112有理数基本运算.题库学生版

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1、有理数基本运算中考要求内容基本要求略高要求较高要求有理数运算理解乘方的意义掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）能运用有理数的运算解决简单问题有理数的运算律理解有理数的运算律能用有理数的运算律简化运算例题精讲板块一、有理数基本加、减混合运算有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：确定和的符号；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法

2、的运算律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.(加法交换律)三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.(加法结合律)有理数加法的运算技巧：分数与小数均有时，应先化为统一形式.带分数可分为整数与分数两部分参与运算.多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.有理数减法的运算步骤：把减号变为加号（改变运算符号）把减数变为它的相反数（改变性质符号）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.

3、有理数加减混合运算的步骤：把算式中的减法转化为加法；省略加号与括号；利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.例如：，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和.【例1】 (2级)计算：【解析】 原式；原式【例2】 (2级)计算：； 【解析】 原式原式原式原式【巩固】 (2级)【巩固】 (2级)，则 0； ，则 0；，则 0；，且，则 0.【解析】 ；.【例3】 （

4、6级）设三个互不相等的有理数，既可分别表示为的形式，又可分别表示为的形式，则 【解析】 这两个三数组在适当的顺序下对应相等，于是可以判定，与中有一个为，与中有一个为，可推出，原式值为【例4】 (2级)给出一连串连续整数：，这串连续整数共有 个；它们的和是 【解析】 个，和为【例5】 （6级）(第8届希望杯)个不全相等的有理数之和为，则这个有理数中( )A至少有一个是零 B至少有998个正数 C至少有一个是负数 D至多有995个是负数【解析】 答案为C【巩固】 （6级）(第17届希望杯2试)若，则以下四个结论中，正确的是( )A一定是正数 B可能是负数C一定是正数 D一定是正数【解析】 分析：答

5、案为C不能确定正负；一定为正；一定是正数；为负，为正，不能确定正负【例6】 (2级)（北京）北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：C）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（ ） A. 28C B. 29C C. 30C D. 31C【解析】 B. 当一组大小比较集中的数字求和时，我们可以先找一个“基准数”，（基准数尽量选用这组数的中间数，同时兼顾它是整十、整百的数，方便计算）.本题中我们可以选用30为“基准数”，那么平均值=30+（-5-2+0-1+1+2-2）7=29（C）；其总和=307+（-5-2+0-1+1+2-2）=203（C）. 【

6、例7】 （4级）(07年济南中考题)出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正， 向西为负，他这天下午行车里程表示如下:，将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远?如果汽车耗油量为升/千米，这天下午小李共耗油多少升?【解析】 ，距离出发点为39千米；共走了(千米)的里程，所以耗油为(升).【巩固】 （4级）（0708学年北京四中阶段测试）市的出租车无起步价，每公里收费2元，不足1公里的按1公里计价，9月4号上午市 某出租司机在南北大道上载人，其承载乘客的里程记录为：、（单位：公里，向北行驶记为正，向南行驶记为负），车每公里耗油0.1升，每

7、升油4元，那么他这一上午的净收入是多少元？他最后距离出发点多远？【解析】 毛收入：(元)，汽油成本：（元），收入（元）. 他最后距离出发点的距离：（公里）.【例8】 （8级）（无锡市中考题、人大附中练习题改编）数轴的原点上有一个蜗牛，第次向正方向爬个单位长度，紧接着第次反向爬个单位长度，第次向正方向爬个单位长度，第次反向爬个单位长度，依次规律爬下去，当它爬完第次处在点 求、两点之间的距离（用单位长度表示） 若点与原点相距个单位长度，蜗牛的速度为每分钟个单位长度，需要多少时间才能到达？ 若蜗牛的速度为每分钟个单位长度，经过小时蜗牛离点多远？【解析】 ，故、两点之间的距离为个单位长度分两种情况，第

8、一种情况：点在数轴的正半轴，观察规律可知：除去第一次，依次每两次结合相当于向正方向前进1米，所以再经过（次）运动即可前进50米，到达地；用时为：（分钟）第二种情况：点在数轴的负半轴，观察规律可知，每两次结合相当于向负半轴前进米，故经过次运动即可前进米，到达地，用时为：（分钟）设第次运动时，正好60分钟，那么有，所以，此时它离点：（米）【巩固】 （6级）（第届希望杯试）电子跳蚤在数轴上的某一点，第一步向左跳个单位到点，第二步由点向右跳个单位到点，第三步有点向左跳个单位到点，第四步由点向右跳个单位到点， ，按以上规律跳了步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰好是 求电子跳蚤的初始位置点所表示的数

