向量与矩阵的定义及运算

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1、第一章第一章 向量与矩阵的基本运算向量与矩阵的基本运算21 向量与矩阵的定义及运算向量与矩阵的定义及运算1212(,1,)(1,2, ).nninnina aaaaaain 由由 个个数数构构成成的的有有序序数数组组，记记作作称称为为；若若记记作作则则称称为为。并并称称数数维维行行向向量量维维列列向向为为 的的定定量量第第 个个分分量量义义3(),1 3 8 ;(10,23,45,2);nnvector nxyzn 维维行行向向量量和和 维维列列向向量量都都可可称称为为维维向向量量常常用用小小写写黑黑体体希希腊腊字字母母 ， ，维维向向量量例例表表示示。：（ ， ， ）412121122112

2、212(,),(,)(1),1,2, ,(2)(,)(,)2(3)(,)(nniinnnnnna aab bbab inab ababab ababkka kakakkk 设设两两个个 维维向向量量 如如果果它它们们对对应应的的分分量量分分别别相相等等，即即则则称称定定义义相相等等加加法法和和向向量量 与与，记记作作 。：称称向向量量为为与与 的的，记记作作 。：设设 为为数数，称称向向量量为为与与 的的，记记作作数数量量乘乘法法数数乘乘12,).na kaka同同型型向向量量才才能能进进行行加加法法以以及及比比较较注注意意：是是否否相相等等5(4)(0,0,0)0()分分量量全全为为零零的的

3、向向量量称称为为，记记作作应应注注意意区区别别数数零零和和零零向向量量向向量量零零；12(5)(,).naaa称称为为 的的，记记作作向向量量的的加加法法以以及及数数与与向向量量的的数数乘乘统统称称为为向向量量的的负负向向量量线线性性运运算算。6;)()(;)();()()(,040321 ；下的运算规律：下的运算规律：向量的线性运算满足如向量的线性运算满足如，及任意的数及任意的数，维向量维向量对任意的对任意的lkn7(5)1;(6) ()() ;(7) ();(8)();k lklkkkklkl 1122().(,).nnab abab ：在在上上面面的的八八条条运运算算规规律律中中只只利利

4、用用了了向向量量的的加加法法和和数数乘乘。但但是是，利利用用负负向向量量的的概概念念，依依然然可可以以定定义义向向量量的的运运算算： 注注意意减减法法减减直直观观地地说说向向量量法法对对应应的的分分的的就就，量量是是相相减减800 ( 1)00;0,0,0kkk 显显然然，向向量量还还满满足足以以下下的的性性质质： ， ，若若则则或或 。9123123(1, 1,2),(1,2,0),(1,0, 3),212,1 求求例例。(1, 1,2)2(1,2,0)12(1,0, 3)(1, 1,2)(2,4,0)(12,0, 36)(1212, 140,2036)(11, 5, 34). 解解：101

5、12233123123kkk 线线性性表表题题中中的的 可可以以表表示示为为的的形形式式，称称可可由由向向量量，或或称称 是是，的的一一个个出出线线性性组组合合。3123131.iiiiik 注注为为了了简简化化记记号号，可可以以用用连连加加号号表表：和和要要简简写写成成必必须须满满足足：每每项项形形式式完完全全一一样样，不不一一样样的的只只示示向向量量之之和和。是是求求和和指指标标，可可简简记记为为因因此此题题中中的的向向量量运运而而且且求求和和指指标标连连续续从从小小到到大大算算可可表表为为意意增增加加一一。111212(,)(1,0,0),(0,1,0),(0, , )20 1nnnk

6、kk 证证明明：任任意意 维维向向量量是是向向量量组组的的一一个个线线例例性性组组合合。1212121(,)(,0,0)(0,0,0)(0,0,)(1,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1),.nnnniiik kkkkkkkkk ：由由向向量量的的线线性性运运算算，得得也也即即是是明明证证12 nnn n，称称， ，为为 维维线线性性空空间间R R 的的. .基基本本向向量量组组L L12 + 2 1 5 2 0 - 3 0 11 4 . 已已 知知（，） ，（，） ， 求求补补，：例 2 + - 23 10 51 21 04 （） （）（，）（ 5 5 , , 1 1 , , 6 6 ,

