第5章刚体的定轴转动教案

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1、第5章 刚体的定轴转动第5章 刚体的定轴转动 本章学习目标理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守恒定律。掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 本章教学内容1刚体的运动2刚体定轴转动定律3转动惯量的计算4刚体定轴转动定律的应用5转动中的功和能6对定轴的角动量守恒 本章重点刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量；力矩计算、转动定律的应用；刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 本章难点力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。4.1 刚体的运动一、刚体的概念物体的一些运动是与它的形状有关的，

2、这时物体就不能看成质点了，其运动规律的讨论就必须考虑形状的因素。有形物体的一般性讨论也是一个非常复杂的问题，全面的分析和研究是力学专业课程学习的内容。在大学物理中，我们讨论有形物体的一种特殊的情况，那就是物体在运动时没有形变或形变可以忽略的情况。如果物体在运动时没有形变或其形变可以忽略，我们就能抽象出一个有形状而无形变的物体模型，这模型叫做刚体。刚体的更准确更定量的定义是：如果一个物体中任意的两个质点之间的距离在运动中都始终保持不变，则我们称之为刚体。 被认为是刚体的物体在任何外力作用下都不会发生形变。实际物体在外力作用下总是有形变的，因此刚体是一个理想模型。它是对有形物体运动的一个重要简化。

3、 实际物体能否看成是刚体不是依据其材质是否坚硬，而是考察它在运动过程中是否有形变或其形变是否可以忽略。 正如质点中所讨论的那样，刚体也就是一个质点系，而且是一个较为特殊的刚性的质点系，它的运动规律较之于一个质点相对位置分布可以随时改变的一般质点系而言，要简单得多。 二、刚体的运动刚体运动的基本形式有平动和转动，刚体任意的运动形式都可以看成是平动和转动的迭加。 1、刚体的平动1）平动的定义如果在一个运动过程中刚体内部任意两个质点之间的连线的方向都始终不发生改变，则我们称刚体的运动为平动。平动的示意图如下。电梯的上下运动，缆车的运动都可看成刚体平动。刚体的平动2）平动的特点 刚体平动的一个明显特点

4、是，在平动过程中刚体上每个质点的位移、速度和加速度相同。这意味着，如果我们要研究刚体的平动，只需要研究某一个质点，例如质心的运动就行了。因为这一个质点的运动规律就代表了刚体所有质点的运动规律，也即刚体的运动规律。在这个意义上我们可以说，刚体平动的运动学属于质点运动学，可以使用质点模型。 刚体平动的动力学也可以使用质点模型，通过质点动力学来解决。这实际上并不是新问题，如牛顿运动定律的多数题目中出现的都是有形状的物体，但只要它是在平动，我们就仍可以用牛顿运动定律来正确地处理它们。实际上，这时我们用牛顿运动定律求出来的是质心的加速度，但是由于在平动中刚体上每个质点的加速度相同，所以质心的加速度也就代

5、表了所有质点的加速度。 综上所述我们知道，刚体平动可以使用质点模型，我们可以用前面质点力学中的知识去分析和处理它们。 2、刚体的定轴转动1）转动的定义如果在一个运动过程中，刚体上所有的质点均绕同一直线作圆周运动，则我们称刚体在转动，该直线称为转轴。如火车车轮的运动、飞机螺旋浆的运动都是转动。如果转轴是固定不动的，则称为定轴转动，如车床齿轮的运动、吊扇扇页的运动均属于定轴转动。转动是否是定轴的，取决于参照系的选择。刚体的定轴转动2）定轴转动的特点定轴转动中刚体上的任一质点p都绕一个固定轴作圆周运动，见上图，习惯上常把转轴设为z轴，圆周所在平面M称为质点的转动平面，转动平面与转轴垂直。质点作圆周运

6、动的圆心O叫做质点的转心，质点对于转心的位矢r叫做质点的矢径。定轴转动显著的特点是：转动过程中刚体上所有质点的角位移、角速度和角加速度相同，我们称之为刚体转动的角位移、角速度和角加速度。三、刚体定轴转动的描述刚体定轴转动最佳的描写方法是角量描写。物体转动的角速度和角加速度是有方向的，我们常说某物体转动的角速度是逆时针方向或顺时针方向，就是在描述角速度的方向。对于刚体定轴转动，转动方向的描述与观察方向有关，在下图中逆着z轴从上向下看和沿着z轴从下向上看得到的结论正好相反。为了准确描述角速度和角加速度的方向，我们把角速度和角加速度定义为矢量。角速度和角加速度已经有了大小的定义，现在要赋予它们方向。

