因式分解知识点、练习讲义

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1、因式分解讲义一、知识点总结1. 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。 关键：左边必须是多项式，右边是几个整式的积 例：1、 已知关于x的二次三项式分解因式的结果为（x-1)(x+2），求a,b的值2、 在分解因式时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6)(x-1),乙看错了b的值，分解的结果是（x-2）（x+1),求a+b的值3、 如图1，矩形的宽为m,长分为a,b,c,三段，请说明因式分解ma+mb+mc=m(a+b+c)的正确性；对于图2，大矩形内有一小矩形，边长见图，你能说明hk-ht-ks+st=(h-s)(k-t)吗？ M a b c 4、 观察下

2、列式子:把你发现的规律用含有字母n的式子表示出来，病说明理由。2.因式分解的方法： （1）提公因式法： 定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。 例：的公因式是 1、 分解因式：（1） ，为正整数.（2）2、 （1）已知,求的值（2）先因式分解，再求值：m(m+n)(m-n)-m(m+n),其中m+n=1,mn=-.3、 若a=-5;a+b+c=-5.2,求代数式(-b-c)-3.2a(c+b)的值。4、 若ab+1=

3、0,求-ab(ab-ab-b)的值。5、 利用因式分解计算：(-2)+(-2)-26、 对于任意正整数n，说明代数式2-2必能被30整除。7、已知a+a+1=0,求1+a+a+a+a的值 （2）运用公式法 定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。 注意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例1：因式分解 例2：因式分解 1、分解因式： 2、 利用平方差公式计算：3、 在实数范围内定义新运算“”，其法则为ab=a-b,求方

4、程（43）x=24的解4、 证明：若n为正整数，则（2n+1)-(2n-1)一定能被8整除。5、 观察下列式子，你发现了什么规律？ 3-1=8=24 5-1=24=46 7-1=48=68 9-1=80=810 （1） 用字母n(n为整数）表示你发现的规律（2） 也能用所学知识证明你发现的规律6、若（x+2013）=987654321，求（x+2003)(x+2023）的值 （3）分组分解法（拓展） 将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式分解因式 将多项式分组后能运用公式进行因式分解. 例：将多项式因式分解1、a-1-2ab+b2、已知a-b=,ab=,求-2ab+ab+ab的值3

5、、试说明：当x表示整数时，（x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个整数的完全平方数4、 若100（a-b)+(2k+4)(b-a)+400(a+b)是一个完全平方式，求k的值5、 若（x+y)(x+y-2)=8,求x+y的值6、 有人说：无论x取什么实数，代数式x+y-10x+8y+45的值总是正数。你看法如何？说明理由。7、 已知a,b,c分别是三角形ABC的三边长，试比较（a+b-c)与4ab的大小（4）十字相乘法（形如形式的多项式，可以考虑运用此种方法） 方法：常数项拆成两个因数，这两数的和为一次项系数 例：分解因式 分解因式 5 2 -6501、 因式分解：(1) (2) (

6、3) (4)2、（1）已知两数之积为，和为2，则此两数为 （2）已知，且，求的值3、 若多项式可以分解为，则4、 把多项式分解因式，并注明每一步因式分解所用的方法5、已知，求的值3.因式分解的一般步骤： 如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积

7、的形式。2、 习题演练（一）、填空：1、若是完全平方式，则的值等于_。2、则=_=_3、与的公因式是4、若=，则m=_，n=_。5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其结果是 _。6、若是完全平方式，则m=_。7、8、已知则9、若是完全平方式M=_。10、， 11、若是完全平方式，则k=_。12、若的值为0，则的值是_。13、若则=_。14、若则_。15、方程，的解是_。（二）、选择题：1、多项式的公因式是（ ）A、a、 B、 C、 D、2、若，则m，k的值分别是（ ）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式：中能用平方差公

8、式分解因式的有（ ）A、1个，B、2个，C、3个，D、4个4、计算的值是（ ） A、 B、（三）、分解因式：1 、 2 、 3 、 4、 5、 6、7、 8、9 、 10、四、代数式求值1、 已知，求 的值。2、 若x、y互为相反数，且，求x、y的值3、 已知，求的值五、计算： （1） 0.75 （2）、（3）六、试说明：1、对于任意自然数n，都能被动24整除。2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。七、利用分解因式计算1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）2、正方形1的周长比正方形2

9、的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。我的大学爱情观目录：7、 大学概念8、 分析爱情健康观9、 爱情观要三思10、 大学需要对爱情要认识和理解11、 总结1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十

10、分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：（3） 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；（4） 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; （5） 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：3、 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱

11、情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。4、 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进

12、步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：5、 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。6、 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事

13、业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。 相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事时刻为我们敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次，不会重来，大学生一定要树立正确的爱情观。7、 发展健康的恋爱行为 在当今大学校园，情侣成双入对已司空见惯。抑制大学生恋爱是不实际的，大学生一定要发展健康的恋爱行为。与恋人多谈谈学习与工作，把恋爱行为限制在社会规范内，不致越轨，要使爱情沿着健康的道路发展。正如马克思所说：“在我看来，真正的爱情是表现在恋人对他的偶像采取含蓄、谦恭甚至羞涩的态度，而绝不是

14、表现在随意流露热情和过早的亲昵。”8、 爱情不是一件跟风的事儿。很多大学生的爱情实际上是跟风的结果，是看到别人有了爱情，看到别人幸福的样子（注意，只是看上去很美），产生了羊群心理，也就花了大把的时间和精力去寻找爱情9、 距离才是保持爱情之花常开不败的法宝。爱情到底需要花多少时间，这是一个很大的问题。有的大学生爱情失败，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们在一起的时间太多。相反，很多大学生恋爱成功，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们准确地把握了在一起的时间的多少程度。10、 爱情不是自我封闭的二人世界。很多人过分的活在两人世界，对身边的同学，身边好友渐渐的失去联系，失去了对话，生活中只有彼此两人；班级活动也不参加，社外活动也不参加，每天除了对方还是对方，这样不利于大学生健康发展，不仅影响学习，影响了自身交际和合作能力。总结：男女之间面对恋爱，首先要摆正好自己的心态，树立自尊、自爱、自强、自重应有的品格，千万不要盲目地追求爱，也不宜过急追求爱，要分清自己的条件是否成熟。要树立正确的恋爱观，明确大学的目的，以学习为第一；规划好大学计划，在不影响学习的条件下，要对恋爱认真，专一，相互鼓励，相互学习，共同进步；认真对待恋爱观，做健康的恋爱；总之，我们大学生要树立正确的恋爱观念，让大学的爱情成为青春记忆里最美的风景，而不是终身的遗憾！