课堂观察与数学教学案例研究

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1、n1.n1. 1.1.n1.1教育案例的起源与发展 n（1 1）案例教学起源）案例教学起源1919世纪，始用于法学研究世纪，始用于法学研究（哈佛法学院曾使用案例，对学生进行职业训练,20世纪初，哈佛工商管理学院，用于对商学硕、博士的培养)n（2）20世纪七十年代，西方将案例教学引入教师教世纪七十年代，西方将案例教学引入教师教育育,20世纪末，我国华东地区把世纪末，我国华东地区把案例研究案例研究引入教师培训引入教师培训。案例研究案例研究是是研究数学教学规律的一个科学的、有研究数学教学规律的一个科学的、有效的、实用的方法。正如一个高明的医生必定积效的、实用的方法。正如一个高明的医生必定积累不少的病

2、例及其医疗方案，累不少的病例及其医疗方案，一个好的律师必定一个好的律师必定收集一定数量的典型案例收集一定数量的典型案例，一一个优秀的军事领导个优秀的军事领导人必须具有丰富的战场案例研究经验。人必须具有丰富的战场案例研究经验。1.n1.1教育案例的起源与发展 n（1）案例教学起源19世纪，始用于法学研究（哈佛法学院曾使用案例，对学生进行职业训练,20世纪初，哈佛工商管理学院，用于对商学硕、博士的培养)n（2）20世纪七十年代，西方将案例教学引入教师教世纪七十年代，西方将案例教学引入教师教育育,20世纪末，我国华东地区把世纪末，我国华东地区把案例研究案例研究引入教师培训引入教师培训。案例研究案例研

3、究是是研究数学教学规律的一个科学的、有研究数学教学规律的一个科学的、有效的、实用的方法。正如一个高明的医生必定积效的、实用的方法。正如一个高明的医生必定积累不少的病例及其医疗方案，累不少的病例及其医疗方案，一个好的律师必定一个好的律师必定收集一定数量的典型案例收集一定数量的典型案例，一一个优秀的军事领导个优秀的军事领导人必须具有丰富的战场案例研究经验。人必须具有丰富的战场案例研究经验。林少杰老师n非线性非线性n 主干循环主干循环n 单元活动型单元活动型n 教学模式教学模式n 1.n1.1教育案例的起源与发展 n（1）案例教学起源19世纪，始用于法学研究（哈佛法学院曾使用案例，对学生进行职业训练

4、,20世纪初，哈佛工商管理学院，用于对商学硕、博士的培养)n（2）20世纪七十年代，西方将案例教学引入教师教育世纪七十年代，西方将案例教学引入教师教育,20世纪末，我国华东世纪末，我国华东地区把地区把案例研究案例研究引入教师培训引入教师培训。案例研究案例研究是是研究数学教学规律的一个科学的、研究数学教学规律的一个科学的、有效的、实用的方法。正如一个高明的医生必定积累不少的病例及其医疗方有效的、实用的方法。正如一个高明的医生必定积累不少的病例及其医疗方案，案，一个好的律师必定收集一定数量的典型案例一个好的律师必定收集一定数量的典型案例，一一个优秀的军事领导人必个优秀的军事领导人必须具有丰富的战场

5、案例研究经验。须具有丰富的战场案例研究经验。n（3）新课程实验以来，案例研究已是我国基础教育教师培训的重要内容和形式，案例研究应当是教师学习的重要载体，案例的学习与研讨已成为教师专业成长的需要。1.n1.2 教学案例的含义 n（1）对于教育案例的含义，许多专家学者对此有不同的表述，说法虽然不同，但也有一定共识：n 教学案例是一个教学情景故事，在叙述一个故事的同时，人们常常发表一些自己的看法，也就是点评。所以，一个好的教学案例就是一个生动的教学叙事及其精彩的点评。n（2）教学案例的特征：真实性、时代性、的特征：真实性、时代性、典型性 、独特性、可读性n一个好的案例，能反映当前教学中发生的实际问题

