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1、数学二次根式比较大小方法二次根式是初中数学的重点内容之一,而比较二次根式的大小又是中考和数学竞赛的常见题型.解决这类问题,除了必须掌握二次根式的基本性质和运算法则,还要根据问题的具体结构特征,多角度地探索思考,灵活选用不同的思维方法.为帮助同学们掌握好这类问题,本文介绍几种比较二次根式大小常用的方法和比较技巧,供同学们参考。一：常规比较法：1. 系数比较法 （观察被开方数化简后能成为同类二次根式）此方法适用于两个单个二次根式的比较或一个根式与一个有理数的比较。被开方数相同（不是最简的化为最简后）的几个二次根式比较大小。把要比较大小的几个二次根式化为除系数外完全相同的根式即同类二次根式，系数大的
2、值就大。 例如：比较大小。2. 被开方数比较法（观察被开方数化简后不相同）此方法适用于两个单个二次根式的比较，系数不相同且被开方数不同的几个二次根式。一般地，把要比较大小根式的根号外的数值（正系数或正因式）移入根号内，转化为比较被开方数的大小，被开方数大的值就大。 基本思路：当a0,b0时，若要比较形如a 与b 的两数大小，可先把根号外的正因数a与b的平方后移入根号内，再根据被开放数的大小进行比较。（1）例如：比较与的大小.解析 因为;,而 296252，则，所以.先将两个二次根式化为一个数的算术平方根，根据被开方数的大小，就可以判断两个根式的大小。（2）例如：比较3的大小解： ，而3 比差法
3、：通过比较两式的差与零的大小来确定原式的大小要比较两个二次根式的大小，可以让这两个根式相减，视其差值的正负就可以判断它们的大小：若，则；若，则；若，则。基本思路：设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当ab0时，ab；当ab=0时，a=b；当ab0时，ab”来比较a与b的大小。（1）例如：比较和的大小解：（2）例如：比较与的大小解析 因为0 所以（3）例如：比较2003-1/2004-1与2003+1/2004+1的大小分析观察到两个式子的分母相乘可用平方差公式，结果为一整数，于是作差进行比较 “比差法”是一种常用的比较方法，一般说如果两个二次根式出现某些同类二次根式，就要考虑采用
4、这种方法。（3）例如：比较的大小。解：由，得，于是，4.比平方法：两边同时平方,转化为比较幂的大小就是先将两个根式各自平方，然后比较平方后的大小，再说明原数的大小，即，若，且，则；若，且，则。基本思路：先将两个要比较的数分别平方，再根据“a0,b0时，可由a2b2得到ab”来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例如：(1)试比较5+13，7+11与8十10的大小；(1)分析观察发现，每组均为两个二次根式之和，可将其平方后再进行比较；(2)进一步观察发现，每组中两个二次根式的被开方数之和相等，两个被开方数越来越接近。结合考虑每组的大小关系，便可提出猜想解答略。猜想：若0abcd，则a+db
5、+c（1）例如：比较解：而又对于根式，若，可用此法。（2）例如： 比较与的大小.解析 因为 ;，又 0;0,而 ，所以 .5比值法(求商法):通过比较两式的商与1的大小来确定原式的大小如果、都是正实数，若，则；若，则；若，则。基本思路：设a、b为任意两个实数，先求出a与b的商，再根据“当 比值1时，ab；当时，当 比值=1时，a=b；当比值 1时，ab”来比较a与b的大小。（1）例如： 若0,试比较与的大小.解析 因为0,所以0,0，而1所以例如：比较a+1/a+4与a+2/a+3的大小。分析观察发现，本题仍可运用“比差法”比较大小，但作商进行比较，计算也很方便解答略（2）例如：比较解：= 6
6、.取近似值后比较例如：比较与的大小。解：因为因为，所以二：非常规法：7. 倒数法:先求出各自的倒数,通过比较倒数的大小来确定原式的大小基本思路：设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据“当1/a 1/b 时，ab；当1/a =1/b 时，a=b；当 1/a1/b 时，ab”来比较a与b的大小。(1)例如：比较与的大小解析;而即 所以.（2）例如：比较 解： 8.分母有理化法:各自先分母有理化,再进行比较（1）例如： 比较与的大小.解析 各自先分母有理化,; ,而，所以.（2）例如：比较解： 而 对根式，若，可用此法。9. 分子有理化法:将各自先分子有理化,再比较大小先将分式里分
7、子中的根号化去后，再把结果进行比较，便可以判断原来的根式的大小。（1）例如：比较 解： （2）例如：若1,试比较与的大小.解析 =因为，所以即 .（3）例如：比较解：而（4）例如： 比较与的大小。解：因为而所以所以10. 比中介值法（传递法）:通过两式对第三量的比较,来确定原式的大小这种方法就是利用不等式的传递性：如果。（1）例如： 比较与的大小.解析 ； 所以（2）例如：已知0xl，比较1+x2+1+(1一x)2与22一1的大小分析由条件0x1，1+(1一x)2l，于是1+x2+1+(1一x)22，而22一12，谁大谁小，不言自明 （3）例如： 若n为正整数，比较的大小。 解：由偶次根式的定
8、义得： （4）例如：比较解： 又 11.配方法把两个根式分别配成完全平方式后，比较这两个平方式的大小，就可以判断原来根式的大小，即有两个根式A、B，若，且，则；若，且，则。例1， 比较解： 而由方法六可知 即12.运用放缩变换局部放缩比较 （1）例如： 比较与的大小。 解：， （2）例如： 与的大小。解：因为所以所以13. 比较整数部分 例如：比较的大小。 解：，而 故的整数部分为7。 同样可得的整数部分为8， 14.设参比较法 例如： 比较的大小。 解： 则 15.先平方再开方比较 例如：比较的大小。 解： 16. 反证法比较 例8. 比较的大小。 解：由 则两边平方得： 17： 数形结合比
9、较 例如：比较的大小。 解：如图所示，构造边长为6的正方形， 易知 由两点间线段最短可得18. 特殊值法最简单最实用的方法，找一特殊的值代进去，看谁大谁小。19. 运用隐含条件 比较大小根号下8-m的三次方与m-15的大小分析本题有隐含条件m一150，所以m15，从8一m020.运用已知不等式利用高中课本中的几个基本不等式去比较大小。通过以上几例可以看出,根据问题的具体结构特征,灵活选用不同的思维方法,不仅可使问题化繁为简,化难为易,还可拓广思维,启发思维的灵活性,以激发同学们的思考兴趣,提高同学们的思维品质.9中学生学习策划中心制作 地址：大同市安益北园20-2-5TEL: 13935278801 Q Q: 975509666
二次根式比较大小的方法最全