7、 , 1 1 , , 4 4 ) ) ，解2 + - 23 10 51 21 04 （）（）（，）= =（ - -1 1， 1 1， 4 4， 3 3， - -4 4） , ,13 1(2 )21111151614)222222.5, 0.5, 3,0.5, 2, （，（） , , 1( 2 )(0 .5 , 0 .5 , 2 , 1 .5 ,2 ).214二二 矩阵矩阵01,().3PCPa bPPnumber field设设 是是复复数数集集 的的一一个个子子集集合合，其其中中包包含含与与 。如如果果 中中的的任任意意两两个个数数（这这两两个个数数也也可可以以定定义义数数相相同同）的的和和

8、、差差、积积、商商（除除数数不不为为零零）仍仍在在 中中，则则称称 是是一一个个域域QRCZ：有有理理数数集集 、实实数数集集 、复复数数集集 都都是是数数域域，分分别别称称为为有有理理数数域域、实实数数域域、复复数数域域。而而整整数数集集不不是是数数域域。我我们们主主要要用用到到的的是是实实数数域域和和例例子子复复数数域域。15111212122212()(),(1,2, ;1,2,4)()nnsssns nijs nijPsnsnaaaaaaaaaPsnmatrixAAAaais jnAijentry 数数域域 中中个个数数排排成成的的 行行 列列的的长长方方表表，称称为为数数域域 上上的

9、的，通通常常用用一一个个大大写写黑黑体体字字母母如如 或或表表示示，有有时时也也记记作作其其中中称称为为矩矩阵阵 的的第第 行行第第定定义义列列素素。矩矩阵阵元元L LL LMMOMMMOML LLLLL161112121222121122,11nnnnnnnnsnaaaaaaaaaaaannAnnnn 阶阶矩矩特特别别地地，当当时时，称称为为或或，为为 的的主主对对角角线线上上的的元元素素。 维维行行向向量量可可视视为为矩矩阵阵， 维维列列向向量量可可视视为为矩矩阵阵方方阵阵。阵阵阶阶L LL LMMOMMMOML LL L17矩阵的线性运算矩阵的线性运算()()()()(1),(1,2,

10、;1,2, )5,.ijs nijs nijijAaBbPsnabis jnABAB LLLL设设和和是是 数数域域 上上两两个个矩矩阵阵，则则如如果果它它们们对对应应的的元元素素分分别别相相等等，即即则则称称 与与，记记作作定定义义同同型型相相等等18111112121121212222221122(2)().nnnnijijs nsssssnsnababababababababababABAB ：称称矩矩阵阵为为与与的的，记记作作加加法法和和L LL LM MM MM MM ML L111212122212(3).nnijsnsssnkPkakakakakakakakakakakAkA ：

11、 设设为为 数数 域域中中 的的 数数 ， 称称 矩矩 阵阵（为为 数数与与的的， 记记乘乘 法法乘乘作作数数 量量数数L LL LM MM MM MM ML L19(4)0.s nsn 称称元元素素全全为为零零的的矩矩，记记作作零零矩矩阵阵阵阵为为111212122212(5)().nnijs nsssnaaaaaaaaaaAA 称称矩矩阵阵为为 的的负负矩矩阵阵，记记作作L LL LMMMMMMMML L20矩阵的线性运算性质矩阵的线性运算性质;1 )5(; 0)()4(;0)3();()(2()1(AAAAAACBACBAABBA ；21(6)()() ;(7)();(8)();(9)0

12、0,( 1), 00;(10)00,0.k lAkl Ak ABkAkBkl AkAlAAAA kkAkA 若，则或者223()2() ,236324,.1351354ABCACBCABC 设设矩矩阵阵、满满足足等等式式其其中中求求例例解解 由等式可得由等式可得523CBA2 32 22 43 23 3 3 62 1 2 ( 3) 2 53 ( 1) 3 3 3 5 0510,5155 012.131C232 312(),102 3(1,2;1,2,3)0100005ijijAaEijijEA 设设表表示示第第 行行第第 列列元元素素为为 ，其其余余元元素素为为 的的矩矩阵阵，如如等等，则则例