7、1、角速度矢量我们规定，物体的角速度矢量的方向与直观的转动方向构成右手螺旋关系：当我们伸直大姆指并弯曲其余的四个手指，使四个手指指向直观的转动方向时，大姆指所指的方向即为角速度矢量的方向。在上图（a）中，刚体的转动是逆时针方向的，按右手螺旋法则，我们说它的角速度沿z轴向上；在上图（b）中，刚体的转动是顺时针方向的，我们说它的角速度向下。角速度矢量还可以使用如下的数学表达式来表示：（1）式中n表示转动方向，表示角速度的大小。2、角加速度矢量角加速度矢量定义为（2）显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图（a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见下图（b），则角

8、速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方向。角加速度矢量显然，在刚体的定轴转动中，角速度和角加速度矢量的方向只有沿着z轴和逆着z轴两个方向。可以把沿z轴的角速度叫做正角速度，逆着z轴的角速度叫做负角速度，这是角速度的标量表述。对角加速度也可作同样的标量表述，读者可自行推广。3、定轴转动的线量当刚体作定轴转动时，刚体上的各个质点都有速度和加速度。这些质点的速度和加速度与刚体的角速度和角加速度矢量有什么关系呢？在矢量描述中，刚体定轴转动的角量与线量的关系将包含方向之间

9、的关系而表现得更加完整。若考察刚体上的一个质点对z轴的径矢为r，则其速度、切向加速度和法向加速度和角速度与角加速度的矢量关系为：(3)这个式子大家可以自己推导。其意义可以由下图看出。刚体定轴转动中角量与线量的矢量关系在后面的讨论中，角速度和角加速度的矢量表述和标量表述都会用到，这主要取决于具体问题中用什么描述方法更为方便。5.2 刚体定轴转动定律一、对定轴的力矩在力矩知识点中我们讨论了对定点的力矩，也简单介绍了对轴的力矩。在此处我们进一步详细讨论对定轴的力矩。如下图所示，一刚体绕定轴z转动（只画出了刚体一部分），力F作用在刚体上p点，且力的方向在p点的转动平面M内。如果力不在转动平面内，可以把

10、F分解为沿轴z方向的分力和在转动平面内的分力。轴向分力是要改变轴的方向，在定轴转动中会被定轴的支撑力矩抵消而不起作用，所以我们可以只考虑在转动平面内分力的作用，以后我们也只讨论力在转动平面内的情况。设p点的转心为O，径矢为r。通常把力F对定轴z的力矩定义为一个矢量（1）它的大小为 （2）或 （3）其中称为力F对轴的力臂，为力F的切向分量。由（5-3）式可知，力矩矢量的方向是矢径r和力F矢积的方向。图中的力矩矢量的方向向上。 在刚体的定轴转动中，力矩矢量的方向只有沿着z轴和逆着z轴两个方向。我们把沿z轴的力矩叫做正力矩，逆着z轴的力矩叫做负力矩，这是力矩的标量表述。 对定轴的力矩可以证明，力对定

11、轴z的力矩不过是力对轴上任一定点的力矩在z轴方向的分量，所以它们的讨论和表示方式才如此相似。 若作用在p点的力不止一个，即是一个合力，则该点所受合力的力矩等于各分力力矩之和。简要证明如下：按（1）式，合力的力矩 (4) 其中为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向相反，其和为零。 (5)作用力矩和反作用力矩二、刚体对定轴的角动量在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来

12、讨论这个问题。刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m，对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为 (6)它的大小为 (7)其中称为动量臂。由（6）式可知，角动量的方向是矢径r和动量p矢积的方向。质点对定轴的角动量在刚体的定轴转动中，质点的角动量的方向只有沿着z轴和逆着z轴两个方向。我们把沿z轴的力矩叫做正角动量，逆着z轴的力矩叫做负角动量，这是角动量的标量表述。 可以证明，

