第9讲可控性和能控标准型

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1、现代控制理论现代控制理论 （第（第9讲讲 2009年年4月月18日）日） 可控性可控性/能控性定义能控性定义 能控性判据能控性判据 能控标准型能控标准型 四川理工自动化教研室 为什么要有能控性为什么要有能控性/能观性概念？能观性概念？ 怎样更好地了解和控制系统？怎样更好地了解和控制系统？ 能控性能控性：控制变量对状态变量的支配能力如何控制变量对状态变量的支配能力如何? 从任意初始状态出发，在有限时间内，通过施从任意初始状态出发，在有限时间内，通过施加控制作用，能否使系统状态转移至期望终态？加控制作用，能否使系统状态转移至期望终态？ 能观性能观性：输出变量对状态变量的反映能力如何输出变量对状态变

2、量的反映能力如何? 在有限时间内，能否由输出变量的测量值，计在有限时间内，能否由输出变量的测量值，计算出系统的各个状态？算出系统的各个状态？ uxyuxxDCBADCBA：),( 四川理工自动化教研室 可控可控/能控性实例猜想能控性实例猜想 ubxaxxax222221111)0(1x1x11a1x 2x22a2x )0(2xyu1c2c2b猜想：猜想： x1和和u无直接间接联系，无直接间接联系，不能用不能用u改变改变x1。 x2和和u有直接联系，有直接联系，u可可以控制以控制x2。 四川理工自动化教研室 可控可控/能控性实例猜想能控性实例猜想 ubxaxxaxax222222121111猜想

3、：猜想： x1和和u无直接联系，无直接联系，但但通过通过 x2和和u有间接联有间接联系，系，u也许可以控制也许可以控制x1。 )0(1x1x11a1x 2x22a2x )0( 四川理工自动化教研室 可控可控/能控性实例猜想能控性实例猜想 uxxxx1121122121xi和和u有联系就可控吗？猜想：有联系就可控吗？猜想： 当联系的通道不止当联系的通道不止一个时，各通道的控制作用之间是否抵消？一个时，各通道的控制作用之间是否抵消？如果抵如果抵消，则会造成消，则会造成u不能控制不能控制xi。 )0(1x1x21x 2x22x )0(2xu1111ttttttttAteeeeeeeee333321t

4、tttApduedBuexx0)(0)(21)(11)(状态方程中强迫响应为状态方程中强迫响应为 )()(21txtxpp强迫响应仅是一维的，不能将初态控制到任意指定态。强迫响应仅是一维的，不能将初态控制到任意指定态。 四川理工自动化教研室 能控能控/可控性定义可控性定义 在有限时间内，控制作用能否使系统从初始在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到期望状态状态转移到期望状态? 如果存在一个控制如果存在一个控制u u( (t t) )，能在有限时间间隔，能在有限时间间隔 t to o, ,t tf f 内，使系统从其一初态内，使系统从其一初态x(x(t to o) )转移到任意指定转移

5、到任意指定的终态的终态x(x(t tf f) ) ，则称此状态，则称此状态x(x(t to o) )是完全可控的，简是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）。则系统不可控）。 如果所有的初始状态都是完全能控的，则称系如果所有的初始状态都是完全能控的，则称系统是状态完全能控的。统是状态完全能控的。 四川理工自动化教研室 能控能控/可控性评注可控性评注 1. 初态取状态空间任意点，终态取原点初态取状态空间任意点，终态取原点，相当于调节实现问，相当于调节实现问题。初态取原点，终态取任意点，相当于跟踪可实现问题。题。初态

6、取原点，终态取任意点，相当于跟踪可实现问题。 2. 对线性定常系统说来，对线性定常系统说来，调节问题调节问题与跟踪问题等价。与跟踪问题等价。 3. 对于时变系统，可控的时间区间大小与初始时刻有关，对定对于时变系统，可控的时间区间大小与初始时刻有关，对定常系统，可控时间区间与初始时刻无关。故后者不必强调特常系统，可控时间区间与初始时刻无关。故后者不必强调特定时间段。定时间段。 4. 定义中的定义中的u是没有限制条件的。是没有限制条件的。 5. 对线性系统作非奇异线性变换（也就是坐标变换），状态空对线性系统作非奇异线性变换（也就是坐标变换），状态空间的原点不变。状态空间中某一点在变换前后分别为间的

7、原点不变。状态空间中某一点在变换前后分别为x和和x，则则u在有限时间内把在有限时间内把x转移到原点也就意味着同样的转移到原点也就意味着同样的u可以把可以把x转移到原点。即非奇异变换不改变系统的可控性。转移到原点。即非奇异变换不改变系统的可控性。 6. 对不完全可控系统，状态空间可以分解为可控状态子空间及对不完全可控系统，状态空间可以分解为可控状态子空间及其正交补空间（不可控状态子空间）。其正交补空间（不可控状态子空间）。 7. 外扰不影响系统的可控性，输出不涉及可控性。外扰不影响系统的可控性，输出不涉及可控性。 四川理工自动化教研室 对角阵中的能控对角阵中的能控/可控性模态可控性模态 ubb2

8、121xx1x11x 2x22x ) 0 (2xu2b)0(1x1bubxxubxx22221111同理。为不可控模态。不可控，称时为可控模态；称自有响应可控，时。显然，、对211112111001xexbexbtt控。维空间，显然系统不可维的，不能充满整个是维，其坐标满足可控子空间为是响应分量之比永远。则两模态相同，强迫、对21:1,:321212121bbxxbb意指定状态。对任意初态可控制到任皆可控，和不为零时，和。当、对 四川理工自动化教研室 约当块中的能控约当块中的能控/可控性模态可控性模态 ubb211xxubxxubxxx2221211为不可控模态。不可控，称时为可控模态；可控，