9、【解析】 假设电子跳蚤的起点为，规定向左为负，向右为正，根据题意可得：，【巩固】 （10级）在整数1，3，5，7，2005之间填入符号“”和“”号，依此运算，所有可能的代数和中最小的非负数是多少？【解析】 这道题也是一个老题，由于整数的符号不影响其奇偶性，因此也不影响代数和的奇偶性，我们首先可以利用：，得知所有可能的代数和均为奇数，再考虑到非负数这一条件，我们期望这一最小值为1接下来我们的目标无非是填入符号“”和“”凑出1来，考虑到共有1003个数，我们需要利用周期性.注意到，因此容易凑出所要的结果来但是题目中要求在数与数之间填入符号“”和“”号，所以可以对算式的前项做处理，修改为：【巩固】

10、（10级）(07年希望杯培训试题)在1，3，5，101这51个奇数中的每个数的前面任意添加一个正号或一个负号，则其代数式的绝对值最小为多少？【解析】 由于为奇数，对于连续的4个奇数我们添加符号如下，使其结果为0，即：，这样我们可以使后48个奇数和为0，对于1、3、5我们可以如下添加符号使其绝对值最小：，于是可得和的绝对值最小为1【巩固】 （8级）(2000年辽宁)在数1，2，3，1998前添符号“+”或“-”，并依次运算，所得结果中最小的非负数是多少？【解析】 由于是一个奇数，而在1，2，3，1998之间任意添上“+”号或“”号不会改变其代数式和的奇偶性，故所得额非负数不小于1.现考虑在四个连

11、续自然数，之间添加符号，显然，这提示我们将1，2，3，1998每连续四个数分成一组，再按上述规则添加符号，即：所求的最小非负数为1.【例9】 （6级）试利用正方形的面积，计算以下无穷个数的和： 【解析】 如图，把一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形，接着，再把面积为的矩形中的一个等分成面积为的矩形，在把面积为的矩形中的一个等分成两个面积为的矩形，显然，图中所有矩形面积之和是整个正方形的面积，所以【例10】 （6级）（2005年大连市中考）在数学活动中，小明为了求的值（结果用表示），设计了如图所示的几何图形 请你用这个几何图形求的值 请你用图2，再设计一个能求的值的几何图形【解析】 原式；略

12、【例11】 （4级）（芜湖市课改实验区中考试题）小王上周五在股市以收盘价每股元买进某公司股票股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价相比前一天的涨跌情况（单位：元）星期一二三四五每股涨跌（元）根据上表回答如下问题：星期二收盘时，该股票每股多少元？本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？已知买入股票与卖出股票均需要支付成交金额的千分之五的交易费，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的受益情况如何？【解析】 星期二收盘价为收盘价最高为；收盘最低价为小王的收益为（元）板块二、有理数基本乘法、除法有理数乘、除法：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相

13、乘.任何数同0相乘，都得0.有理数乘法运算律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等. (乘法交换律)三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. (乘法结合律)一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. (乘法分配律)有理数乘法法则的推广：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.在进行有理数运算时

14、，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.【例12】 (2级)看谁算的又对又快: 【解析】 ；化带分数为假分数后约分.原式；变形后使用分配律，原式；逆向运用分配律，较复杂的有理数混合运算，要注意解题方法的选取.原式；应用乘法分配律；原式.【巩固】 (2级)计算下列各题：；.【解析】 小数结合相乘凑成整数.原式；小数化成分数，互为倒数结合相乘为1.原式；原式=；原式；原式；原式；原式；原式.【例13】 (2级)计算：【解析】 原式原式【例14】 （8级）(第10届希望杯)【解析】 ，.把这999个式子相乘,得原式.【巩固】 （8级）计算：【解析】 原式【例15】 （8级）积的值的整数部

