人教版新课标九年级数学导学案第22章一元二次方程导学案1

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1、23.1 一元二次方程 学案学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。课堂研讨：探究新知【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm,那么剪去的正方形的边长是多少？设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？合作交流动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。 列出的方程是 .自

2、主学习 【做一做】根据题意列出方程：1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。3、一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述四个方程结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。【我学会了】1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。【例2】 将下列一元二次方程化为一般形式，

3、并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。 （1） （2）【挑战自我】1、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2x=2； （2）7x3=2x2;（3）(2x1)3x(x2)=0 （4）2x(x1)=3(x5)4.2、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；（1） 1 2；（2） 2， 43、要使是一元二次方程，则k=_.4、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。拓展提高1、已知关于x的方程。问（1）当k为何值时，方程为一元二次方程？（2）当k为何值时，方程为一元一次方程？归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？2

4、、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？作业：课本第19页习题23.1第1、2、3题。课后反思：23.2.1一元二次方程的解法（一）教学目标1.会用直接开平方法解形如（a0,a0）的方程；2.灵活应用直接开平方法解一元二次方程。3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用。研讨过程一、复习导学1.什么叫做平方根?2.平方根有哪些性质？二、探索新知试一试：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流。（1）x2=4 （2）x2-1=0解（1）x是4的平方根x 即原方程的根为： x1= ，x2 = （2）移向，得x2=1 x是1的平方根x= 即原方程的根为： x1= ，

5、x2 = 概括总结：就是把方程化为形如x2=a（a0）或（a0,a0）的形式，然后再根据平方根的意义求解的过程，叫做直接开平方法解一元二次方程。如：已知一元二次方程mx2+n=0(m0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（ ）A.n=0 B.m、n异号 C.n是m的整数倍 D.m、n同号 例1解下列方程（1）x2-1.21=0 （2）4x2-1=0 解：（1）移项，得x2= （2）移项，得4x2= x是 的平方根 两边都除以4，得 x= x是 的平方根 即原方程的根为： x1= ，x2 = x= 即原方程的根为： x1= ，x2 = 例2解下列方程： （x

6、1）2= 2 （x1）24 = 0 12（32x）23 = 0 练一练：1.解下列方程：（1）x2-0.81=0 （2）9x2=4 2.解下列方程：（1）（x+2）2 =3 （2）（2x+3）2-5=0（3）（2x-1）2 =（3-x）2 4、一个正方形的面积是100cm2， 求这正方形的边长是多少？课堂小结：1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明。课后反思：23.2.2一元二次方程的解法（二）教学目标1、 会用直接开平方法解形如（a0,a0）的方程；2、 灵活应用因式分解法解一元二次方程。3、 使学生了解转化的思想在解

7、方程中的应用，渗透换远方法。研讨过程一 、 复习练习：新|课|标|第|一|网1、 什么是直接开平方法？请举例说明。2、 你能解以下方程吗？（1）8x2= 1 （2)3y218=0 （3) x(x-1)+4x=0 （4）3x2 27=0二、例题讲解与练习你是怎样解方程的？解：1、直接开平方，得x+1= 所以原方程的解是x1 ，x2 2、原方程可变形为方程左边分解因式，得（x+1+16） =0即可（x+17） =0所以x17=0， =0原方程的蟹 x1 ，x2 练习： 解下列方程 （1）（x1）240； （2）12（2x）290.（3）（x2）2160； （4）(x1)2180；（5）(13x)2

8、1； （6）(2x3)2250.三、读一读小张和小林一起解方程 x（3x2）6(3x2)0.小张将方程左边分解因式，得(3x2)(x6)0,所以 3x20,或x60.方程的两个解为x1， x26.小林的解法是这样的：移项，得 x(3x2)6(3x2),方程两边都除以（3x+2），得 x6.小林说:“我的方法多简便！”可另一个解x1哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？四、讨论、探索：解下列方程 （1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2)2 -x+2 =0 （4）(2x+1)2=(x-1)2 （5）。练习：解下列方程1) 2 (x+3)2=6(x+

