2001年全国高中数学联赛试卷及详细解析

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1、豆丁网二一年全国高中数学联赛（10月4日上午8：009：40）题号一二三合计加试总成绩131415得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1、已知a为给定的实数，那么集合M=x|x2-3x-a2+2=0,xR的子集的个数为

2、（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命题中正确的有 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以p为周期、在（0，）上单调递增的偶函数是 （A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx|4、如果满足ABC=60，AC=12，BC=k的ABC恰有一个，那么k的取值范围是 （A）k=8 （B）0

3、k12 （C）2 （D）012或5若（12）1000的展开式为20002000，则3691998的值为（） （A）3333 （B）3666 （C）3999 （D）320016已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（） （A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高 （C）价格相同 （D）不确定二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7椭圆1（2）的短轴长等于_8、若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-I,则z1z2= 。9、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1 ，则直线

4、A1C1与BD1的距离是 。10、不等式的解集为 。FABCDE11、函数的值域为 。12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案。二、 解答题（本题满分60分，每小题20分）13、设an为等差数列，bn为等比数列，且，（a1a2）,又，试求an的首项与公差。14、设曲线C1:(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。（1） 求实数m的取值范围（用a表示）；（2） O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0aa2a3a4a5a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装

5、中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。二一年全国高中数学联合竞赛加试试题（10月4日上午10：0012：00）学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。一、（本题满分50分）如图：ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。二、（本题满分50分）设xi0(I=1,2,3,n)且，求的最大值与最小值。三、（本题满分50分）将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的

6、边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一选择题：CBDDCA1.已知a为给定的实数，那么集合320，的子集的个数为（） 124不确定【答案】C 【解析】M表示方程320在实数范围内的解集由于140，所以含有2个元素故集合有24个子集，选 2命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点 命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点 以上三个命题中正确的有（） 0个1个2个3个【答案】B 【解析】由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确对于命题2和命题3，一般的长方体（除

7、正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点因此，本题只有命题1正确，选 3在四个函数、中，以为周期、在（0，2）上单调递增的偶函数是（） 【答案】D【解析】可考虑用排除法不是周期函数（可通过作图判断），排除；的最小正周期为2，且在（0，2）上是减函数，排除；在（0，2）上是减函数，排除故应选4如果满足60，12，的恰有一个，那么的取值范围是（） 01212 012或【答案】D【解析】这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除、5若（12）1000的展开式为200

8、02000，则3691998的值为（）33333666399932001【答案】C【解析】由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法取（12）（2），则1，10令1，得310002000；令，得01220002000；令，得020004000三个式子相加得310003（1998）19983999，选6已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）2枝玫瑰价格高3枝康乃馨价格高 价格相同 不确定【答案】A【解析】这是一个大小比较问题可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为元、元，则由题

9、设得，问题转化为在条件、的约束下，比较2与3的大小有以下两种解法：解法1：为了整体地使用条件、，令63，45，联立解得（53）18，（32）923（1112）924，22，111211241222023，选解法2：由不等式、及0、0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）令232，则表示直线：232在轴上的截距显然，当过点（3，2）时，2有最小值为0故230，即23，选说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：已知函数（）满足：4（1）1，1（2）5，那么（3）应满足（）7（3）264（3）151（3）20283（3）353（2）如果由条件、先分别求出、的范围，再由2

10、的范围得结论，容易出错上面的解法1运用了整体的思想，解法2则直观可靠，详见文1二填空题7 8 9 10 11 12 732 7椭圆1（2）的短轴长等于_【答案】【解析】若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法；若注意到离心率和焦参数（焦点到相应准线的距离）的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长解法1：由得23，从而，故2解法2：由12，21及222，得从而2说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题8若复数、满足2，3，32（32），则_【答案】【解析】令2（），3（），则由32（32）及复数相等的充要条件，得即二式相除，得（）2）32由万能公式，得（）1213，（）513故6（）（）

11、（3013）（7213）说明：本题也可以利用复数的几何意义解9正方体1的棱长为1，则直线与的距离是_【答案】【解析】这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法为了保证所作出的表示距离的线段与和都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内为此，作正方体的对角面，则面，且面设0，在面内作，垂足为，则线段的长为异面直线与的距离在中，等于斜边上高的一半，即610不等式（112）232的解集为_【答案】4，或1227，或01【解析】从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得122，或27120，或120从而4，或1227，或0111函数的值域为_【答案】1，32）2，）【解析

12、】先平方去掉根号由题设得（）32，则（2）（23）由，得（2）（23）解得132，或2由于能达到下界0，所以函数的值域为1，32）2，）说明：（1）参考答案在求得132或2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试12在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有4种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案【答案】732【解析】为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母、按间隔三块、种植植物的种数，分以下三类（1）若、种同一种植物，有4种种法当、种植后，、可从剩余的三种植物中各