13、质点对定轴z的角动量是质点对z轴上任一定点的角动量在z轴方向的分量。可以看出，质点对定轴的角动量的定义和力对定轴的力矩定义在结构上相同。 定轴转动刚体对轴的角动量定义为刚体各质点对轴的角动量的矢量和其中Li为第i个质点的角动量。设第i个质点质量为mi，速度为vi，对z轴的径矢为，则 由于定轴转动时刚体中每一个质点都在进行圆运动，如图所示。质点的速度和矢径垂直，所以质点对z轴的角动量的大小为 其中ri是质点到轴的距离，为刚体转动的角速度。考虑到质点圆运动时角动量矢量的方向和角速度矢量的方向始终相同，故有 把各质点的角动量相加得到刚体对定轴的角动量 根据转动惯量的定义，则刚体对定轴的角动量 （8）

14、即在刚体转动惯量已知的情况下，由上式可以很容易地计算出刚体对定轴的角动量。三、刚体定轴转动的转动定律刚体作为一个质点系，必然遵从质点系角动量定理： 其物理意义是，作用于刚体的合外力矩等于刚体的角动量对时间的变化率。这个结论无论是对定点或是对定轴均成立。把刚体对定轴的角动量带入上式，注意到刚体对定轴的转动惯量为一常量，有 注意到式中为刚体定轴转动的角加速度，可记作 （9）此式即称为刚体定轴转动的转动定律，它表示在定轴转动中刚体角加速度的大小与合外力矩成正比而与刚体的转动惯量成反比，角加速度的方向与合外力矩的方向一致。如前所述，力矩和角加速度都可以用标量来描述，采用标量描述的转动定律为。从以上的简

15、单推证中可以看出，刚体定轴转动的转动定律实际上就是角动量定理的一个变形表示。由于刚体对定轴的角动量的形式十分简洁，而且转动惯量J又是一个常量，所以能很容易地得到这个很重要的定律。转动定律说明定轴转动中刚体角加速度与合外力矩的关系。转动定律的推导过程和物理意义都很像从动量定理得到的牛顿第二定律：。注意到牛顿第二定律中的质量m和转动定律中的转动惯量J在定律中的地位是完全对应的，由此能够进一步理解转动惯量的物理意义。在对定律的理解中应注意，定律中合外力矩M，转动惯量J，角加速度均是对同一定轴而言，请勿混淆。3.3 转动惯量的计算一、 刚体转动惯量转动是具有惯性的。例如，飞轮高速转动后要使其停下来就必

16、须施加外力矩，静止的飞轮要转动起来也必须外力矩的作用。这说明了转动确实具有惯性。转动惯性的大小用什么物理量来描写呢？对定轴转动的刚体而言可以使用所谓的转动惯量来描写它转动惯性的大小。更复杂的刚体运动需要使用惯量张量来描写。1、转动惯量的定义使用离散方法，刚体可以看成是由很多质点组成的，则刚体的转动惯量定义为：（1）式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。 2、转动惯量的讨论在刚体对定轴的角动量的定义中出现一个新的物理量：转动惯量。按（1）式，转动惯量定义为。它取决于刚体对轴的质量分布。对通常质量密度均匀的刚体，它取决于刚体的质量、形状和转轴位置三个因素。转动惯量的定义

17、表明，一个质点对定轴的转动惯量是，而刚体的转动惯量就是刚体中的所有质点转动惯量之和。这也意味着一个刚体整体的转动惯量应等于其各部分的转动惯量之和。【例1】如图所示，一正方形边长为l，它的四个顶点各有一个质量为m的质点，求此系统对（1）z1轴；（2）z2轴；（3）z3轴的转动惯量。【解】(1)对z1轴，四个质点的转动惯量均为，故 (2)对z2轴，a、d两质点的转动惯量为零，而b、c两质点的转动惯量均为ml2，故(3)对z3轴对于质量连续分布的物体，定义中的求和要通过积分来进行。可在刚体中取一质元，若质元质量为dm，到转轴的距离为r，则质元对轴的转动惯量，而刚体的转动惯量应为各质元转动惯量之和即积

