2)求证PB平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小2如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，AM=MB=MN。（）证明ACNB；（）若，求NB与平面ABC所成角的余弦值。- 5 -
用向量解立体几何