6、，能够引起自己和人们的一个好的案例，能反映当前教学中发生的实际问题，能够引起自己和人们的反思，产生反思，产生“共情共情”、“共鸣共鸣”，体现新的教学理念，有较强的说服力。，体现新的教学理念，有较强的说服力。1.n1.3 1.3 课堂观察与课堂观察与案例研究案例研究是教学研究是教学研究的的一个很好的一个很好的切入点切入点. .n n一个优秀教师也是在积累了大量典型一个优秀教师也是在积累了大量典型教育教学成功教育教学成功案案例例中中“优秀优秀”起来，起来，数学教学研究同样需要教学案例来支数学教学研究同样需要教学案例来支持。持。n【案例【案例1】小学初中街接案例】小学初中街接案例:n 关于关于“代数

7、式代数式” 教学的讨论教学的讨论.n（培养代数思维意识（培养代数思维意识 提高解决问题能力提高解决问题能力-湖北省咸宁市教育科学研究院 邓泾河）n问题的提出问题的提出n 在数学教学视导中，发现在数学教学视导中，发现很多很多数学教师数学教师对代数部对代数部分内容的认识和教学行为存在一些问题分内容的认识和教学行为存在一些问题，如：如：n在初中在初中整式整式教学前要进行代数初步知识教学教学前要进行代数初步知识教学（补上原（补上原大纲大纲教材中代数初步内容）；教材中代数初步内容）；n问题：代数初步知识教学有必要吗？nA)大纲大纲比较注重代数式的运算，比较注重代数式的运算，学学生基础扎生基础扎实有必要实

8、有必要.nB)标准标准更注重数学知识的发生、发展过程，更注重数学知识的发生、发展过程，顺其顺其自自然发展更好然发展更好.nC)现行现行教材对代数式教材对代数式以以“先分散，后集中先分散，后集中”的方的方式处理式处理,补充画蛇添足补充画蛇添足.nD)新教材新教材改变了改变了“概念概念解法解法应用应用”的传的传统教材结构统教材结构,体现体现“实践实践认识认识(理论理论)再再实践实践”的认识过程的认识过程.问题：代数初步知识教学有必要吗？nE)代数初步知识代数初步知识的主要内容已分散于小的主要内容已分散于小学学4-6年级教学年级教学,应该因势利导应该因势利导n11代数式：描述概念代数式：描述概念n1

9、2列代数式：列代数式：4-6学段已经学过学段已经学过n13代数式的值：代数式的值：4-6学段已经学过学段已经学过n14公式：公式：4-6学段已经学过学段已经学过n15简易方程：简易方程：4-6学段已经学过学段已经学过n学会表达：n在现实情景中，进一步理解用字母表示数的意义，建立初步的符号感，发展抽象思维；n例如：在有理数一章教学中，运算法则、加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律以及倒数的教学中，让学生学会用代数式表示: a+b=b+a。n实现互译：问题：代数初步知识教学有必要吗？n实现互译：实现互译：n在整式的认识过程中，不仅要求学生将实际问题用代数式表示出在整式的认识过程中，不仅要

10、求学生将实际问题用代数式表示出来，同时要求实现文字语言、代数语言（代数表达式）、实际问来，同时要求实现文字语言、代数语言（代数表达式）、实际问题（根据代数式举出实际问题）的互译。题（根据代数式举出实际问题）的互译。n例例1（KB-P55例题例题）、用单项式填空（实际问题用代数式表示）：）、用单项式填空（实际问题用代数式表示）：n（1）每包书有）每包书有12册，册，n包书有包书有 册；册；n（2）底边长为）底边长为a，高为，高为h的三角形的面积是的三角形的面积是 ；n（3）一个长方体的长和宽都是）一个长方体的长和宽都是a，高是，高是h，它的体积是，它的体积是 ；n（4）一台电视机原价）一台电视机

11、原价a元，现按原价的元，现按原价的9折出售，这台电视机现在的售价为折出售，这台电视机现在的售价为 元；元；n（5）一个长方形的长是）一个长方形的长是0.9，宽是，宽是a，这个长方形的面积是，这个长方形的面积是 .n举例说说0.9a、2x3的实际意义。（补充补充:代数式在实际生活中代数式在实际生活中的实例）的实例） 问题：代数初步知识教学有必要吗？n建立联系：建立联系：n让学生发现并探索事物中隐含的规律、变化趋势或数量关系，让学生发现并探索事物中隐含的规律、变化趋势或数量关系，并用代数式表示，为并用代数式表示，为后后 续续 学学 习习 (用一元一次方程解决实际问题用一元一次方程解决实际问题)奠定