18、分(2)积分域为刚体的全部质量。质量分布通常用质量密度来描述，如果质量在空间构成体分布，则空间任一点的质量体密度定义为该点附近单位体积内的质量如果式（2）中的质元的体积为，而该点的质量体密度为，则质元的质量把此式代入（2）式，积分即为体积分。如果质量构成面分布，则质量面密度定义为该处单位面积内的质量如果所取质元的面积为，而该点的质量面密度为，则质元的质量 把此式代入（2）式，积分为面积分。对于线分布，质量线密度定义为单位长度内的质量 如果质元的长度为，该点的质量面密度为，则质元的质量 把此式代入（2）式，积分为线积分。 【例2】有一匀质细杆长度为l，质量为m。求细杆对于与杆垂直的转轴的转动惯量

19、，(1)轴在杆的一端；(2)轴在杆的中心。【解】(1)细杆的质量线密度，如图所示，在距轴r处取一线元dr。线元的质量为，线元的转动惯量，故细杆的转动惯量为(2)若轴在杆中心，可以把杆从中心分为两个部分，两个部分的转动惯量相等，而且每一部分的转动惯量都可以用问题（1）中的结论来表示。只是每部分的长度只有，质量也只有。【例3】如下图所示，有一质量均匀分布的细圆环，半径为r，质量为m，求圆环对过圆心并与环面垂直的转轴的转动惯量。【解】 在环上取一质量为dm的质元，它对轴的转动惯量，故圆环的转动惯量为 【例4】如下图所示，有一质量均匀分布的圆盘，半径为R，质量为m，求圆盘对过圆心并与圆盘垂直的转轴的转

20、动惯量。 【解】盘的质量面密度为，在盘上取一半径为r，宽度为dr的圆环，圆环面积，圆环的质量为，利用上一题的结论，圆环的转动惯量为 故圆盘的转动惯量为 二、常见刚体的转动惯量常见刚体的转动惯量见下表。常见刚体的转动惯量刚体形状转轴位置转动惯量细棒中垂轴细棒一端的垂直轴圆柱体几何对称轴薄圆环几何对称轴薄圆环任意直径为轴圆盘几何对称轴圆盘任意直径为轴球体任意直径为轴圆筒几何对称轴三、平行轴定理平行轴定理常用于求转动惯量。如图所示，可以证明，若刚体对过质心C的轴ZC的转动惯量为JC，则刚体对另一与ZC平行的轴Z的转动惯量为 平行轴定理其中m为刚体的质量，d为两轴之间的距离。这就是平行轴定理，定理的证

21、明读者可以参阅书后列出的有关参考书。5.4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用与牛顿运动定律的应用相似。牛顿运动定律应用的基础是受力分析，而对于转动定律的应用，则不仅要进行受力分析，还要进行力矩分析。按力矩分析可用转动定律列出刚体定轴转动的动力学方程并求解出结果。 在刚体定轴转动定律的应用中还常常涉及到与牛顿运动定律的综合。题目的复杂性相对较大，这也是大家注意的问题。下面我们以具体的例子来给大家介绍刚体定轴转动定律的应用方法。 【例1】如图所示，一轻杆（不计质量）长度为2l，两端各固定一小球，A球质量为2m，B球质量为m，杆可绕过中心的水平轴O在铅垂面内自由转动，求杆与竖直方向成角时

22、的角加速度。 【解】 轻杆连接两个小球构成一个简单的刚性质点系统。系统运动形式为绕O轴的转动，应该用转动定律求解 （1） 先分析系统所受的合外力矩。系统受外力有三个，即A、B受到的重力和轴的支撑作用力。轴的作用力对轴的力臂为零，故力矩为零，系统只受两个重力矩作用。以顺时针方向作为运动的正方向，则A球受力矩为正，B球受力矩为负，两个重力的力臂相等为，故合力矩 (2) 系统的转动惯量为两个小球（可看作质点）的转动惯量之和 (3) 将（2）（3）式代入（1）式 有 解得 【例2】如图所示，有一匀质细杆长度为l，质量为m，可绕其一端的水平轴O在铅垂面内自由转动。当它自水平位置自由下摆到角位置时角加速度