13、选一种植物（允许重复），各有3种方法此时共有4333108种方法（2）若、种二种植物，有2种种法当、种好后，若、种同一种，则有3种方法，、各有2种方法；若、或、种同一种，相同（只是次序不同）此时共有3（322）432种方法（3）若、种三种植物，有种种法这时、各有2种种方法此时共有222192种方法根据加法原理，总共有108432192732种栽种方案说明：本题是一个环形排列问题三解答题13【解析】设所求公差为d，a1a2，d0由此得 化简得： 解得： 而，故a10 若，则 若，则 但存在，故| q |1，于是不可能 从而 所以 14【解析】(1)由 消去y得： 设，问题(1)化为方程在x(a，

14、a)上有唯一解或等根 只需讨论以下三种情况： 10得：，此时xpa2，当且仅当aa2a，即0a1时适合； 2f (a)f (a)0，当且仅当ama； 3f (a)0得ma，此时xpa2a2，当且仅当aa2a2a，即0a1时适合 f (a)0得ma，此时xpa2a2，由于a2a2a，从而ma 综上可知，当0a1时，或ama； 当a1时，ama(2)OAP的面积 0a，故ama时，0a， 由唯一性得 显然当ma时，xp取值最小由于xp0，从而yp取值最大，此时， 当时，xpa2，yp，此时 下面比较与的大小： 令，得 故当0a时，此时 当时，此时15【解析】设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RF

15、G，当R ia i，i3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列时，RFG最小 证明如下： 1设当两个电阻R1、R2并联时，所得组件阻值为R，则故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1R22设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB 显然R1R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的个3设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD 若记 ，则S1、S2为定值，于是 只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4R3，R3R2，R3Rl，即得总电阻的阻值最小 4对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效

16、电阻RAB代替要使RFG最小，由3必需使R6R5；且由1应使RCE最小由2知要使RCE最小，必需使R5R4，且应使RCD最小 而由3，要使RCD最小，应使R4R3R2且R4R3R1， 这就说明，要证结论成立2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准一【解析】证明：(1)A、C、D、F四点共圆 BDFBAC 又OBC(180BOC)90BAC OBDF(2)CFMA MC 2MH 2AC 2AH 2 BENA NB 2NH 2AB 2AH 2 DABC BD 2CD 2BA 2AC 2 OBDF BN 2BD 2ON 2OD 2 OCDE CM 2CD 2OM 2OD 2 ，得 NH

17、2MH 2ON 2OM 2 MO 2MH 2NO 2NH 2 OHMN 另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系， 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则 直线AC的方程为，直线BE的方程为 由 得E点坐标为E() 同理可得F() 直线AC的垂直平分线方程为 直线BC的垂直平分线方程为 由 得O() OBDF 同理可证OCDE在直线BE的方程中令x0得H(0，) 直线DF的方程为 由 得N () 同理可得M () kOH kMN 1，OHMN二【解析】先求最小值，因为1等号成立当且仅当存在i使得xi1，xj0，ji 最小值为1 再求最大值，令 设， 令 则 令0，则 由柯西不

18、等式得： 等号成立 (k=1，2，n) 由于a1a2an，从而，即xk0 所求最大值为 三【解析】记所求最小值为f (m，n)，可义证明f (m，n)rnn(m，n) (*) 其中(m，n) 表示m和n的最大公约数 事实上，不妨没mn (1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rnn(m，n) 当用m1时，命题显然成立AA1BCD1Dmn 假设当，mk时，结论成立(k1)当mk1时，若nk1，则命题显然成立若nk1，从矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为mnn(mn，n)m(m，n)，于是原

19、矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为rnn(m，n) (2)关于m归纳可以证明(*)成立 当m1时，由于n1，显然f (m，n)rnn(m，n) 假设当mk时，对任意1nm有f (m，n)rnn(m，n) 若mk1，当nk1时显然f (m，n)k1rnn(m，n) 当1nk时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为al，a2，ap 不妨a1a2ap 显然a1n或a1n 若a1n，则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界)于是a1a2ap不小于AB与CD之和 所以a1a2ap2mrnn(m，n) 若a1n，则一个边长分别为mn和n的矩形可按题目要求分成边长分别为a2，ap的正方形，由归纳假设 a2apmnn(mn，n)rn(m，n) 从而a1a2aprnn(m，n) 于是当rnk1时，f (m，n)rnn(m，n) 再由(1)可知f (m，n)rnn(m，n)