12、基础（奠定基础（不要模式化不要模式化）。）。n（P60练习）3、列式计算：n（1）比a小3 的数；n（2）x的21倍与10的和；n（3）x的三分之一减y的差；n（4）比x的三分之二小7的数；n（5）甲乙两车同时、同地、同向出发，行驶速度分别是x千米/时和y千米/时，3小时后两车相距多少千米？n（6）某种苹果的售价是每千克x元，用面值是50元的人民币购买6千克，应找回多少钱？问题：代数初步知识教学有必要吗？n结论结论:n淡化纯代数式运算淡化纯代数式运算n培养数感培养数感、符号感符号感n培育代数思维意识培育代数思维意识 n提高解决问题能力提高解决问题能力问题：代数初步知识教学有必要吗？n2.1 选

13、择主题，明确问题，确立观察与研究主体，实施过程观察 2. 明确目标明确目标 背景分析背景分析反思反思讨论讨论现场观察现场观察积极能动记录积极能动记录资料整资料整理补充理补充 技术选择技术选择 材料准备材料准备研究研究交流交流分分 析析录像带录像带观察准备观察准备全全程程录像录音录像录音 现场观察现场观察 分析研究分析研究教师教师访谈访谈学生学生访谈访谈n2.2 2.2 筛选过程，记录分析，反思成文筛选过程，记录分析，反思成文n文章结构，一般包含以下几个基本的要素。文章结构，一般包含以下几个基本的要素。n（1 1）背景介绍；（）背景介绍；（2 2）切入主题（从最有收获、最有）切入主题（从最有收获

14、、最有启发的角度切入）筛选实录（教学活动发生发展过启发的角度切入）筛选实录（教学活动发生发展过程，交代学生学习的结果，记录包括学生的反映和程，交代学生学习的结果，记录包括学生的反映和教师的感受等；（教师的感受等；（3 3）反思（在叙事基础上的议论，）反思（在叙事基础上的议论，进一步揭示事件的意义和价值，从社会学、教育学、进一步揭示事件的意义和价值，从社会学、教育学、心理学、学习理论等不同的理论角度加以分析，揭心理学、学习理论等不同的理论角度加以分析，揭示成功的原因和科学的规律。但反思不一定是理论示成功的原因和科学的规律。但反思不一定是理论阐述，也可以是就事论事、有感而发，引起人的共阐述，也可以

15、是就事论事、有感而发，引起人的共鸣，给人以启发即可）。鸣，给人以启发即可）。 2.n1. 案例研究论文没有严密的格式，但应包案例研究论文没有严密的格式，但应包含如下几个主要内容：含如下几个主要内容：n n (1) 有鲜明的主题或引人入胜的问题n (2)解决问题的技巧和方法n (3)解决问题的情境性、冲突性、过程性、复杂性以及角色变化等的描述n (4)解决问题过程中及过程后的反思n (5)理性反思中所获得的经验或教训,所蕴含的教育原理和教育思想是什么n2.1 选择选择主主题，明确问题，确立观察与研究主题，明确问题，确立观察与研究主体，实施过程观察体，实施过程观察n2.2 2.2 筛筛查查过程，记

16、录分析，反思成文过程，记录分析，反思成文 2.【案例【案例2】摩托加油与函数教学摩托加油与函数教学（福建南安市教师进修学校（福建南安市教师进修学校 潘振南）潘振南）n 2004年2月25日上午，我校教研室全体教研员到一所农村初中校听“推门课”，进教室后我刚坐下，上课的铃声随即响起，但任课老师还没有进教室，学生们你看我，我看你，“教师什么原因迟到呢？”、“今天他（她）要上什么内容的课呢？”，我开始琢磨着。【案例【案例2】摩托加油与函数教学摩托加油与函数教学（福建南安市教师进修学校（福建南安市教师进修学校 潘振南）潘振南）n 过了大约两分钟，教师才匆忙进教室，他的开场白是：对不起，我迟到了，大家一