13、例可可表表示示为为：111112121313212122222323332311221111()();jjjjijijjjijAa Ea Ea Ea Ea Ea Ea Ea Ea E1111212112122222131323232223211223311111()()().iiiiiiijijiiijiAa Ea Ea Ea Ea Ea Ea Ea Ea Ea E或或24三、三、 矩阵的乘法矩阵的乘法1.1.引例引例: :1212,;,设设是是三三组组变变量量123x ,x ,x ; yyzz12,123x ,x ,xyy与与的的关关系系如如下下： 32322212123132121111x

14、axaxayxaxaxay完全由系数构成的矩阵完全由系数构成的矩阵A A决定决定. .111213212223aaaAaaa 12,123x ,x ,xz z与与的的关关系系为为：111112222112223311322xb zbzxb zbzxb zbz 完全由系数构成完全由系数构成的矩阵的矩阵B B决定决定111221223132bbBbbbb 25通过代换变量可得通过代换变量可得的的关关系系：与与2121,zzyy11111 112 21221 122 21331 132 222111 112 22221 122 22331 132 2()()()()()()yab zb zab zb

15、 zab zb zyab zb zab zb zab zb z111 1112 2113 31111 1212 2213 312221 1122 2123 31121 1222 2223 312()()()()ya ba ba bza ba ba bzya ba ba bza ba ba bz 其系数矩阵为其系数矩阵为11 1112 2113 3111 1212 2213 322 221 1122 2123 3121 1222 2223 32( )ija ba ba ba ba ba bCca ba ba ba ba ba b 矩阵矩阵C C就定义为矩阵就定义为矩阵A A与与B B乘积乘积为，

16、其中为，其中31, ,1, 2.ijikkjkcabij 261 1221()()(1,2, ;1,2,)(6.).ijs nijn mijijijijinnjnikkjkijs mAasnBbnmABcAiBjca ba ba ba bis jmCcABCAB L LLLLL设设是是一一个个矩矩阵阵，是是一一个个矩矩阵阵， 的的列列数数等等于于 的的行行数数。用用表表示示 的的第第 行行与与 的的第第 列列的的对对应应分分量量乘乘积积之之和和，即即称称矩矩阵阵为为矩矩阵阵 与与，记记为为乘乘积积的的定定义义271 12 21212(,)(1,2, ;1,2,).ijijijin njjjii

17、innjca ba ba bbbaaabAiBjis jm ，由由矩矩阵阵乘乘法法的的定定义义的的第第 行行乘乘 的的第第 列列故故可可以以把把乘乘法法规规则则总总需需要要注注结结为为：意意到到行行乘乘右右列列。左左L LL LM ML LL L28注意注意(1) (1) 只有当第一个矩阵的列数等于第只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘. . 106861985123321例如例如不存在不存在. . (2) (2) 乘积矩阵乘积矩阵C C的行数左的行数左矩阵的行数，矩阵的行数，乘积矩阵乘积矩阵C C的的列数右矩阵的列数列数右矩阵的列数

18、. .29设设 415003112101A 121113121430B例例6 630故故 121113121430415003112101ABC. 解解,)(43 ijaA,34)( ijbB.)(33 ijcC5 671026 2 17 10311212,(),7.nnaaABbbbAB BAaL LM M例例设设计计算算1 11212 122212112211 1(1 1).nnnnnnnnniiiABBAABnnBAa ba ba ba ba ba bABa ba ba bBAb ab ab aba L LL LMMMMMMMML LL L：根根据据乘乘法法的的定定义义，与与都都有有意意

19、义义。为为矩矩阵阵，为为矩矩阵阵矩矩阵阵可可等等同同于于数数 。解解32112210,112210004400,.0044008ABCABBAAC则则例例设设(1),(2)(3)ABACBCABBA 仔仔细细观观察察，我我们们发发现现：，但但因因此此矩矩阵阵乘乘法法不不满满足足消消去去律律；，因因此此矩矩阵阵乘乘法法不不满满足足交交换换律律；两两个个非非零零矩矩阵阵的的乘乘积积可可以以为为零零。33矩阵的乘法性质矩阵的乘法性质(1)()()(),(),()()()()( , )() ,() ( , ) () .:ijs nij n mij m pititAB CA BCAaBbCcAB CA

