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1、2011年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1、选C.解：由导数的知识可知：A=x|x2-12x+200x|2x10,又，当xA时，易知： f(x)在区间2,10上为增函数，而可求得f(2)0, 方程f(x)0在区间2,10上有且仅有一解，即集合B中仅有一个元素.2、选B.解：点集是由顶点为的正方形的四条边构成.将变形为，所以集合B是由四条直线构成。欲使为正八边形的顶点所构成的集合，只有或这两种情况。（1）当时，由于正八边形的边长只能为2，显然有，故（2）当时，设正八边形边长为，则，这时综上所述，的值为或.3、选C.解：由线性约束条件画出可行域
2、如图所示，目标函数，化为 . 结合图形可知，目标函数的图象过点时，最大. 将点代入目标函数得的最大值为4. 4、选D.解：设动点、，则. 于是，点的轨迹是直线，点的轨迹是双曲线，双曲线上的任一点到直线的距离为 .当时，上式等号成立. 故的最小值为. 5、选C. 解：设事件A为“取到的数能被6整除”，事件B为“取到的数能被4整除”. 由，知 . 而6与4的最小公倍数为12，所以，恰有166个数既能被6整除又能被4整除，即 . 因此，所求概率为. 6、选A 解：因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当的图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线
3、与第二个椭圆相切，方程恰有4个实数解.将代入得由得，于是. 二、填空题（每小题9分，共54分）1、 24 .解：令，则. 故原不等式. 作 ，则是减函数，从而由，可得，故，其中整数解的个数为24.2、 0 .解：由，可知自第8项起每三个相邻的项周期地取1,1,0故. 3、 2 .解：不妨设三个顶点中B、C两点在轴的右侧（包括轴），且C点在B点右侧. 设、，BC的斜率为，则有，将，代入上述方程组，得 ，. 又由|AB|=|BC|，即，得 ，即，且有. 从而正方形边长为：当且仅当时，即B点为原点时，等号成立. 故正方形的面积的最小值为2.4、. 解：（1）若实数，则必为实数，此时或-2. 当时，有
4、，解得或4；当时，有，方程无实数解. （2）若实数，则必为虚数，由，得 ，解得. 因此，实数的值为1,4，. 5、 .解：根据题设，用三垂线定理可证，即平面ADC. 所以可在中作斜边AD上的高CH，由，得平面ABD. 易求得，所以 .6、 .解：由离心率为，可设椭圆方程为，该椭圆上任意一点的坐标为，于是 .若，则，从而当时，有最大值. 由题设得，解得 . 故所求椭圆方程为 .三、解答题（每小题20分，共60分）1、解：最多有两个不同的整数使. 如，当和时，成立. 5分否则，假设有三个不同的整数，使以下三式成立： ，. 而，因而中至少有两个在的同一侧，不妨设. 因，所以.10分 又因，所以在上是
5、增函数，从而.于是由，有，即 又 ，即 +，得 . 15分另一方面，因，即，于是，由，有. 因此，可得，与矛盾. 假设有多于3个的不同整数使成立，则其中至少有2个在的同一侧，从而同样可推出矛盾. 因此，最多有2个不同的整数使成立. 20分2、证明：（1）作高AH，则由BDPBAH，得 . 又由CDQCAH，得. 5分而由AD平分，得. 由. 于是，有APKQCBHD. 由Ceva定理，可知AH、BQ、CP交于一点，故AH过CP、BQ的交点K.所以AK与AH重合，即. 10分（2）记AH与DQ交于点T，则. 15分 又，所以，从而有 ，即， 结论得证. 20分3、解：. 5分首先证明：方格表的所有网格线可以被2013个矩形的边所覆盖.事实上所有水平的网格线可以被1006个矩形及一个矩形边所覆盖；所有竖直的网格线可以被1006个矩形及一个矩形边所覆盖，故. 10分 其次，假设方格表的网格线按题意，被个矩形的边所覆盖，接下来证明.称一个矩形上面（下面）的边为头（脚）.对中每一个矩形标上一个数对；若设矩形的头在的头中，记，否则；若设矩形的脚在的脚中，记，否则.在上述个矩形中，设标识为的矩形分别有个.15分又内部有2011条小的水平网格线，则；与的头相交的竖直网格线有2013条，则，即，同理，因此，于是，故. 20分6
全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