17、定想知道我迟到的原因吧，那是因为从家里来学校的途中，发现我所骑的摩托车没有汽油了，于是就到路边的一个电脑加油站加油了。【案例【案例2】摩托加油与函数教学摩托加油与函数教学（福建南安市教师进修学校（福建南安市教师进修学校 潘振南）潘振南）n 在加油过程中我发现显示器上一些数量很有趣（边讲边画显示器的草图），显格3.18元/升一动不动，而两个小窗格的数字却不停地跳动着，这两个数表示什么呢？（生答：一个是油量，一个是金额），为什么这两个量要一起跳动呢？（生答：因为进油时，油量会发生变化，油量变化了，金额就跟着改变了），这就是我们今天要学习的内容（华东师大版教材）“第17章的17.1变量与函数”，单价

18、3.18元/升在加油过程中始终保持不变，我们把它叫做“常量”，油量和金额会发生变化，所以把它们叫做“变量”，又因为油量先发生变化，金额才跟着变化，所以油量叫做“自变量”，金额叫做“因变量”，“因变量”也叫做“自变量的函数”，所以，金额就是油量的函数。 【案例【案例2】摩托加油与函数教学摩托加油与函数教学（福建南安市教师进修学校（福建南安市教师进修学校 潘振南）潘振南）n如果所加的油量设为x升，要付的金额为y元，那么y与x的关系如何表示？（生答：y=3.18x）这个式子叫做函数关系式，其中x是自变量，y是因变量，y是x的函数。我的摩托车油箱最多能装10升汽油，那么自变量x的取值范围是什么？（生答

19、：0 x10）【案例【案例2】摩托加油与函数教学摩托加油与函数教学（福建南安市教师进修学校（福建南安市教师进修学校 潘振南）潘振南）n我听课前的两个问题已无需再琢磨了，迟到原因的真我听课前的两个问题已无需再琢磨了，迟到原因的真假性也不重要了。假性也不重要了。“函数函数”这个抽象的数学概念如何引入、这个抽象的数学概念如何引入、如何讲解历来困扰着我们数学老师，而刘老师这节课所创如何讲解历来困扰着我们数学老师，而刘老师这节课所创设的引入问题情境给予我们太多的启示和感悟了。在传统设的引入问题情境给予我们太多的启示和感悟了。在传统教学中，对教学中，对“函数函数”概念的引入都是采用概念的引入都是采用“直接

20、告诉式直接告诉式”的，让学生死记硬背函数的定义：的，让学生死记硬背函数的定义：“一般地，设在一个变一般地，设在一个变化过程中有两个变量化过程中有两个变量x与与y，如果对于，如果对于x的每一个值，的每一个值，y都有都有唯一的值与它对应，那么就说唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，是自变量，y是是x的函数的函数”，这个定义冗长、抽象，学生难于理解。而这节课教师充分这个定义冗长、抽象，学生难于理解。而这节课教师充分利用学生已有的生活经验，巧妙设置利用学生已有的生活经验，巧妙设置“迟到迟到”“加加油油”“函数函数”的导入过程，引人入胜。的导入过程，引人入胜。n1.2 教学案例的含义 （1）教学案例是

21、一个教学情景故事，在叙述一个故事的同时，人们常常发表一些自己的看法，也就是点评。所以，一个好的教学案例就是一个生动的教学叙事及其精彩的点评。n（2）教学案例的特征：真实性、时代性、的特征：真实性、时代性、典型性 、独特性、可读性n一个好的案例，能反映当前教学中发生的实际问题，能够引起自一个好的案例，能反映当前教学中发生的实际问题，能够引起自己和人们的反思，产生己和人们的反思，产生“共情共情”、“共鸣共鸣”，体现新的教学理念，体现新的教学理念，有较强的说服力。有较强的说服力。函数概念教学难点在哪里？函数概念教学难点在哪里？从教学层面分析：从教学层面分析： 课堂中教学抓不住函数概念的核心，没有体现

22、函数概念的形成过程，在细枝未节和似是而非的问题上耗费时间或者在学生没有基本了解函数概念时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”。 学生花大量时学习，做大量无效练习，但数学基础仍很脆弱。函数概念教学难点在哪里？函数概念教学难点在哪里？从教学层面分析：从教学层面分析： 在学生没有基本了解函数概念时就进行大量解题操练，学生花大量时学习，做大量无效练习。抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中无数； 1.对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解释