20、BCspAB Ci tAB CA BCi tA BC ：设设，则则乘乘积积与与都都有有意意义义，且且都都为为矩矩阵阵。分分别别记记矩矩阵阵的的位位置置上上的的元元素素为为的的位位置置上上的的元元素素为为由由乘乘合合律律证证明明法法定定义义结结34)()()()(1111112111211双重连加号交换次序双重连加号交换次序加乘分配律加乘分配律列）列）的第的第行行的第的第 njmkktjkijmknjktjkijmkktnjjkijmtttnjjmijnjjijnjjijitcbacbacbacccbababatCiABCAB35.)()(),;,()()()()(CABBCAptsiBCAtB

21、CiAcbcbcbaaacbaitmkktnkmkktkmkktkiniimkktjknjij定义，有定义，有所以，根据矩阵相等的所以，根据矩阵相等的列列的第的第行行的第的第定义定义乘法乘法矩阵矩阵加乘分配律加乘分配律212111211211136(2) ()()(),(3): ();:();(4)00,00;(5),.q ss nq ns nn ps pss ns nnk ABkA BA kB kA B CABACAB CACBCAAE AA AEA 是是一一个个数数；左左分分配配律律右右分分配配律律37311000 10 (00 1);nnnEnEnnEEEI 特特别别地地，和和所所有有

22、阶阶方方阵阵可可交交换换。其其中中表表示示主主对对角角线线上上的的元元素素为为，其其余余元元素素为为零零的的 阶阶方方阵阵，称称为为 阶阶单单位位矩矩阵阵。如如在在不不引引起起混混淆淆的的情情况况下下，简简记记为为 和和380(6),(),()( ,),().knkklk lklklkkkAnAAEAAAA kA AAAAk lA BABBAA BA BABA B L L144 4244 4 3144 4244 4 3个个设设 为为 阶阶方方阵阵，由由乘乘法法结结合合律律，可可定定义义的的。规规定定为为自自然然数数指指数数律律为为非非负负整整数数成成立立。：当当同同阶阶方方阵阵满满足足时时，则

23、则称称。当当同同阶阶方方阵阵不不可可交交换换时时，乘乘幂幂注注意意般般可可交交换换一一39一些特殊矩阵的乘法一些特殊矩阵的乘法12()0,( ,1,2,)000000ijnijnAaaiji jnAaaa L LL LL LMMMMMMMML L对对角角阵阵对对角角形形：若若方方阵阵的的元元素素，则则称称 为为，简简称称为为。如如：矩矩阵阵对对角角阵阵40112200000000,0000.nnababABabCAB L LL LL LL LM MM MM MM MM MM MM MM ML LL L设设计计算算11( ,1, 2,)0;0,0ijnikkjkikkjnijikkjiiijki

24、iiicAiBjabijnikakjbijcaba ba bijC L L：的的 第第 行行 与与的的 第第 列列 相相 乘乘根根 据据 对对 角角 矩矩 阵阵 的的 定定 义义 ： 当当时时 ，当当时时 ，所所 以以所所 以以 ， 矩矩 阵阵也也 是是解解一一 个个 对对 角角 矩矩 阵阵 。41(),(),.ijnijnAanDdnBAD CDA设设任任意意 阶阶方方阵阵为为 阶阶对对角角阵阵，求求111)( ,1,2, )2)( ,1,2, )nijikkjijjjknijikkjiiijkba da di jncd ad a i jn L LL L：解解42nnnnnnnnnnnnnn

25、nnnnnnnnnndadadadadadadadadaCdadadadadadadadadaB212222222222111111121111222111222221121122121111;43()0,1,2, ,123012005ijnijAaaiji jnA L L：如如果果的的元元素素则则称称 为为上上三三角角形形矩矩阵阵，简简称称为为上上三三角角矩矩阵阵。如如：上上三三角角矩矩阵阵()0,1,2, ,100210011ijnijAaaiji jnA L L：如如果果的的元元素素则则称称 为为下下三三角角形形矩矩阵阵，简简称称为为下下三三角角矩矩阵阵。如如：下下三三角角矩矩阵阵44(