23、有多大？ 【解】 杆受到两个力的作用，一个是重力，一个是O轴作用的支撑力。O轴的作用力的力臂为零，故只有重力提供力矩。重力是作用在物体的各个质点上的，但对于刚体，可以看作是合力作用于重心。即杆的中心，力臂为。杆对O轴的转动惯量为。按转动定律 有 即 解得 【例3】如图所示，一固定光滑斜面上装有一匀质圆盘A作为定滑轮，轮上绕有轻绳（不计质量），绳上连接两重物B和C。已知A、B、C的质量均为m，轮半径为r，斜面倾角。若轮轴的摩擦可忽略，轮子和绳子之间无相对滑动，求装置启动后两重物的加速度及绳中的张力？ 【解】 A、B、C构成一个连接体，A轮沿顺时针方向转动，B物体向下运动，C物体沿斜面向上运动。设

24、A的角加速度为，B、C加速度的大小相等设为a，绳子中张力的大小在A、B间设为T1、（），在A、C间设为T2、（）。T1和T2不相等，否则轮A受合力矩将为零，就不可能随绳子运动了，这显然不符合题意。 对滑轮A，滑轮所受的重力的力心在轴上，轮轴的支撑力也在轴上，它们的力臂均为零，故力矩也为零，所以只有绳子的张力T1和T2提供力矩，按转动定律有 对重物B，按牛顿运动定律有 对重物C，按牛顿运动定律有 由于轮子和绳子之间无相对滑动，A轮边缘的切向加速度和B、C加速度的大小相等，又按角量与线量关系有 联立以上四个方程可解得 【例4】如图所示，有一匀质圆盘半径为R，质量为m，在水平桌面上绕过圆心的垂轴O转

25、动。若圆盘的初角速度为，桌面的摩擦系数为并且与相对速度无关。求圆盘停止下来所需要的时间以及停转过程中的角位移？ 【解】 此题的难点在于求圆盘所受的摩擦力矩。圆盘的质量面密度为。如图设立平面极坐标，取面元，面元的质量，面元受到桌面的正压力等于它受到的重力 ,面元受到的摩擦力 摩擦力矩为 整个圆盘受到的摩擦力矩为 方向与转动方向相反。圆盘受到的重力和桌面正压力的力心在O轴上，力矩为零。 按转动定律 有 解得 盘的角加速度为常量，负号表示力矩和角加速度方向与角速度方向相反。 再由匀角加速度运动公式 得到转动时间 而转动角位移为 5.5 转动中的功和能一、力矩的功在定轴转动的刚体上若有力作用，这个力将

26、形成力矩，力对刚体做功也表现为力矩做功，下面我们来分析这个问题。力矩的功上图中，一个刚体绕O轴转动，力F作用于p点，设若在一个极短的时间内刚体转动了一个微小角度，作用点位移为dr，位移的大小，则力F的元功为 (1)其中为力F对定轴的力矩。（1）式表示力的元功为力矩与元角位移之积，若力矩与元角位移同向，力作正功，反之则作负功。在一个过程中力F对刚体做功为(2)即力对定轴转动刚体做功等于该力对应的力矩对刚体角位移的积分，常称之为力矩的功。显然，力矩的功就是力的功，在刚体的定轴转动中，力的功用力矩来表示更为方便，所以才称之为力矩的功。作用在刚体上的合外力矩为各外力矩之和，即，故合外力矩做功等于各外力

27、矩做功的代数和也即总功 (3)作用在刚体上一对作用和反作用力矩等值反向，故一对力矩的总功为零，即有 (4)在有关功的知识点中我们一对力的功只与它们作用点的相对位移有关，而作用在刚体上的一对内力是没有相对位移的(刚体没有形变)，所以上式成立。二、定轴转动的动能及动能定理轴转动刚体的动能归结于质点系的动能，定义为组成刚体的各质点动能之和，即 其中vi为第i个质点的速率，mi是它的质量。按角量线量关系，其中ri为质点到轴的距离，为刚体转动的角速度，有 由转动惯量的定义可知，其中的是刚体对定轴的转动惯量J，故有 上式即是定轴转动刚体的动能，简称为刚体的转动动能。转动动能公式是从质点动能公式推来，最终的