23、，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性； 2. 缺乏有效的发现、分析和解决教学问题的方法，往往感到教学问题的存在而不知其所在，或者发现了问题而找不到原因，甚至发现了问题及其根源也找不出解决问题的有效方法； 3. 采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的新方法。 “函数”的学业质量评价标淮要求:n知识与技能n1.了解常量变量和函数的概念;n2.了解函数的三种表示方法（列表法、解析法和图象法）n过程与方法n 体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型n14.1.1变量与函数变量与函数n广州市番禺区 八年级数学备课组

24、n【教学目标】n知识目标：n学生通过直观感知，能从熟悉的实例中分辨常量与变量,理解变量间变化是存在一定关系的。n通过分清实例中的常量与变量,理解并领悟自变量和函数的概念及意义，能辨析事例中是否存在函数，能列举一些函数的实例。n知道函数有三种常用的表示方式；解析法、列表法、图象法。并能辨析三种表示方式及体会如何选用合适的表示方式。n过程与方法目标过程与方法目标n1从熟悉的生活事例中体会函数的存在，通过知识回顾与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程。n2学生通过对实际问题中数量之间相互依存关系的探索，初步理解对应的思想，学会用函数思想去描述、研究其变化规律，逐步学会运用函数的观点观察、分

25、析问题。n三【情感与态度目标情感与态度目标】n1学生经历对实际问题数量关系的探索，提高数学学习的兴趣，学会合作学习，在解决问题的过程中体会到数学的应用价值，在探索活动中获得成功的体验，建立良好的学习自信。n【变量与函数概念的核心【变量与函数概念的核心】14.3.1 一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程(p.123)n学业质量评价标淮要求:n了解一次函数与一元一次方程的关系,并会用一次函数(的图象)求解一次方程.n F(x)=h ?优秀范例优秀范例: 14.1.1变量与函数变量与函数 林俊伟（民航广州子弟学校） n【目标解析【目标解析】n（）借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一

26、些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系n（）借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.n2.1 选择选择主主题，明确问题，确立观察与研究主体，实施过程观察题，明确问题，确立观察与研究主体，实施过程观察n2.2 2.2 筛筛查查过程，记录分

27、析，反思成文过程，记录分析，反思成文n2.3 2.3 积累典型案例积累典型案例,通过反复尝试、研究交流、通过反复尝试、研究交流、提升专业化水平提升专业化水平.n 案例尝析案例尝析 2.n1案例简述案例简述n案例：“有理数运算”应用题教学n呈现问题情境：某股民在上星期五以每股27元的价格买进某股票1000股。该股票的涨跌情况如下表（单位：元）。n星 期一二三四五每股涨跌+4+4.512.56师：星期四收盘时，每股多少元？n提问生1、2：（疑惑不解状）。n生3：272.525.5（元）。n师：星期四收盘价实际上就是求有理数的和，应该为： （元）。n师：周二收盘价最高为35.5元；周五最低为26元。

28、n师：已知该股民买进股票时付出了3的交易税，卖出股票时需付成效额3的手续费和2的交易税，如果该股民在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？n提问生4、5（困惑状）。n生6：买入：271000(13) 27081（元）；n卖出：261000（132）26130（元）；n收益：2613027081951（元）。n师：生6的解答错了，正确解答为：n买入股票所化费的资金总额为：271000(13) 27081（元）；n卖出股票时所得资金总额为：261000（132）25870（元）；n上周交易的收益为：25870270811211（元），实际亏损了1211元。n师：请听明白的同学举手。n此时课

29、堂上约有三、四个学生举起了手，绝大部分学生眼中闪烁着疑惑之意。有些学生在窃窃私语，有一学生轻声道：“老师，我听不懂！”少部分学生烦燥之意露于言表。n3案例中学生数学案例中学生数学“视界视界”的困惑的困惑n学生没有感知现实生活中的股票买进卖出，对教师在处理数学信息时认为“自然”和“显然”的合情合理的推断存在的“症结”如下：n1表格中有理数正负号的实际意义如：4表示每股涨了4元；1表示每股跌了1元。教师没有交待分析，学生理解较为困难。n2周四收盘时的股价是（元），如何理解27元的概念？为什么不能理解为：272.524.5（元），周四的股票与前三天的股票涨跌存在什么关系？n3股票卖出时的26元数据是