15、分是 【解析】 原式 【例16】 （8级）设个正整数，任意改变他们的顺序后，记作，若 ，则（ ） A一定是奇数 B一定是偶数 C当是奇数时，是偶数 D当是偶数时，是奇数【解析】 C【例17】 （8级）若，是互不相等的整数，且则的值为( )A0 B4 C D无法确定【解析】 个数是，所以【巩固】 （8级）如果4个不同的正整数，满足，那么的值是多少？ 【解析】 ，所以分别取值，所以.【例18】 （8级）如果均为正数，且，那么的值等于 【解析】【例19】 （6级）(第9届希望杯)若，则是（ ）A. 正数 B. 非正数 C. 负数 D. 非负数【解析】 由，得，可知、的符号相反或者，故有.【巩固】 (

16、2级)奇数个负数相乘，积的符号为 ， 个负数相乘，积的符号为正.【解析】 负号；偶数.【补充】（6级）(第届希望杯试)如果，则一定成立的是( )A是的相反数 B是的相反数 C是的倒数 D是的倒数【解析】 将原式展开，合并后得到，选择C【补充】(2级)若三个数互不相等，则在中，正数一定有( )A个B个C个D个【解析】 不妨设，则，显然有两个负数，一个正数：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.，()两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.【例20】 (2级)计算：

17、 【解析】 原式；原式【巩固】 (2级)；.【解析】 在进行有理数混合运算时，常常将小数化为假分数方便计算.；.【例21】 (2级)如果，且，试确定、的符号.【解析】 说明、异号，那么；又因为，所以；因为，所以，进而得，且，所以，.【巩固】 (2级)如果，试确定的符号.【解析】 说明、异号；说明、异号，所以、同号，所以的符号为正.【例22】 （6级）（第15届希望杯邀请赛试题）观察下面的式子： 小明归纳了上面各式得出一个猜想：两个有理数的积等于这两个有理数的和，小明的猜想正确吗？为什么？ 请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想【解析】 小明的猜想显然是不正确的，反例：如将第

18、一组等式变形为，得出如下猜想：“若是正整数，则”，证明：左边右边板块三、有理数常考经典计算题型一、应用定律【例23】 （4级）（第五届“五羊杯”竞赛试题）计算： 【解析】 原式 【例24】 (2级)计算：【解析】 原式 二、应用公式【例25】 (2级)计算：【解析】 原式 【例26】 （6级）计算：【解析】 原式 三、整体代换【例27】 （6级）计算： 【解析】 分析：仔细观察发现，四个括号里有一个公共的部分：，不妨以代替这个和，且设，这样就可以简化过程设原式所以原式四、裂项【例28】 （6级）计算： 【解析】 原式 【例29】 （4级）（2008年第十三届“华杯赛”决赛集训题）已知，试求的值

19、【解析】 ，且，解得， 原式 五、分离法【例30】 （6级）计算：【解析】 原式 课后练习练习 1 (2级)计算下列各题【解析】 ；练习 2 （8级）(第14届希望杯)有一串数：，按一定的规律排列，那 么这串数中前 个数的和最小【解析】 这个数列构成了公差为的等差数列，故其第项为，即，故前个和最小练习 3 (2级)超市新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8，+0.3，+0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？【解析】 （+0.5）+（+0

20、.3）+（-0.9）+（+0.1）+（+0.4）+（-0.2）+（-0.7）+（+0.8）+（+0.3）+（+0.1） =（0.5+0.3+0.1-0.9）+(0.8+0.1-0.2-0.7)+(0.4+0.3)=0+0+0.7=0.7(kg)5010+0.7=500.7（kg），即：橙子共有500.7千克.练习 4 （6级）计算：【解析】 原式练习 5 (2级)、为非零有理数，它们的积必为正数的是（ ）A，、同号 B，、异号 C，、异号 D、同号【解析】 A练习 6 (2级)用“”或“”填空如果，那么 0 ； 如果，那么 0 .【解析】 ；.练习 7 (4级)第18届希望杯有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：； 其中正确的命题有（）A4个B3个C2个D 1个【解析】 选择A练习 8 （4级）第14届希望杯为有理数，下列说法中正确的是（ ）A.为正数 B.为负数 C.为正数 D.为正数(2)在，这四个数中，负数共有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【解析】 选对于任意实数,都有，所以总有为正数选B练习 9 （4级）已知、互为相反数，、互为负倒数，的绝对值等于它相反数的倍.求 的值.【解析】 根据题意可知，故1-1-2 有理数基本运算 题库教师版 page 14 of 14