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1、二次函数的应用一一面积最大问题教学设计一、教学内容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解 决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析 确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最 值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它 生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作 专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。目的在于让学生通过掌握求面积最大这 一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。此部分内容是学习一
2、次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和 思想方法基础。3.学情及学法分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思 想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但 在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥 补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际 问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。二、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下： . .21 .知识与技能：通过本
3、节学习，巩固二次函数y=ax +bx+c (aw0)的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。2 .过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化 为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特 殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。3 .情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提 高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。教学重点：利用二次函数y=ax2+bx+c (aw0)的图象与性质，求面积最值问题教学难点：1、正确构建数学模型2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用三、教
4、学方法与手段的选择由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启 发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小 组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到 不但使 学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当 地辅以电脑多媒体技术。四、教学流程(一)复习引入：复习引入阶段我设计了三个问题：1.复习二次函数y=ax2+bx+c (aw0)的图象、顶点坐标、对称轴和最值。2. (1)求函数y =2x2+2x 3 的最值。（2）求函数 y=X2+2x 3 的最值。（0x 3）3、抛物线在什
5、么位置取最值？设计思路 通过复习题 1 让学生回忆二次函数的图象和顶点坐标与最值， 通过做练习 2 复习求二次函数的最值方法-公式法、配方法、图象法，练习2（ 1）的设计中，定义域为xCR,学生求最值容易想到顶点，无论是配方、还是利用公式都能解决；（2）中给了定义域0&X& 3,学生求最值时可能还会利用顶点公式求，忽略定义域的限制，设 计此题就是为了提醒学生注意求解函数问题不能离开定义域这个条件才有意义，因为任何实际问题的定义域都受现实条件的制约，做完练习后及时让学生总结出了取最值的点的位置往往在顶点和两个端点之间选择，为学习新课做好知识铺垫。（二）讲解新课新课分为在创设情境中发现问题、在解决
6、问题中找出方法、在巩固与应用中提高技能几个环节1、在创设情境中发现问题 做一做 ：请你画一个周长为 40 厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？做一做中，我让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩形面积最大，目的一是为激发学生的学习兴趣，二是为了引出想一想。学生通过画周长一定的矩形，会发现矩形长、宽、面积不确定，从而回想起常量与变量的概念，最值又与二次函数有关，进而自己联想到用二次函数知识去解决，而不是老师告诉他用函数。周长固定、要画一个面积最大的矩形，这个问题本身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性，学生既感到好奇，又乐于探究它的结论，从而很自然地从复
7、习旧知识过渡到新知识的学 习。2、在解决问题中找出方法这一环节我设计了：想一想 ：某工厂为了存放材料，需要围一个周长40 米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大？我把前面矩形的周长40 厘米改为 40 米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值我们要学有用的数学知识。学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x,另一个设为y,其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观
8、察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。解决完想一想之后及时让学生总结方法，为应用阶段打下思想方法基础。3、在巩固与应用中提高技能例 1：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃 ，他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示） ，花圃的宽 AD 究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？C例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩 形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长 10米来限制定
9、义域，目的在于告诉学生 一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值， 导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义， 体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题 的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维 的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。（三）分层评价这一阶段，我设计了三组练习题让学生选做，每一组题做对都能得到一百分，共 三百分，学生自由选择完成，使不同层次的学生都能够体会到成功的喜悦。A层：（你能行！）我设计了两道题，学生只要仔细观察基本上都能
10、完成，尝试到成 功之后，他们肯定会向更高层次发起进攻。指出下列函数的最大或最小值（1） y= -3 （x-1） 2+5（2）B层：（你肯定行！）我选择了学生感兴趣的最佳下料问题有一块三角形余料如图所示，/ C=90 , AC=30cm, BC=40cm,要利用这块余料 如图截出一个矩形DEFC,设DE=xcm,矩形的面积ycm2。问矩形的边长分别是多少时， 矩形的面积最大？此题目有一定难度，但刚刚学完相似形，教师给出了自变量，大部分同学应该能 想到解决办法。C层（你一定是最棒的！）在矩形ABCD中，AB=6cm, BC= 12cm,点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点
11、Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如 果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时， PBQ的面积等于8cm2?(2)设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2, 写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；(3) t为何值时S最小？求出S的最小值。此题设计了一个动点问题，而且求最小值，对优等生来说需要思考，但有(1)、(2) 作铺垫，应该能自己解决。(四)、师生小结本阶段，让学生总结这节课的收获、利用函数知识解决实际问题的方法以及要注 意的问题，体会科学就是生产力这句话的含义，激发学生学数学用数学的信心。(五)、布置作
12、业：假设篱笆(虚线)的长度为15米，两面靠墙围成一个矩形，要求面积最大，如何 围才能使矩形的面积最大？2 .如图34-10,张伯伯准备利用现有的一面墙和 40m长的篱笆，把墙外的空地围成 四个相连且面积相等的矩形养兔场。回答下面的问题：(1)设每个小矩形一边的长为xm,设四个小矩形的总面积为ym2,请写出用x表 示y的函数表达式。(2)你能利用公式求出所得函数的图象的顶点坐标，并说出y的最大值吗？(3)若墙的长度为10米，x取何值时，养兔场的面积最大？3 .有一块三角形土地如图，他的底边 BC=100米，高AD=80米，某单位沿着BC 修一座底面是矩形的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多(六)板书设计二次函数的应用一一面积最大问题做一做例1想一想小结
二次函数的应用——面积最大问题