30、哪里来的？n4买入交易时交易税是付出3，卖出时付出的成交额的3和手续费2，同是“付出了”，为什么理解的数学意义截然相反？n5如何理解一周股票收益的1211元的实际意义？n4案例启示案例启示n（1）关注课堂，走近学生n 教 师在授课时，不能照本宣科，每个学生的家庭背景、生活经验、数学思维方式各不相同，要深入了解学生，细致入微地观察学生的内在思想和学习中可能出现的问题和困难。本案例中，学生到底需多长时间停留在“毫无希望”的数学抽象思维境地？教师“操之过急”会使多少学生丧失学习数学的信心？课堂是活的，在深入研究 本班学生的基础上，面对有思想的学生，教师要随机应变，及时调整教学设计方案及教学思路，教师

31、不能以我对知识的理解方式来作为学生接受的理由，不能忽视学生对新知识也有一个分析、理解和吸收的学习过程。教师只有将学生已有的知识、经验作为教学的出发点，教学才能做到以人的发展为本。案例4:等腰三角形的判定(广州大学廖运章教授提供)（2）模式化的定理教学n复习性质定理、给出判定命题复习性质定理、给出判定命题n师生进行思路分析师生进行思路分析n通过论证得出定理通过论证得出定理n应用定理做练习应用定理做练习等腰三角形的两等腰三角形的两个底角相等个底角相等有两个角相等的三有两个角相等的三角形是等腰三角形角形是等腰三角形写成已知求证的形式：写成已知求证的形式：已知：在已知：在ABCABC中，中，B=C.B

32、=C.求证：求证：AB=ACAB=ACACB（3）用情境问题引发兴趣n如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？n学生的三种学生的三种“补出补出”方法：方法：只剩一个底角和一条底边只剩一个底角和一条底边量出量出CC度数，画出度数，画出BBCC， BB与与CC的边相交得到顶点的边相交得到顶点A A作作BCBC边上的中垂边上的中垂线，与线，与CC的一边的一边相交得到顶点相交得到顶点A An画出的是否为等腰三角形，由此引发判定定理的证明画出的是否为等腰三角形，由此引发判定定理的证明“对折对折”（4）多种证法激活创造力n三种常规的办法：三种常规的办法：n两种创造性的证法：

33、两种创造性的证法：作作AA的平分线，的平分线，利用利用“角角边角角边”过过A A作作BCBC边的垂线，边的垂线，利用利用“角角边角角边”作作BCBC边上的中线，边上的中线，“边边角边边角”不能证明不能证明假定假定ABAC,ABAC,由由“大边对大角大边对大角”得得出矛盾出矛盾ABCABCACBACB，应用应用“角边角角边角”ACB（5）用变式练习分步解决问题n不断变换题目的条件：不断变换题目的条件：ABCABC中，中，ABCABCACBACB，BOBO平分平分BB，COCO平分平分CC。能得。能得出什么结论？出什么结论？过过O O作直线作直线EFBCEFBC。图中有几个等腰三角图中有几个等腰三

34、角形？为什么？形？为什么？线段线段EFEF与线段与线段BEBE、FCFC之间之间有何关系？有何关系？( (学生编题学生编题) )若若BB与与CC不相等不相等。 图中有没有等腰三角图中有没有等腰三角形？为什么？形？为什么？线段线段EFEF与线段与线段BEBE、FCFC之间还有之间还有没有关系？没有关系？( (学生讨论学生讨论) )直观看到一个，直观看到一个，简单应用判定定简单应用判定定理理必须综合应用判定必须综合应用判定定理和性质定理论定理和性质定理论证两个红色三角形证两个红色三角形以及线段间的关系以及线段间的关系直观看到三个，两个直观看到三个，两个红色三角形必须应用红色三角形必须应用判定定理论