28、形式也很象质点动能公式。在公式的推导中我们看到，转动动能采用角量描述比用线量描述方便，这是由于在转动中各质点角速度相同而线速度vi各不相同的缘故。在已知刚体转动惯量的情况下，上述公式计算刚体动能的是非常方便的，要求大家必须掌握。在刚体转动的一个过程中，合外力矩对定轴转动刚体作功为:上式中的正好是刚体的转动功能，故有:(1)上式表明了：在刚体的一个转动过程中合外力矩的功，等于刚体转动动能的增量。这个结论称为刚体定轴转动的动能定理。刚体作为一个质点系，应遵从质点系动能定理，即外力的总功与内力总功之和等于系统动能的增量。在刚体定轴转动中，我们把力的功称之为力矩的功，则质点系动能定理应表述为外力矩的总

29、功与内力矩的总功之和等于系统动能的增量。但转动动能定理（1）式却表明，刚体动能的增量仅与合外力矩的功有关，按功能原理的理解也即仅与外力矩的总功有关，这意味着内力矩对刚体的总功应该为零。这一点应该这样来理解：由于刚体的内力矩是成对出现的，并且作用点之间没有相对位移，所以每对内力矩的总功为零。故全部内力矩的总功当然应该为零。三、刚体的重力势能刚体没有形变，所以没有内部的弹性势能。而在实际使用中我们常常会碰到刚体的重力势能问题，这里对此问题作一点说明。刚体的重力势能为组成刚体各个质元的重力势能之和。用重心的概念，刚体的重力势能应当等于刚体的全部质量集中在重心处的质点的重力势能。在均匀的重力场中，刚体

30、的重心与质心重合，对匀质而对称的几何形体，质心就在几何中心。刚体的重力势能的公式记作(2)其中m为刚体的质量，hc为重心高度，这里已设h=0处为重力势能零点。四、刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律刚体作为质点系，必然遵从一般质点系的功能原理和一定条件下的机械能守恒定律。刚体运动遵守这两个规律是显然的，我们就不证明它了。只是在使用的时候大家需要注意刚体定轴转动的一些特殊性，如力矩做功，转动动能等物理量的计算与单个质点的情况有所不同就行了。机械能守恒定律的应用与质点动力学完全类似，只需要考虑刚体的一些特殊情况。下面我们通过一些例子来给大家介绍它的应用。【例1】如图所示，一细杆长度为l，质量为m

31、，可绕其一端的水平轴O在铅垂面内自由转动。若将杆从水平位置释放，求杆运动到角位置处的角速度。【解】此题可用转动定律求出杆的角加速度后，用对时间t积分求出角速度。显然这种方法比较复杂一些。最简单的方法是用机械能守恒定律求解。杆在转动过程中只有保守力重力做功，系统的机械能守恒。取的初始状态为重力势能的零点，则初态系统的动能、势能均为零，故机械能为零。设角位置为时杆的角速度为，则有按和有可解得【例2】如图所示，定滑轮A绕有轻绳（不计质量），绳绕过另一定滑轮B后挂一物体C。A、B两轮可看作匀质圆盘，半径分别为R1、R2，质量分别为m1、m2，物体C质量为m3。忽略轮轴的摩擦，轻绳与两个滑轮之间没有滑动

32、。求物体C由静止下落h处的速度。【解】此题可用转动定律求出物体C的加速度后再求出它下落h时的速度。但若把A、B、C作为一个系统用机械能守恒定律来求解，则方法更简单一些。系统在运动过程中绳子张力的总功为零，只有保守力重力做功，故系统的机械能守恒。设系统的初态，即物体C在最高点时重力势能为零，则系统初态的动能、势能均为零，机械能为零。系统末态的机械能包括A、B、C三个物体的动能及物体C的重力势能，设A、B两轮的角速度分别为和，物体C的速度为v，则有 (1)其中，为A、B两轮的转动惯量。如果轻绳与两个滑轮之间没有滑动C的速度与两个滑轮边沿处的线速度相等，按角量线量关系有，。把这几个式子代入（1）式即