26、) ,().ijnijnAaBbCAB设设为为上上三三角角矩矩阵阵，求求1111jninijikkjikkjikkjikkjkkk ikjjikkjk iijca ba ba ba ba b ：当当时时，解解111000jnnijikkjikkjikkjkkkjijca ba ba b 当当时时，1111niniiikkiikkiiiiiikkiiiiikkk iijca ba ba ba ba b 当当时时，45120012,.001AAX 设设求求所所有有与与可可交交换换的的矩矩阵阵例例9 9解解111213212223313233,xxxXxxxAXXAxxx 设设满满足足于于是是法一法

27、一 直接用矩阵乘法和相等得到方程组，然后求解。直接用矩阵乘法和相等得到方程组，然后求解。法二法二 利用利用A A的特殊性，可改写的特殊性，可改写A A为为100020010002,001000AEB 46则由则由(E+B)X=X(E+B)(E+B)X=X(E+B)当且仅当当且仅当X+BX=X+XB,X+BX=X+XB,于是于是AX=XAAX=XA当且仅当当且仅当XB=BX,XB=BX,从而有从而有212223111231323321223132222022222022000022xxxxxxxxxxxx 由矩阵的相等的得到线性方程组，解之得由矩阵的相等的得到线性方程组，解之得111213111

28、2111213110,.00 xxxXxxxxxx 其其中中，为为任任意意数数47)1(22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa例例1010：线性方程组的矩阵表示式线性方程组的矩阵表示式111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa 12,nxxXx 12mbbbb 可以表示为可以表示为)1(.AXb 48解：解：2()()()ABABAB ()()A ABB AB 22AABBAB 22ABABBA 222().AABBABBA 因因为为222.AABBABBA 2 2事事 实实 上上 ，( (A A+ +B B)

29、)22()().ABABABABBA例例1111.)(.2)()1(22222BABABABABABA ?49例例1212 设设2( )362Pf xxx 是是数数域域上上的的多多项项式式，A A是是P P上的上的n n阶方阵，则阶方阵，则f(x)f(x)在在x=Ax=A的值的值2()362f AAAE 称为称为A A的一个的一个矩阵多项式矩阵多项式。一般地一般地, A, A的矩阵多项式之间可交换的矩阵多项式之间可交换. .,h(x),g(x)设多项式设多项式( ),( )( ) ( ),l xh(x)g(x) m xh x g x (),()() ().l Ah(A)g(A) m Ah A

30、g A 则则50例例1313设设n n阶方阵阶方阵A A满足关系式满足关系式2230,AAE 证明存在矩阵证明存在矩阵B B使得：使得：(2).AEBE 分析分析 能否找到能否找到B B为为A A的某一个多项式矩阵，由的某一个多项式矩阵，由于要利用必须利用到关系式于要利用必须利用到关系式2230,AAE ,a,bBaAbE 不不妨妨假假设设其其中中参参数数应应满满足足 (2),AEa Ab EE 2(2)(21)0.aAba AbE 即即2230,a,bAAE 要要利利用用关关系系于于是是应应满满足足22114,.12355ababab 解解之之得得51例例1414 22112 ,.1kPQA

31、PQA 设设，求求解解 22()2 2 1122,1AP QP QA 111222 4222 11 2222 4 .111 2kkkkAA 521212330000 ,001.5aAaa a aaAB ：设设矩矩阵阵互互不不相相同同，求求与与矩矩阵阵 可可交交换换的的矩矩阵阵例例53321333231232221131211333231232221131211321000000000000aaabbbbbbbbbbbbbbbbbbaaaBAAB，有有解解：根根据据可可交交换换的的定定义义543322113322111111113231232113313113122121123332321313

32、23222121313212111333332331223222221113112111000000bbbBbbbababbbbbbababbabababababababababababababababababababab所以，所以，可以任意数。可以任意数。可以为任意数，类似的可以为任意数，类似的而而类似的，类似的，,.;55比较：比较：在数的乘法中，若 ab = 0 a = 0 或 b = 0两个非零矩阵乘积可能为O。在矩阵乘法中,若 AB = O A = O 或 B = O在矩阵乘法中, 若 AC = AD, 且 A O C = D 在数的乘法中，若 ac = ad，且 a 0 c = d (消去律成立) (消去律不成立)