9、3) 2) (2x+3)2=(4-2x)2 3) x(3x+1)=9x+3本课小结这节课你学到了什么？你认为应该注意哪些？布置作业：习题1（5、6）习题2（1、2）课后反思：23.2.2一元二次方程的解法（因式分解法）随堂检测1. 一元二次方程的解是_.X|k |b| 1 . c|o |mA. B. C. D. 2. 方程的根是_.A. B. C. D. 3. 当_时，是关于的完全平方式.4. 下列方程中，不适合用因式分解法的是_.A. B. C. D. 典例分析 用因式分解法解方程：解：，则，所以。拓展提高1. 用因式分解法解下列一元二次方程 （1）（2）（3）（4）2. 已知方程的一个根为

10、-1，那么方程的根为_A. B. C. D. 以上答案都不对3. 如果，则的值为_.4. 以1和3为两根的一元二次方程是_.5. 用因式分解法解下列方程。（1）（2）6. 已知，求的值。23.2.3一元二次方程的解法（三）配方法学习目标：1、熟练掌握完全平方公式，会将一个二次三项式配成一个完全平方2、理解配方法的根据就是直接开平方。3、会用配方法解一元二次方程。注意变形形式的求解学习过程：一、 复习回顾：X k b 1 . c o m1、若x2=a(a0)，则x =_.若（x+1）2=a(a0)，则x =_，即 x1_，x2_.直接开平方法解一元二次方程要求方程左边是一个含有未知数的 ，右边是

11、一个 。2、解方程：（1）、 （2）、 3、思考下面方程如何求解，并思考它们之间的联系 （1）、 （2）、 二、 新课研讨：1、 象上面的方程求解，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方法是为了 ，把一个一元二次方程转化为两个 来解。新 课 标 第 一 网2、配方法是将方程左边变成含有未知数的 ，右边是 ，再用直接开平方法求解。3、例1、在空格处填上适当的数字，使式子成为完全平方。（1）、+ = ）； （2）、+ +25= ）（3）、+ =3 ） （4）、+ =2 ）练习1、填空配方代数式写成形式写成形式+ 4 总结：（1）、 要配成完全平方，横线上只需加上 ，就可以配成

12、完全平方 ）（2）、对于二次项系数不为1的情况，可以先将系数变为1，再进行配方。例2、解下列方程（1）、 （2）、 （3）、练习2、（1）、 （2）、（3）、 （4）、（5）、 （6）、作业：课后反思：23.2.3一元二次方程的解法（配方法）练习随堂检测1.将一元二次方程化成的形式，则等于_.A.-4 B. 4 C.-14 D. 142. .3. 二次三项式的最小值为_.4. 若方程可化为，则=_，=_.5. 方程配方后得=_.w w w .x k b 1.c o m课下作业6. 当=_时，有最大值，这个最大值是_.7. 如果、是ABC的三边，且满足式子，请指出ABC的形状，并给出论证过程.8

13、. 说明代数式总大于.9. 用配方法解下列方程（1） （2）（3）体验中考1.（2009年山西太原）用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）A BCD 2.（2009年湖北仙桃）解方程：3.（2008杭州）已知方程可以配成的形式，那么可以配成下列的_A. B. C. D. 23.2 .4一元二次方程的解法(四)教学目标1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。研讨过程一、复习旧知，提出问题1.用配方法解下列方程： （1） (2)2.用配方解一元二次方程的步

14、骤是什么？3.用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？二、探索解法问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为吗？ 因为，方程两边都除以，得 移项，得 配方，得 即 问题2：当，且时，大于等于零吗？得出结论：当时，因为，所以，从而。问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？ 得出结论，当时，一般形式的一元二次方程的根为，即。 由以上研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式： （） 这个公式说明方程的根是由方程的系数、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫

15、做公式法。 思考：当时，方程有实数根吗？三、例题例1、解下列方程： 1、； 2、； 3、； 4、 例2、解方程 解：这里， 因为负数不能开平方，所以原方程无实数根。如：不解方程，判断下列方程根的情况：（1） （2）随堂检测1.若关于的方程有实数解，则得取值范围是_A. B. C. D. 2. 方程的根是_A. B. C.无实根 D. 3. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么=_4. 若关于的方程没有实数根，则得取值范围是_5. 下列方程中，没有实数根的是_A. B. C. D. 6. 已知两数的积是12，两数的平方和是25，则这两个数的和为_7. 用公式法解一元二次方程。（1） （2）课堂

16、小结：当时，方程有两个 的实数根；当时，方程有两个 的实数根；当时，方程 实数根。课堂作业：课本28页练习题课后反思：23.2.5一元二次方程的解法(五)教学目标1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。2、提高学生分析问题、解决问题的能力。3、培养学生数学应用的意识。研讨过程一、复习旧知，提出问题1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。2、用多种方法解方程二、解决问题请同学们先看看18页问题1，要想解决23.1的问题1，首先要解方程，同学谁能解这个方程吗？口答结果：x1= x2= , 提问：1、所求、都是所列方程的解吗？2、所求、都符合题意吗？说明了什么问题？我们应把实际问题转化

17、为数学问题来解决，求得的方程的解，不一定是原问题的解答，因此，要注意是检验解是否符合题意。（作为应用题，还应作答）。三、例题新课标第一网例1如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。分析：设截去正方形的边长x厘米，底面（图中虚线线部分）长等于 厘米，宽等于 厘米，底面= 。解：设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得 解方程得 经检验， 不符合题意，应舍去，符合题意的解是 答：截去正方形的边长为 厘米。合作交流：列一元二次方程解应用题的步骤： 。三、课堂练习1.学校生物小组

18、有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为540，小道的宽应是多少？2.用一块长80cm、宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm的无盖长方体盒子。为求出x，根据题意，列方程并整理得（ ）A、x-70x+825=0 B、x+70x-825=0C、x-70x-825=0 D、x+70x+825=03.要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边长为10cm的直角三角形，则两条直角边的长分别为（ ）A、4cm，8cm B、6cm，8cm C、4cm，10cm D、7cm，7cm

19、课后延伸：（典型习题）1、台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下所示），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？甲方案图纸为图1，设计草坪总面积540平方米解：设道路宽为米，根据题意，得答：本方案的道路宽为 米乙方案图纸为图2，设计草坪总面积540平方米解：设道路宽为米，根据题意，得答：本方案的道路宽为 米图丙方案图纸为图3，设计草坪总面积570平方米解：设道路宽为米，根据题意，得答：本方案的道路宽为 米四、小结让学生反思、归纳、总结，应用一元二次方程解实际问题，要认真审题，要分析

20、题意，找出数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决。求得方程的解之后，要注意检验是否任命题意，然后得到原问题的解答。五、作业：练习1、2课后反思:23.2.6一元二次方程的解法(六)教学目标1、使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题。2、培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识。研讨过程一、创设问题情境百分数的概念在生活中常常见到，而量的变化率更是经济活动中经常接触，下面，我们就来研究这样的问题。问题：某商品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率一样。求每次降价的百分率。（精确到0.1%）二、探索解决问题 分析：“两次降价的百分率一样”，指的是第一次和

21、第二次降价的百分数是一个相同的值，即两次按同样的百分数减少，而减少的绝对数是不相同的，设每次降价的百分率为，若原价为，则第一次降价后的零售价为 ，又以这个价格为基础，再算第二次降价后的零售价为 。 解：设每次降价的百分率为x.根据题意，得 解这个方程，得 经检验： 答：每次降价的百分率为 .三、拓展引申 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）解：每次升价的百分率为，根据题意，得 解这个方程，得 经检验： 答：每次升价的百分率为 。四、巩固练习1.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数

22、相同,求这个百分数.2.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率.3.某公司向银行贷款20万元资金, 约定两年到期时一次性还本付息, 年利率是12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余6. 4万元,若在经营期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.五、小结关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为，设平均变化率为，经第一次变化后数据为；经第二次变化后数据为。在依题意列出方程并解得值后，还要依据的条件，做符合题意的解答。六、作业：课本第30页，练习1、2课后反思：