33、可解出5.6 对定轴的角动量守恒一、刚体定轴转动的角动量守恒刚体作为一个质点系，必然遵从质点系角动量定理和角动量守恒定律。刚体定轴转动的角动量定理的微分形式就是前述的转动定律，积分形式为 （1）即，在一个过程中定轴转动刚体所受冲量矩等于刚体角动量的增量。 刚体定轴转动中的角动量守恒定律是，若定轴转动刚体所受到的合外力矩为零，则刚体对轴的角动量是一个恒量，即若，则L=常量。(2)刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律，实际上是对轴上任一定点的角动量定理和角动量守恒定律在定轴方向的分量形式，它的适用范围是对任意质点系成立。无论是对定轴转动的刚体，或是对几个共轴刚体组成的系统，甚至是有形变的物体以

34、及任意质点系，对定轴的角动量守恒定律（2）式都成立。 我们在看滑泳表演时经常发现，一个运动员站在冰上旋转（见下图），当她把手臂和腿伸展开时转得较慢，而当他把手臂和腿收回靠近身体时则转得较快，这就是角动量守恒定律的表现。冰的摩擦力矩很小可忽略不计，所以人对转轴的角动量定恒。当她的手臂和腿伸开时转动惯量大故角速度较小，而收回后转动惯量变小故角速度变大。只要你留心，你会发现优秀的体操运动员、跳水运动员都会很熟练地演示角动量守恒定律，读者可以自己去分析。滑泳运动员的角动量定恒安装在轮船、飞机或火箭上的导航装置回转仪，也叫陀螺，也是通过角动量守恒的原理来工作的（见下图）。回转仪的核心器件是一个转动惯量较

35、大的转子，装在“常平架”上。常平架由两个圆环构成，转子和圆环之间用轴承连接，轴承的摩擦力矩极小，常平架的作用是使转子不会受任何力矩的作用。转子一旦转动起来，它的角动量将守恒，即其指向将永远不变，因而能实现导航作用。回转仪二、角动量守恒的应用角动量守恒在分析一些定轴转动时是非常有用的。它的使用方法我们通过下面的例子给大家介绍。 【例1】如图所示，一转盘可看作匀质圆盘，能绕过中心O的垂轴在水平面自由转动，一人站在盘边缘。初时人、盘均静止，然后人在盘上随意走动，于是盘也转起来。请问：在这个过程中人和盘组成的系统的机械能、动量和对轴的角动量是否守恒？若不守恒，原因是什么？ 【解】 系统的机械能显然不守

36、恒，静止时和运动时重力势能相同，而运动时系统有了动能，故机械能增加了。增加的原因是人的肌肉的力量作为非保守内力作了正功。 圆盘的动量系统的动量也不守恒。一个匀质圆盘，无论它转多快，其动量始终是零。如上图，以O为对称轴在盘上取一对对称的质元，它们的质量相同，到轴的距离相同，故速度相反因而动量大小相同、速度相反，所以它们的动量之和为零。由于整个圆盘可看作无数的质元成对地组成的，每一对质元的动量为零，则整个圆盘的动量也是零。系统静止时动量为零，系统运动时盘的动量依然是零而人的动量不为零，可见动量不守恒。不守恒的原因是圆盘的轴要给盘一个冲量来制止盘的平动。 系统对轴的角动量守恒，因为人受到的重力和盘受

37、到的重力的方向与轴平行，对定轴力矩的定义，它们不提供对轴的力矩。盘受到的轴的支撑力的力心在盘中心，力臂为零，故力矩也为零。所以系统受到的对轴的合外力矩为零。故角动量守恒。【例2】如图所示，在一个固定轴上有两个飞轮，其中A轮是主动轮，转动惯量为J1，正以角速度旋转。B轮是从动轮，转动惯量为J2，处于静止状态。若将从动轮与主动轮啮合后一起转动，它们的角速度有多大？ 【解】 两个轮组成一个定轴刚体系统，由于啮合过程很短，外力矩对系统的冲量可以忽略不计，故系统的角动量守恒，有 可得 【例3】如图所示，一个匀质圆盘半径为r，质量为m1，可绕过中心的垂轴O转动。初时盘静止，一颗质量为m2的子弹以速度v沿与