9、称时、对ttexbexb2222001是可控的。仍然存在，故系统仍然响，模态受两个通道影，则都可控；若和应模态间接影响，两自由响受，则时。若、ttttexbteexxbb11211200021x1x 2x2x ) 0 (2xu2b)0( 四川理工自动化教研室 Agenda 能控性能控性/可控性定义可控性定义 能控性能控性/可控性判据可控性判据 变换为能控变换为能控/可控标准型可控标准型 四川理工自动化教研室 能控性判别矩阵能控性判别矩阵 LTI连续系统连续系统 则系统状态完全可控的充要条件是则系统状态完全可控的充要条件是 定义能控性判别矩阵定义能控性判别矩阵 思考思考：单输入、多输入情况下能控

10、矩阵的维数：单输入、多输入情况下能控矩阵的维数分别是什么？分别是什么？ n 是系统的阶数是系统的阶数 uxyuxxDCBADCBA：),(12BABAABBQnCnrankQC 四川理工自动化教研室 判断对角型是否能控？判断对角型是否能控？ 70021 )05050017u xx70002)05050017u xx127 000 13 )05 04 00017 5uu xx127 000 04 )05 04 00017 5uu xx各个特征值不同各个特征值不同 输入矩阵中每行都不为零，系统能控。输入矩阵中每行都不为零，系统能控。 四川理工自动化教研室 例题：求使系统能控的参数例题：求使系统能控

11、的参数 11122121112222122d e t0 ccbbbbbbbbbbbb QbA bQ系统状态方程已知。当系统状态方程已知。当输入矩阵如何取值时，输入矩阵如何取值时，系统能控？系统能控？ 时系统能控时系统能控 四川理工自动化教研室 判断判断Jordan型是否能控？型是否能控？ 要求：各个要求：各个Jordan块对应的特征值不同块对应的特征值不同 找到每个找到每个Jordan块的最后一行，找出输入矩阵中与块的最后一行，找出输入矩阵中与之对应的行之对应的行 如果输入矩阵中对应的行不全为零，系统能控。如果输入矩阵中对应的行不全为零，系统能控。 41001 )04040023u xx124

12、 104 22 )04 00 00023 0uu 四川理工自动化教研室 Agenda 能控性能控性/可控性定义可控性定义 能控性能控性/可控性判据可控性判据 变换为能控变换为能控/可控标准型可控标准型 四川理工自动化教研室 第二能控标准型第二能控标准型 4321043210,10000,10000010000010000010bbbbbaaaaaAcb3*2*1*12*1*101*10010001000044444aaaaAAQCbbb系统能控, 5CrankQ01223344501223344)()(asasasasasbsbsbsbsbsUsY 四川理工自动化教研室 第一能控标准型第一能控

13、标准型 TTTTAAaaaaaAbccbcb00001,100000100000100000105432143210系统能控, 5CQrank01223344501223344)()(asasasasasbsbsbsbsbsUsY5432143210,00001,10000100001000010000TaaaaaAcb1000001000001000001000001CQ 四川理工自动化教研室 状态变换不改变系统能控性状态变换不改变系统能控性 状态变换状态变换 cxbxxyuAxx PxcbxxyuAxcbxxPyuPAPP11ccccQrankrankQQPQ 1bbbb12ncAAAQb

14、bbb12ncAAAQbbbmmAPPAPPAPPA1111)()( 四川理工自动化教研室 状态变换图示状态变换图示 bcAx uyxbcAxuyP1P1PP 四川理工自动化教研室 能控系统可化为能控标准型能控系统可化为能控标准型 如果系统能控，则一定能通过状态变换，将如果系统能控，则一定能通过状态变换，将系统化为能控标准型系统化为能控标准型 系统能控，即能控阵满秩系统能控，即能控阵满秩 一定存在非奇异的线性变换一定存在非奇异的线性变换 x=Px使得变换后的系统使得变换后的系统成为能控标准型成为能控标准型 cxbxxSISOyuAbbbb12ncAAAQxcbxxPyuPAPP 四川理工自动化

15、教研室 变换为第一能控标准型变换为第一能控标准型 1、求能控阵、求能控阵 2、第一能控标准型为：、第一能控标准型为： PPAPPAccbb11111cxbxxyuAbbbb12nCAAAQP 四川理工自动化教研室 变换为第二能控标准型变换为第二能控标准型 1、求能控阵、求能控阵 3、计算变换矩阵、计算变换矩阵 PPAPPAccbb21212,bbbbAAAQnC212、求特征多项式、求特征多项式 012211)(ssssAsIsnnn4、计算第二能控标准型、计算第二能控标准型 111111nnCQP 四川理工自动化教研室 例题：化为第一能控标准型例题：化为第一能控标准型 求能控标准型求能控标准

16、型 011,101,4142cbA解：解： 1641810421,1684,4122cQPAAbbTPPAPTPA1231,001, 四川理工自动化教研室 例题：化为第二能控标准型例题：化为第二能控标准型 323210)det(,1684,412232sssAsIAAbb16801218161103211011416018124P1714100,10323210001021212PPAPPA 四川理工自动化教研室 Recapitulation小结小结 能控性能控性/可控性定义、能观性定义可控性定义、能观性定义 如何判断系统是否能控？如何判断系统是否能控？ 把能控的系统化为能控标准型把能控的系统化为能控标准型 下次课内容下次课内容 能观性能观性 对偶原理对偶原理 作业作业