35、证；线段判定定理论证；线段关系用到性质定理。关系用到性质定理。n 一位专家曾提出质疑，上述最后一题是一位专家曾提出质疑，上述最后一题是“总复习总复习”中的中的难题，在难题，在“等腰三角形的判定等腰三角形的判定”第一节课中作为练习，是否第一节课中作为练习，是否超越了学生的学习能力？事实上，运用变式作铺垫，可以明超越了学生的学习能力？事实上，运用变式作铺垫，可以明显提高练习的效率。后来专家们在普通学生的班中做了试验，显提高练习的效率。后来专家们在普通学生的班中做了试验，同样取得很好效果。同样取得很好效果。n我们曾对利用变式图形提高几何教学效果的经验，开展重复我们曾对利用变式图形提高几何教学效果的经

36、验，开展重复试验或轮换试验，结果差别具有显著或极其显著意义。试验或轮换试验，结果差别具有显著或极其显著意义。n案例5n“除法就是分豆子！除法就是分豆子！”n (广州大学廖运章教授提供)小学数学小学数学“有余数的除法有余数的除法”7 73 32 21 1 FreudenthalFreudenthal研究所的达朗其研究所的达朗其(Jan de Lange, 1996) (Jan de Lange, 1996) 在在ICME-8ICME-8的大会报告中介绍了荷兰的一堂课：的大会报告中介绍了荷兰的一堂课：8181名家长名家长出席学校家长会，每张桌子可坐出席学校家长会，每张桌子可坐6 6人，需要布置多少

37、张桌人，需要布置多少张桌子？第一类学生具体地摆桌子；第二类学生经历了摆桌子？第一类学生具体地摆桌子；第二类学生经历了摆桌子到形式计算的抽象；第三类学生套用现成算式去做。子到形式计算的抽象；第三类学生套用现成算式去做。实际上，三类学生中只有第二类才真正体验到了实际上，三类学生中只有第二类才真正体验到了“数学数学化化”的含义。的含义。（1）选题背景）选题背景案例案例6：“除法就是分豆子！除法就是分豆子！”(广州大学廖运章教授提供)（2）原行为阶段 纠缠于区分等分除、包含除等枝节，未突出纠缠于区分等分除、包含除等枝节，未突出“有余数有余数”这个要这个要点点 习惯于计算准确性的训练：习惯于计算准确性的

38、训练：3 3( ) 7( ) 7，括号里最大能填几？，括号里最大能填几？ 未关注试商的实际意义未关注试商的实际意义 表面地寻找规律，学生都说表面地寻找规律，学生都说“不知道不知道”165=31 175=32 185=33 195=34余数余数(1(1、2 2、3 3、4)4)与除数与除数(5)(5)比较大小，比较大小，得出余数小于除数得出余数小于除数关注自我的关键性事件：关注自我的关键性事件： 重点放在程式化训练，重点放在程式化训练， 忘记了对小学生忘记了对小学生 来说来说“数学就是生活数学就是生活”。（3）新设计阶段关注理念的关键性事件：关注理念的关键性事件： 运用儿童生活经验，运用儿童生活

39、经验，“除法就是分豆子除法就是分豆子”， 让学生真实地体验让学生真实地体验“数学化数学化”的含义。的含义。（4）新行为阶段 困难困难 做除法要做除法要“拿豆子来拿豆子来”，只会动手做、不会动脑想。，只会动手做、不会动脑想。课堂热热闹闹，却陷入了数学教学的浅薄与贫乏。课堂热热闹闹，却陷入了数学教学的浅薄与贫乏。 教师的创造教师的创造 在实物与算式间设置一个中介在实物与算式间设置一个中介放掉豆子和盘子，放掉豆子和盘子，学生在脑中分豆子，终于越过了形式化的难关。学生在脑中分豆子，终于越过了形式化的难关。关注获得的关键性事件：关注获得的关键性事件： 学生不会形式化，采用学生不会形式化，采用“脑中分豆子脑中分豆子”， 才能解决从实物到符号的过渡。才能解决从实物到符号的过渡。 实物操作实物操作 表象操作表象操作 符号操作符号操作 分豆子分豆子 脑中分豆子脑中分豆子 算式运算算式运算 （具体）（具体） （半具体、半抽象）（半具体、半抽象） （抽象）（抽象） 寻找规律寻找规律 数学是在具体、半具体、半抽象、抽象中间的铺排，数学是在具体、半具体、半抽象、抽象中间的铺排，是穿梭于实物与算式之间所作的形式化过渡。是穿梭于实物与算式之间所作的形式化过渡。 实践创造与理论学习n多谢！