38、盘半径成的方向击中盘边缘后以速度沿与半径成的方向反弹，求盘获得的角速度。 【解】 对于盘和子弹组成的系统，撞击过程中轴O的支撑力的力臂为零，不提供力矩，其它外力矩的冲量可忽略不计，故系统对轴O的角动量守恒即 初时盘的角动量为零，只有子弹有角动量，故 末态中盘和子弹都有角动量，设盘的角速度为，则 故有 可解得 【例4】如图所示，一长度为l，质量为m的细杆在光滑水平面内沿杆的垂向以速度v平动。杆的一端与定轴z相碰撞后杆将绕z轴转动，求杆转动的角速度。 【解】 碰撞过程中轴z对杆的作用力的力臂为零故力矩也为零，所以杆对z轴的角动量守恒 碰撞前杆的角动量可通过积分算出。杆的质量线密度，如图在杆上取Ox

39、轴，在杆上距O点为x处取线元dx，线元质量，线元的角动量 故碰前杆的角动量 碰后杆绕z轴转动，其角动量为 按有 可解得 【例5】如图所示，一个匀质圆盘A作为定滑轮绕有轻绳，绳上挂两物体B和C。轮A的质量为m1，半径为r,物体B、C的质量分别为m2、m3，且m2m3。忽略轴的摩擦，求物体B由静止下落到t时的速度。 【解】 此题可用转动定律求解，先求出物体B的加速度，进而求出速度。但若把滑轮A、物体B、C作为一个系统，用对定轴的角动量定理求解，则可以不必考虑物体之间的相互作用，不必作隔离图，因而思路更明快一些。 该系统是一个连接体，其运动从整体上看对定轴O是顺时针方向的，即轮A沿顺时针方向转动，物

40、B向下运动，物C向上运动，故我们以顺时针方向的运动作为系统运动的正方向。按角动量定理，运动过程中系统受到的冲量矩等于系统角动量的增量 (1) (1) 式左边为系统受到的合外力矩对轴O的冲量矩，由于轮A所受重力和轴的作用力对轴O的力矩为零，故只有两物体所受重力提供力矩，注意到两个重力矩的方向相反，故合力矩为 合力矩在运动过程中的冲量矩为 (2) (1) 式右边为系统对轴O的角动量的增量。 t=0时系统静止，角动量 (3) 到t时刻，A、B、C三个物体均沿顺时针方向运动，角动量均为正。设此时轮A的角速度为，B、C两物体的速率相同设为v，则有 (4)把（2）、（3）、（4）式代入（1）式有(5)由于

41、系统为一连接体，两物体的速率与轮边缘的速率同，即有把此式代入（5）式即可求得物体下落t时的速度三、刚体定轴转动的综合应用在一些刚体定轴转动问题中，会涉及到角动量守恒、机械能守恒的综合应用。下面我们通过一些例题来予以说明。【例1】如图所示，一匀质木棒长度l=1m，质量为m1=10kg，可绕其一端的光滑水平轴O在铅垂面内自由转动。初时棒自然下垂，一质量m2=0.05kg的子弹沿水平方向以速度v击入棒下端（嵌入其中），求棒获得的角速度及最大上摆角。【解】子弹击入木棒的过程可以看成是绕轴做转动，因此在碰撞过程中可以将子弹和木棒作为一个共轴转动系统来讨论。子弹击入木棒的过程中，轴的支撑力及重力都不提供力

42、矩（力臂为零），故系统对轴O的角动量守恒。击入前只有子弹有角动量 。击入后设棒获得的角速度为，棒和子弹整体的转动惯量为 (1)击入后系统的角动量为。由角动量守恒定律有，即可解得棒的角速度(2)在棒上摆的过程中只有保守力重力做功，系统的机械能守恒。以棒刚开始上摆时的状态作为棒和子弹重力势能的零点，则此时系统只有动能，其中J和见（1）式和（2）式。棒上摆到最大角度时动能为零，系统只有重力势能。棒的重力势能为，子弹的重力势能为。由机械能定恒定律有可解出最大上摆角本章小结1刚体的定轴转动 匀加速转动：，2刚体定轴转动定律 以转动轴为z轴，为外力对转轴的力矩之和；，J为刚体对转轴的转动惯量，则3刚体的转动惯量， 平行轴定理： 4刚体转动的功和能 力矩的功： 转动动能： 刚体的重力势能： 机械能守恒定律：只有保守力做功时，5对定轴的角动量守恒 系统（包括刚体）所受的对某一固定轴的合外力矩为零时，系统对此轴的总角动量保持不变。